积分对称性定理

关于积分对称性定理

1、 定积分：

设f(x)在a,a上连续，则

2、

a-a0,fxdxa2fxdx,0fx为x的奇函数,fx为x的偶函数.

二重积分：

若函数f(x,y)在平面闭区域D上连续，则

（1）如果积分区域D关于x轴对称，f(x,y)为y的奇（或偶）函数，即 f(x,y)f(x,y)（或f(x,y)f(x,y)），则二重积分

0,fx,y为y的奇函数,fx,ydxdy2fx,ydxdy,fx,y为y的偶函数.DD1

其中：D1为D满足y0上半平面区域。

（2） 如果积分区域D关于y轴对称，f(x,y)为x的奇（或偶）函数，即fx,yfx,y（或fx,yfx,y），则二重积分

D0,fx,ydxdy2fx,ydxdy,D2fx,y为x的奇函数,fx,y为x的偶函数.

其中：D2为D满足x0的右半平面区域。

（3）如果积分区域D关于原点对称，f(x,y)为x,y的奇（或偶）函数，即

f(x,y)f(x,y)（或f(x,y)f(x,y)）则二重积分

0,fx,y为x,y的奇函数,fx,ydxdy2fx,ydxdy,fx,y为x,y的偶函数.DD2

其中:D1为D在y0上半平面的部分区域。 （4）如果积分区域D关于直线yx对称,则二重积分

fx,ydxdyfy,xdxdy.（二重积分的轮换对称性）

DD(5)如果积分区域D关于直线yx对称,则有

0,f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy,DD1当f(y,x)f(x,y)时当f(y,x)f(x,y)时 利用上述性质定理化简二重积分计算时,应注意的是（1）（2）（3）中应同时具有积分域D对称及被积函数fx,y具有奇偶性两个特性。

3、三重积分：

(1)若fx,y,z为闭区域上的连续函数，空间有界闭区域关于xoy坐标面对称，1为位于xoy坐标面上侧z0的部分区域，则有

0,fx,y,z为z的奇函数,fx,y,zdxdydz2fx,y,zdxdydz,fx,y,z为z的偶函数.1

注：f(x,y,z)是z的奇函数：f(x,yz)f(x,y,z)

f(x,y,z)是z的偶函数：f(x,yz)f(x,y,z)

同样，对于空间闭区域关于xoz,yoz坐标面对称也有类似的性质。

4、 曲线积分（第一类）

（1）若分段光滑平面曲线L关于y轴对称，且fx,y在L上为连续函数，L1为L位于y轴右侧的弧段，则

L0,fx,yds2fx,yds,L1fx,y为x的奇函数,fx,y为x的偶函数.

（2）若分段光滑平面曲线L关于x轴对称，且fx,y在L上为连续函数，L1为L位于x轴上侧的弧段，则

0,fx,y为y的奇函数,fx,yds L 2fx,yds,fx,y为y的偶函数.L1（3）若L关于直线yx对称，则

f(x,y)dsf(y,x)dsLL

其中（3）式也称为第一类曲线积分的轮换对称性。 5、第二类曲线积分

（1）设分段光滑的平面曲线L关于x轴对称，且L在x轴的上半部分L1与在下半部分的L2方向相反， 则

0,LPx,ydx2Px,ydx,L1

Px,y是关于y的偶函数,Px,y是关于y的奇函数.（2）设分段光滑的平面曲线L关于y轴对称，且L在y轴的右半部分L1与在左半部分的L2方向相反

则

0,Px,y是关于x的偶函数,LPx,ydx2Px,ydx,Px,y是关于x的奇函数.

L1 对于积分Qx,ydy也有类似地结论。上述结论可推广到空间曲线的情形.

L6、 第一类曲面积分：

若曲面关于xoy坐标面对称，fx,y,z为上的连续函数，1为位于xoy上侧z0的部分曲面，则

0,fx,y,z为z的奇函数,fx,y,zdS2fx,y,zdS,fx,y,z为z的偶函数.1

曲面关于yoz,xoz坐标平面对称也有类似的性质。

7、第二类曲面积分的对称性

设函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在分片光滑的曲面上连续，

（1）设分片光滑的曲面关于xoy坐标面对称，且在xoy上半空间的部分曲面1取上侧，在xoy下半空间的部分曲面2取定下侧，则

0,Rx,y,z关于z是偶函数,Rx,y,zdxdy2Rx,y,zdxdy,Rx,y,z关于z是奇函数.1

（2）设分片光滑的曲面关于yoz坐标面对称，且在yoz前半空间的部分曲面1取前侧，在yoz后半空间的部分曲面2取后侧，则

0,Px,y,z关于x是偶函数,Px,y,zdxdy2Px,y,zdydz,Px,y,z关于x是奇函数.1

（3）设分片光滑的曲面关于xoz坐标面对称，且在xoz右半空间的部分曲面1取右侧，在xoz左半空间的部分曲面2取左侧，则

0,Qx,y,z关于y是偶函数,Qx,y,zdxdy2Qx,y,zdydz,Qx,y,z关于y是奇函数.1

（4）若积分曲面关于x,y,z具有轮换对称性，则

Px,y,zdydzPy,z,xdzdxPz,x,ydxdy1

Px,y,zdydzPy,z,xdzdxPz,x,ydxdy3