共点力的合成与分解(三个力)

目的要求：

明解力的矢量性，熟练掌握力的合成与分解。

知识梳理

1、合力与分力：一个力如果它产生的效果跟几个力共同作用所产生的效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这个力的分力。

2、力的合成与分解：求几个力的合力叫做力的合成；求一个力的分力叫做力的分解。

3、共点力：物体同时受到几个力作用时，如果这几个力都作用于物体的同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫做共点力。 4、共点力合成计算：

（1）同一直线上两个力的合成：同方向时F=F1+F2；反方向F=F1-F2

（2）互成角度两力合成：矢量的合成与分解都遵从平行四边形定则（可简化成三角形定则） 力的合成与分解都遵循平行四边形定则．如图1.3.1所示，力F1、F2为共面共点的力，其夹角为θ，平行四边形的对角线F为它们的合力． 合力大小F =

F12F222F1F2cos，

图1.3.1

F1sinF2F1cosF1 F F 方向与F2夹角α，tanα = ．

F1

O (1)两个力F1、F2为同向时，合力F有最大值，数值O F2 F2 上等于两者的代数和；

(2)两力反向时，合力F有最小值，数值上等于两者的代数差．两力夹角θ在0～1800范围内变化时，若F1、F2大小不变，则合力随着θ的增大而减小． （3）两个力的合力的取值范围是：|F1-F2|≦F≦F1+F2 三个力的合力的范围：最小值有可能是0

三角形定则：几个力的合力可以把表示这几个力的有向线段首尾相连，用一个有向线段将第一个力的首赫最后一个力的尾相连，这个有向线段就是这些力的合力。

还可以得到一个有用的推论：如果n个力首尾相接组成一个封闭多边形，则这n个力的合力为零。

例1、 有五个力作用于一点O，这五个力构成一个正六边形 的两邻边和三条对角线，如图3-1所示。设F3=10N，则这 五个力的合力大小为多少？

注：a 、平行四边形定则实质上是一种等效替换的方法。一个矢量（合矢量）的作用效果和另外几个矢量（分矢量）共同作用的效果相同，就可以用这一个矢量代替那几个矢量，也可以用那几个矢量代替这一个矢量，而不改变原来的作用效果。

在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。

b、矢量的合成分解，一定要认真作图。在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的

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实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。各个矢量的大小和方向一定要画得合理。

C、在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意画成45°。（当题目规定为45°时除外）

5、力的分解：力的分解是力的合成的逆运算（1）已知一条确定的对角线，可以作出无数个平行四边形，故将一个力分解成两个分力，有无数解；（2）已知一个分力的大小和方向求另一个分力，只有一解；（3）已知一个分力的大小和另一个分力的方向时可能有一组解、两组解或无解。

6、例题解析

例1 关于两个力的合力与这两个力的关系的说法中正确的是：（ ） A．合力比这两个力的都大 B．合力至少比这两力中较小的力要大 C．合力可能比这两个力都小 D．合力可能比这两个力都大 析与解：力F1、F2的合力大小范围是

F1F2≤ F ≤F1 + F2，由此可以判断C、D正确．

点评：合力的大小除了与F1、F2的大小有关以外，还与它们的方向关系，有关，自特殊的当F1 = F2，且它们的夹角为1200时合力大小F = F1 = F2，方向沿F1、F2夹角的角平分线．

例2 用两根绳子吊起一重物，使重物保持静止，逐渐增大两绳之间的夹角，则两绳对重物的拉力的合力变化情况是：（ ）

析与解：因为重物保持静止，且重物的重力保持不变，则两绳的合力一定与重力大小相等方向相反，故选择A．

点评：本题易受到夹角逐渐减小，合力变大的思维定势的影响，而选择错误，事实上这正是本题所设计的陷阱．

例2、将一个20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成300角，试讨论 （1）另一个分力的大小不会小于多少？

（2）若另一个分力的大小是20/√3N，则已知方向的分力的 大小是多少？ 1．两个力F1、F2的合力为F，如果两力F1、F2的夹角保持不变，当F1、F2中的一个力增大后：（ ） A．F的大小一定增大 B．F的大小可能不变

C．F的大小可能变大也可变小 D．当夹角在0到900时，F大小一定增大

2．大小为4N、7N、9N的三个共面共点力，它们合力的最大值是 ________N，最小值是 ________N．

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例3 在做验证平行四边形定则的实验中： (1) 除了已有的器材：方木板、白纸、弹簧秤、细绳套、刻度尺、图钉、和铅笔外，还必须有 __________和 ___________．

(2) 要使每次合力与分力产生相同的效果，则必须 ________________________．

析与解：(1) 根据实验原理：还必须需要三角板和橡皮条．(2) 单独拉橡皮条时与两只弹簧秤一起拉时

结点应当重合，即橡皮的拉力大小与方向保持与原来一样．

点评：验证平行四边形定则是利用测量结果作图比较的方法进行实验研究的，因此实验中作平行四边形需要测量分力的大小和方向，也要测量合力的大小和方向，然后通过比较，验证其正确性．为了提高实验的精确性，应选择细小的细绳，橡皮条、细绳和弹簧秤的轴线应在同一平面上，且与板面平行贴近．

