三角学的形成和发展

目 录

摘要………………………………………………………………… 1 ABSTRACT…………………………………………………………… 2 1 数学美的简介…………………………………………………… 2 1.1 国外三角学的萌芽……………………………………………3 1.2 我国的三角学起源……………………………………………3 2 三角学的形成……………………………………………………3 2.1 弦表的出现……………………………………………………3 2.2 三角学术语的由来……………………………………………4 3 三角学的独立发展……………………………………………… 4 4 三角函数定义的出现…………………………………………… 5 5 现代三角学的定义……………………………………………… 6 6 三角学的计算…………………………………………………… 7 参考文献 ……………………………………………………………8 致谢 …………………………………………………………………9

三角学的形成和发展概述

张国凤

数学与信息学院数学与应用数学专业2008级 指导教师:邓鹏

摘 要：三角学的英文名称是trigonometry,原义为三角形测量,是以研究平面三角形和球面三角形的边与角的关系为基础一门数学学科。本文首先总结了古埃及和巴比伦在长期的生产活动中积累的丰富三角学知识,并将其定义为三角学的萌芽阶段;继而,希腊学者由于天文学研究的需要确立了三角形边与角的精确关系,标志着三角学的兴起;本文还完整地归纳了三角学的发展与改进过程:印度继承了希腊的传统,并最先引入了正弦函数;中国出现了最早的正切表;阿拉伯学者使三角学成为一门独立的科学。随后系统阐述了文艺复兴以后三角学的完善与深化过程:三角学一度成为欧洲数学的主要内容,研究范围逐渐扩大,包括三角函数值表的编制,平面三角形和球面三角形的解法,三角恒等式的建立和推导,三角学变成以三角函数为主要对象,隶属于分析学的独立科目。当代三角学知识主要以三角函数为主的内容形式成为我国现行高中数学教学的重点之一,也是继续学习其他数学知识的必备基础。本文初步探讨了应用一定的历史知识辅助数学教学的必要性与可行性的方法。

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关键词：三角学萌芽；独立学科；发展与形成

The Formation and Development of Trigonometry Overview

Zhang Guofeng

Mathematics and Information Sciences Grade 2008 Instructor: Deng Peng Abstract: The English name of trigonometry trigonometry, the original meaning of triangulation is based on plane triangles and spherical triangles side and angle based on a mathematical discipline. This article first summarizes the accumulated wealth of ancient Egypt and Babylon, in the long-term production activities Triangle knowledge, and defines it as trigonometry embryonic stage; then, the Greek scholar astronomy research needs to establish the precise relationship of the triangle side and angle rise of the study marks the triangle; article also summarizes the complete development of trigonometry and improvement process: India inherited the Greek tradition, and the first introduction of the sine function; earliest tangent table; Arab scholars trigonometry become an independent science. System then elaborated after the Renaissance trigonometry perfect the process of deepening: trigonometry became the main content of the European Mathematical gradually expand the scope of the study, including the solution of the trigonometric function value tables of plane triangles and spherical triangles, trigonometric identities to establish and derivation, trigonometry into trigonometric functions as the main object, part of the analysis of an independent subject. but also continue to learn the essential foundation of mathematical knowledge. This article discussed the necessity and feasibility of the application of certain historical knowledge of secondary mathematics teaching.

Key words: Trigonometry to sprout; Independent discipline; The development and formation

培根有句名言：“读史使人明智”.列宁也曾说过：“一门科学的历史是那门科学最宝贵的一部分，科学只能给我们知识，而历史却能给我们智慧.”[3]因此了解数学发展的历程，可以使我们更好地理解与运用数学.为了帮助同学们更好地理解三角函数的有关知识，本文将带领大家穿过时光隧道，去体验三角学的发展历程.

1 三角学的起源

1.1 国外三角学的萌芽

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三角学之英语名称Trigonometry，德国数学家皮蒂斯楚斯在1595年出版一本著作《三角学:解三角学的简明处理》创造了这个新词。它是由希腊文trig no（三角）和met rein（测量）两个词构成的，古希腊文里没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附于天文学。可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。

早期三角学不是一门独立的学科，而是依附于天文学，三角学为了预报天体运行路线、计算日历、航海等需要，古希腊人已研究球面三角形的边角关系，掌握了球面三角形两边之和大于第三边，球面三角形内角之和大于两个直角，等边对等角等定理。印度人和阿拉伯人对三角学也有研究和推进，但主要是应用在天文学方面。总之是从确定平面三角形和球面三角形的边和角的关系开始的，其最初的目的是为了改善天文学中的计算。

古代三角学的萌芽是源于古希腊最早的数学家泰勒斯（Thales,前624——前547）的相似理论。并证明了以下几何命题：“等腰三角形两底角相等；相似三角形的各对应边成比例；若两三角形两角和一边对应相等，则两三角形全等”[1]这些定理是每一个现代中学生都知道的，他们简单得不能再简单了。但是，就是这些简单的理论，构成了今天极其复杂而又高深理论的根基。 1.2 我国的三角学起源

