2020年决胜中考经典专题分析
专题2 裂项相消法
裂项相消法实际上是把一个数列的每一项裂为两项的差的形式，可以用字母表示 为：
an=f(x)－f（x＋1）的形式，从而达到数列求和的目的，最终得到数列总和
总=f(1)－f（
的结果为：S
x＋1）经过此专题的了解，可以培养同学们的逆向
思维，开阔孩子的思维能力，更好的调动学生们的创造力，这样可以大大的提高初 中孩子的学习效率，通过几位资深金牌老师的专研并加以总结，特归纳了这个专题 的资料，让初中孩子提前学习和了解，可以秒懂和玩转这些技巧，这样可以大大的 提高学子们的学习积极性
主要口诀：小的数在前，大数在后 （1）等差型
等差型的数列是平时计算中常见的题型，也是学子们容易搞懂的，
典例1: 求
𝟏𝟏𝟏𝟏
＋＋＋…..＋ 𝟑×𝟒𝟒×𝟓𝟓×𝟔𝐧（𝐧＋𝟏）
（小）（大） 后面也是这样规律，小的数在前，大数在后
𝟏𝟑
【答案】原式=
－＋－＋－……＋－𝟒
𝟒
𝟓
𝟓
𝟔
𝐧
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
𝐧＋𝟏
𝟏
𝟏𝟏== － 𝟑𝐧＋𝟏
𝐧＋𝟏𝟑=－ 𝟑（𝐧＋𝟏）𝟑（𝐧＋𝟏）
=
𝐧＋𝟏−𝟑𝟑（𝐧＋𝟏）
𝐧−𝟐= 𝟑（𝐧＋𝟏）
【精准解析】本道题型主要考察等差型裂项法，把一个数列的每一项裂为两项的差的形式，这样最终可以 快速的把一组复杂的数列快速的计算出来
1
典例2 求 【答案】原式=
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏＋ ＋ ＋ ＋……＋
𝟖×𝟏𝟏𝟏𝟏×𝟏𝟒𝟐×𝟓𝟓×𝟖𝐧（𝐧＋𝟑）
𝟏－ 𝟏 ＋……＋ －
𝐧𝟖𝟏
𝐧＋𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏（ −＋ 𝟑𝟐𝟓𝟓 ）
𝟏𝟏𝟏
= （ － ） 𝟑𝟐𝐧＋𝟑
=
𝟏𝟑
（ （
𝐧＋𝟑
𝟐（𝐧＋𝟑）𝐧＋𝟑−𝟐𝟐（𝐧＋𝟑）
－
𝟐𝟐（𝐧＋𝟑）
）
𝟏= 𝟑=
）
𝐧＋𝟏𝟔（𝐧＋𝟑）
【精准解析】本道题型主要考察等差型裂项法，本道题和上面那道题差不多一样，可是这道题的裂项
差是3，所以前面要乘三分之一才能不改变原来的数据。学员们需要耐心的看他们的差异在哪
里，这样我们才能从容的应对
专题训练1
探究下列各组算式中，小能手们可以发现什么呢？
𝟏= （ 𝟐×𝟒𝟐𝟏𝟏= （ 𝟒×𝟔𝟐𝟏𝟔×𝟖
𝟏
𝟏 𝟐
－ ） － ）
－ ）
𝟖
𝟏
𝟏𝟏
𝟒
𝟏
𝟏
𝟔𝟏𝟏= （ 𝟐𝟔𝟏 𝟒求前面三个式子分别相加的总和：
𝟏
【答案】原式= （ 𝟐𝟏
= =
𝟏 𝟐－ ＋ －
𝟒
𝟏𝟖
𝟒
𝟐×𝟒𝟒×𝟔𝟏𝟏𝟏
𝟔
＋
＋𝟏
＋
𝟏
𝟔
－）
𝟖
𝟔×𝟖
𝟏
𝟐𝟑
（ 𝟏 － ）
𝟐 𝟏𝟔
【精准解析】本道题型主要考察等差型裂项法，裂项两数之差是2，所以要乘二分之一，才能使得数据不变
猜想并写出：
𝟏𝟏𝟐
𝟏
𝐧（𝐧＋𝟐）
==
𝟏𝟐
（
𝟏
𝟏 𝐧
－
𝟏
𝐧＋𝟐
）
𝟐𝟎
𝟏𝟏𝟏
【答案】原式= ＋＋ 𝟑×𝟒＋ 𝟏×𝟐𝟐×𝟑𝟒×𝟓
专题训练2：求
＋＋＋ 的值．
𝟔𝟏𝟐
𝟏
𝟏
1
= 1－
𝟏
= 1 － 𝟐𝟏𝟓
＋ － ＋－＋－
𝟐
𝟑
𝟑
𝟒
𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟓
=
𝟒𝟓
【精准解析】本道题型主要考察学员们的逆向思维，前面几道题都是直接列出他们的等差关系，所以 直接套入式子算就行，这道考查转化思想，从而转变成我们一直比较熟悉的等差裂项法
裂项相消大归纳
把一项拆成两项的和或差，使得算式可以消去某些项，从而使得运算更方便
裂差：
（1） 𝟏
𝟏
𝟏
𝐧（𝐧＋𝟏）=𝐧－𝐧＋𝟏
（2） 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝐧（𝐧＋𝟐）=𝟐（𝐧－𝐧＋𝟐
）
（3） 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝐧（𝐧＋𝟑）=𝟑（𝐧－𝐧＋𝟑
）
（4） 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝐧（𝐧＋𝐤）=𝐤（𝐧－𝐧＋𝐤
）
小能手们是否可以直接写出下列的答案
𝟏𝟏×𝟐＋𝟏𝟐×𝟑＋ 𝟑×𝟒𝟏＋𝟏𝟒×𝟓＋…. ＋𝟏𝟐𝟎𝟎𝟏×𝟐𝟎𝟎𝟐
【答案】
𝟐𝟎𝟎𝟏𝟐𝟎𝟎𝟐
（2）
𝟏
𝟏×𝟐＋𝟏
𝟐×𝟑＋ ＋𝟏𝟑×𝟒𝟏
𝟏𝟒×𝟓＋…. ＋𝐧（𝐧＋𝟏）
【答案】
𝐧
𝐧＋𝟏
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终极大考验：
𝟏𝟏𝟏𝟏
按一定顺序排列的一列数叫做数列，如数列：，，， ，，，，，
𝟐𝟔𝟏𝟐𝟐𝟎
则这个数列的前2018个数的和为———————
𝟐𝟎𝟏𝟖
【答案】 𝟐𝟎𝟏𝟗
𝟏
【分析】由题意得 第一项为：
𝟏×𝟐
𝟏
第二项为： 𝟐×𝟑𝟏
第三项为： ……..
𝟑×𝟒
𝟏
所以第2018项为： 𝟐𝟎𝟏𝟖×𝟐𝟎𝟏𝟗
则前2018项的和为
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
＋＋ 𝟑×𝟒＋＋…. ＋
𝟏×𝟐𝟐×𝟑𝟒×𝟓𝟐𝟎𝟏𝟖×𝟐𝟎𝟏𝟗
𝟏
= 1－ 𝟐𝟎𝟏𝟗
𝟐𝟎𝟏𝟖= 𝟐𝟎𝟏𝟗
【精准解析】本道题型主要考察学员们的综合能力，总结归纳前几道题的规律，把这道转为为前面学的知识点，再直接套入式子算就行。相对前面几道会难一点
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