平行四边形法

例8. A的质量是m，A、B始终相对静止，共同沿水平面向右运动。当a1=0时和

v a2=0.75g时，B对A的作用力FB各多大？ A a 解：一定要审清题：B对A的作用力FB是B对A的支持力和摩擦力的合力。而A

B 所受重力G=mg和FB的合力是F=ma。

当a1=0时，G与 FB二力平衡，所以FB大小为mg，方向竖直向上。

当a2=0.75g时，用平行四边形定则作图：先画出重力（包括大小和方向），再画出AFα 所受合力F的大小和方向，再根据平行四边形定则画出FB。由已知可得FB的大小

FB=1.25mg，方向与竖直方向成37o角斜向右上方。

F

G

例4 如图1.3.2所示，用个轻质三角支架悬挂重物，已知AB杆所受的最大压力为2000N，

AC绳所受的最大拉力为1000N，α角为300．为了不使支架断裂，则所悬的重物应当满足什么要求． 重物重力G ≤ 500N． 图1.3.2

例5 如图1.3.3是拔桩架示意图．绳CE水平，CA竖直，已右绳DE与水平方向成α

角；绳BC与竖直方向成β角．若在E点施加竖直向下的大小为F的拉力作用，求CA绳向上拔桩的力的大小．

析与解：将F分解为沿DE方向的分力F1和沿CE方向的分力F2，如图1.3.3(解a) 所

图1.3.3 示．再将CE的拉力F2分解为沿BC、AC方向的分力F4、F3，如图1.3.3(解b)

所示．由几何关系得到：F2 = Fcotα，F3 = F2cotβ，所以F3 = Fcotαcotβ．这就是CA拔桩的拉力大小．

点评：F的作用效果是拉DE、CE，而CE拉力的作用效果是拉CB与向上拉

CA即拔桩．这里主要根据力的实际作用效果分解，从而寻找各个力之间的关系．

图1.3.3(解)

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对于力的变化或极值问题：关键是找到引起变化的因素（通常是角度）

例10. 轻绳AB总长l，用轻滑轮悬挂重G的物体。绳能承受的最大拉力是2G，将A端固定，将B端缓慢向右移动d而使绳不断，求d的最大可能值。 A B

解：以与滑轮接触的那一小段绳子为研究对象，在任何一个平衡位置都在滑轮对它的压力（大小为G）和绳的拉力F1、F2共同作用下静止。而同一根绳子上的拉力大小F1、F2总是相等的，它们的合力N是压力G的平衡力，方

向竖直向上。因此以F1、F2为分力做力的合成的平行四边形一定是菱形。利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合相似形知识可得d∶l =15∶4，所以d最大为 N

F1 F2

G

例3、如图3-2所示长为5m的细绳的两端分别系于竖直立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B。绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重12N的物体，稳定时，绳的张力为多少？（10N）

例9．已知质量为m、电荷为q的小球，在匀强电场中由静止释放后沿直线OP向斜下方

O 运动（OP和竖直方向成θ角），那么所加匀强电场的场强E的最小值是多少？

解：根据题意，释放后小球所受合力的方向必为OP方向。用三角形定则从右图中不难θ 看出：重力矢量OG的大小方向确定后，合力F的方向确定（为OP方向），而电场力Eq

Eq 的矢量起点必须在G点，终点必须在OP射线上。在图中画出一组可能的电场力，不难

mgsin看出，只有当电场力方向与OP方向垂直时Eq才会最小，所以E也最小，有E =q

mg 15l4

P 这是一道很典型的考察力的合成的题，不少同学只死记住“垂直”，而不分析哪两个矢量垂直，经常误认为电场力和重力垂直，而得出错误答案。越是简单的题越要认真作图。

例6 如图1.3.4所示，重物G系在OA、OB两根等长的轻绳上，轻绳的A端和B端挂在半圆形支架上．若固定A端的位置，将OB绳的B端沿半圆形支架从水平位置逐渐移至竖位置OC的过程中：（ ）

A．OB绳上的拉力先减小后增大 B．OB绳上的拉力先增大后减小 C．OA绳上的拉力先减小后增大

图1.3.4

D．OA绳上的拉力先增大后减小

析与解：因为绳结O受到悬挂重物的轻绳的拉力F作用，且F = G．OA、OB绳对O断的拉力F1、F2

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的合力始终与F等大反向，故可以运用合成法进行分析求解．作出合成图如图1.3.4(解)所示，由于OA方向不变，故F1方向不变，因此，F2的末端只能在平行于F1的直线BD上滑动，由图可知当F2与BD垂直时最小，故F2先减小后增大，而F1一直减小，故应选择A． 点评：本例应用图解法进行分析研究，其方法比函数法简便直观．