三角测量在中国也很早出现，公元前一百多年的《周髀算经》就有较详细的说明，例如它的首章记录“周公曰，大哉言数，请问用矩之道。商高曰，平矩以正绳，偃矩以望高，复矩以测深，卧矩以知远。”（商高说的矩就是今天工人用的两边互相垂直的曲尺，商高说的大意是将曲尺置于不同的位置可以测目标物的高度、深度与广度）１世纪时的《九章算术》中有专门研究测量问题的篇章。 2 三角学的形成 2.1 弦表的出现

公元前600年左右古希腊学者泰勒斯利用相似三角形的原理测出金字塔高，成为西方三角测量的肇始。公元前2世纪希腊天文学家希帕霍斯为了天文观测的需要，作了一个和现在三角函数表相仿的“弦表”，他成为西方三角学的最早奠基者，这个成就也使他贏得了“三角学之父”的称谓。公元2世纪，希腊天文学家数学家托勒密继承希帕霍斯的成就，著成《天文学大成》13卷，包括从0°到90°每隔半度的弦表及若干等价于三角函数性质的关系式，被认为是西方第一本系统论述三角学理论的著作。约同时代的梅内劳斯写了一本专门叙述球三角学的

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著作《球面学》，他的工作使希腊三角学达到全盛时期。2.2 三角学术语的由来

对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪阿拉伯天文学家巴塔尼（850-929）作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家。他的《天文论著》（又名《星的科学》）颇具学术价值，后来的一大批天文学家诸如哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人，无不研习巴塔尼的著作并受益匪浅。在该书中巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切。他称正弦为jī ba，来源于阿耶波多的印度语术语jī vat，拉丁语译作sinus，后来演变成英语sine；称正切为umbra versa，意即反阴影，余切为umbra recta，意即直阴影。后来演变成拉丁语分别为tangent和cotangent，首见于丹麦数学家芬克的《圆的几何》（1583）一书中，而正割﹝secant﹞及余割﹝cosecant﹞这两个概念由伊朗数学家、天文学家阿布尔─威发﹝940-998﹞首先引入。sec这个略号是1626年荷兰数基拉德﹝1595-1630﹞在他的《三角学》中首先使用，后经欧拉采用后才得以通行。正割、余割函数的现代定义亦是由欧拉给出的。 3 三角学的独立发展

如果说希腊以来，三角术仅是天文学的附属的话，那么这种情况在中世纪数学家纳西尔·丁那里发生了一些改变。他的《论完全四边形》是一脱离天文学的系统的三角学专著，使三角学成为一门独立于天文学的纯粹数学分支。所谓完全四边形，即指两两相交的平面上的四条直线或球面上的四条大圆弧所构成的图形。该书系统阐述了平面三角学，明确给出正弦定理。讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角形的6种边角关系(c为直角)： cosc = cosa cosb ; cosc = ctga ctgb ; cosa = cosa sinb ; cosa = tgb ctgc ; sinb = sinc sinb ; sinb = tga ctgb ;

他还指出，由平面三角形的三个角，可以求得它的三个边，或由三边去求三个角。这是平面三角与球面三角相区别的重要标志，至此三角学开始脱离天文学，走上独立发展的道路。纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世纪的欧洲三角学传播与发展有着非常重要的作用。 4 三角函数定义的出现

在16世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立的数学分支。现代三角学的确认： 直到十八世纪，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、

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正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。三角学的现代特征，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。这方面的工作是由欧拉作出的，此后瑞士数学家和物理学家欧拉（1707-1783）在《无穷小分析引论》一书中首次给出了用线段的比来定义三角函数。在欧拉之前，研究三角函数大都在一个确定半径的圆内进行的。在《无穷小分析引论》中提出三角函数是对应的三角函数线与圆的半径的比值，并令圆的半径为1，这使得对三角函数的研究大为简化。他还在此书的第八章中提出弧度制的思想。他认为，如果把半径作为1个单位长度，那么半圆的长就是π，所对圆心角的正弦是0，即sinπ =0。这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某些三角公式及其计算。18世纪瑞士数学家欧拉(L.Euler，1707—1783)才研究了三角函数。这使得三角学从原先静态研究三角形的解法中解脱出来，成为反映现实世界中某些运动和变化的一门具有现代数学特征的学科。(引入《中国数学通史》) 此外1748年欧拉（L.Euler）他还给出另一个著名公式后来称为欧拉公式，对于任意实数x，存在：eix=cosx+isinx 当 x=π时，欧拉公式的特殊形式为 eiπ+1=0这一公式被誉为“最美的数学公式”，它将数学中的“五朵金花”——中性数0，基数1，虚数单位i，圆周率π，自然对数的底数e——组合在一起，形成了一个如此简洁而和谐的等式，真是令人拍案叫绝。欧拉不仅用直角坐标来定义三角函数，彻底解决了三角函数在四个象限中的符号问题，同时引进直角坐标系，在代数与几何之间架起了一座桥梁，通过数形结合，为数学的学习与研究提供了重要的思想方法．著名的欧拉公式，把原来人们认为互不相关的三角函数和指数函数联系起来了，为三角学增添了新的活力．因此欧拉对三角学的发展起到了重要的推动作用。 因此三角学是源于测量实践，其后经过了漫长时间的孕育，众多中外数学家的不断努力，才逐渐丰富，演变发展成为现在的三角学。 5 现代三角学的定义