例7 如图1.3.5所示，用一根长为l的细绳一端固定在O点，另一端悬挂质量为m的小

球A，为了使细绳与竖直方向夹角为300角绷紧，小球A处于静止状态，则对球施加的最小拉力等于_________．

析与解：绳OA的拉力、小球重力及施加的外力F三力平衡，则由例6可知当F与OA垂图1.3.5

直时F取得最小值，故F = mgsin300 = 0.5mg．

点评：本例主要的在另一情况下运用图解法，或其相关结论进行分析与求解，以达到效率地解题．

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四．能力训练：

1．物体受到两个力作用而静止，现将其中的F1逐渐减小到零，再逐渐增到原值，则物体所受合力：（ ）

A．逐渐减小，方向不变 B．逐渐增大，方向改变 C．先增大后减小，方向不变 D．先减小再增大，方向改变

2．静止的斜面上的物体所受重力G可以分解为沿斜面方向的分力F1和垂直于斜面方向的分力F2，关于这两个力的说法中正确的是：（ ） A．F1作用在物体上，F2作用在斜面上

B．F1、F2效果和G效果相同，但F1、F2实际上并不存在 C．F2实际上就是物体对斜面的压力 D．物体同时受到G和F1、F2的作用

3．在力互成角度的合成实验中，如图所示，使b弹簧按图示位置开始沿顺时针方向缓慢转动，在这个过程中，保持O点位置不变和a弹簧的拉伸方向不变。则整个过程中关于a、b弹簧的读数变化是：（ ） A．a增大，b减少 B．a减少，b增大

C．a减少，b先增大后减少 D．a减少，b先减少后增大

4．在图所示装置中，AO，BO，CO三段轻绳上的张力分别为T1，T2，T3，当悬点B向P点缓慢移动时： （ ）

A．T1变小 B．T2变小

C．T3变小 D．T1与T2的合力变小

5．弹簧秤两端各拴一绳，用大小都等于F，方向相反的两个力分别拉住两绳，则弹簧秤的读数F1和弹簧秤所受的合力F2分别为：（ ） A．F1 = F，F2 = 0 B．Fl = 0，F2 = 0 C．F1 = 2F，F2 = 0 D．F1 = 2F，F2 = 2F

6．如图所示，一个质量为m的物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，则物体所受的合力是： （ ）

A．2Fl B．F2 C．F3 D．2F3

7．如图所示，—个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住，在这三种情况下，若绳的张力分别为T1、T2、T3，轴心对定滑轮的支持力分别为N1、N2、N3．滑轮的摩擦、质量均不计，则：（ ）

A．T1 = T2 = T3，N1 > N2 > N3 B．T1 > T2 > T3， N1 = N2 = N3 C．T1 = T2 = T3，N1 = N2 = N3 D．T1 < T2 < T3，N1 < N2 < N3

8．如图所示，小车M在恒力的作用下，沿水平地面作直线运动，由此可判断： （ ）

A．若地面光滑，则小车一定受三个力作用 B．若在地面粗糙，则小车可能受三个力作用 C．若小车作匀速运动，则小车一定受四个力作用 D．若小车作加速运动，则小车可能受三个力作用

9．两个共点力的合力最大值为28N，最小值为4N，则这两个力的大小分别为_______N和___________N．如果这两个力的夹角是900，则合力的大小为___________N．

10．如图所示，物体M在拉力F的作用下，沿水平面向右作匀速直线运动．由此可知，物体M所受的摩擦力与拉力F的合力的方向一定是__________．

11．将力F分解为F1和F2两个分力，已知F的大小及F和F2之间的夹角为，且为锐角，则当F1

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和F2大小相等时，F1的大小为 ___________；当F1有最小值时，F2的大小为 ___________．

12．重15N的物体由OP、OM两条绳拉住，OP与竖直方向成角，若OP、OM能承受的最大拉力分别为103N和15N．问为了保持绳不被拉断，角的最大值等于多少？

3．如图所示，一轻杆A、B的A端用光滑铰链固定于地面上，另一端挂一质量为m的重物，现用细

绳OB拉着B端，求当AB杆静止于图示位置时，杆的B端所受的力．（sin370 = 0.6）

14．如图所示，A、B两球用轻绳相连并静止在光滑的圆柱面上，若A、B与圆心连线与竖直方向的夹角分别为370和530，若物体A的质量为m，试求B的质量。（sin370 = 0.6、sin530 = 0.8）．

15．如图所示，长方形斜面倾角为370，其长为0.8m，宽为0.6m，一重为25N的木块原先在斜面体上部，它与斜面间的动摩擦因数为0.6，要使木块沿对角线AC方向匀速下滑，需要对它施加方向平行于斜面的多大力？（sin370 = 0.6）．

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