研究平面三角形和球面三角形边角关系的数学学科。三角学是以研究三角形的边和角的关系为基础，应用于测量为目的，同时也研究三角函数的性质及其应用的一门学科。以下重点分析平面三角学的某些概念。

具体的初中锐角三角函数的定义如下，角三角函数值的定义方法是在直角三角形中定义的，所以在初中阶段求锐角的三角函数值，都是通过构造直

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角三角形来完成的，即把这个角放到某个直角三角形中:

锐角A正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,

图一

余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边：sinA=a/c

余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 从而得到特殊角的三角函数值如（表一）

三角函数 锐角α 30° 45° 60° 正弦 sinα 余弦 cosα 32 正切 tanα 33 从三角函数的定义可以看出，“比”的关系贯穿了锐角三角形的定义，因此，三角函数的本质应是：“三角比”。 [4]这是高中三角函数知识的衔接点。 高中讨论的任意角的三角函数定义为在直角坐标系中，在角α终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，构造一个RtΔOMP，则∠ MOP=α（锐角），设P（x, y）（x＞0、y＞0），a的临边OM = x、对边MP = y，斜边长|OP∣= r，根据锐角三角函数定义用x、y、r列出锐角a的正弦、余弦、正切三个比值：

主要是以平面直角坐标系中的点位研究工具，因此，点的坐标并不是三角函数的定义中最本质的定西，最本质的是“比”的关系，平面直角坐标系只是研究任意三角函数的定义的工具，既然平面直角坐标系只是研究的工具，那么单位圆也只能算是研究的工具而已。 6 三角学的计算

三角学中的三角函数有6个，是用几何方法定义的。在直角坐标系中，设以射线Ox为始边，OP为终边的角为θ，P点的坐标为(x，y)，｜OP｜＝r，这时6个比由θ的大小确定，都是θ的函数，称它们为角θ的三角函数，分别记作并分别称为角θ的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。tg，ctg，csc也分别记作tan，

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cot，cosec。同角三角函数间有3组运算关系，即三角函数都是周期函数，以2π为周期。三角函数的基本恒等式有和角公式： sin(a＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ cos(a＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

由这两个公式可以导出差角公式、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差等公式。解三角形是已知三角形的某些元素（边和角）时求其余未知元素。设三角形的三个角为A，B，C，它们所对的边分别为a，b，c，则有正弦定理：

asinAbsinBcsinC=2R（2R在同一个三角形中是恒量，是此三角形外接圆的半

2径的两倍）余弦定理：ab2c22bccosA这两个定理是解三角形的主要依据。

三角方程一般指含有某些三角函数的方程，并且三角函数的自变量中含有未知数。由于每个三角函数都是周期函数，所以任何一个三角方程只要有解，就有无穷多个解。

总之，三角学源于测量实践，其后经过了漫长时间的孕育和众多中外数学家的不懈努力，才逐渐丰富、演变、发展成为现代的三角学，它以三角函数及其应用为主要研究对象.三角函数是数形结合的桥梁，在解决代数与几何问题中都具有重要的作用，它是研究数学问题的基本工具之一.更为重要的是，它是刻画周期现象的重要数学模型，在现实问题中具有广泛的应用.对于等速圆周运动、温度的变化、生命节律、声波、潮汐等周期现象，我们都可以通过建立三角函数模型来加以研究。 参考文献：

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[4]尚利峰.清代三角学的基本概念与变迁[D].内蒙古师范大学，2011,20—28

[5]董辰秋，李邦宁.浅谈数学发展的相对独立性[J].四川师范大学学报，1982(04):36—37 [6] moments in Mathematics .[J] 北京：科学技术出版社，1990,28—35

[7] Elvira Pelaacute;ez-Arango, Fernando Loacute;pez-Ortiz, Joseacute; Barluenga,

Miguel Ferrero and Fra2010 Source:School Science and Mathematic solume On Page Volume 53 Issue 2139-145 Publication Date: February 1953

致 谢

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经过一个学期的忙碌和查找，本次毕业设计已经接近尾声，作为一个本科生的毕业设计，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有导师的督促指导，以及一起工作的同学们的支持，想要完成这个设计是难以想象的。在这里首先要感谢我的导师邓鹏老师。邓老师平日里工作繁多，但在我做毕业设计的每个阶段，从查阅资料到设计草案的确定和修改，中期检查，后期详细设计等整个过程中邓老师都给予了我悉心的指导。

另外，在论文修改期间，许多同学给我提出了诸多宝贵的意见和建议，在此一并致谢.

张国凤 2012年5月

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