第5讲 椭 圆1

第5讲 椭 圆

【2013年高考会这样考】

1．考查椭圆的定义及利用椭圆的定义解决相关问题． 2．考查椭圆的方程及其几何性质． 3．考查直线与椭圆的位置关系． 【复习指导】

1．熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程．

2．掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等．体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题．

基础梳理

1．椭圆的概念 在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数： (1)若a＞c，则集合P为椭圆； (2)若a＝c，则集合P为线段； (3)若a＜c，则集合P为空集． 2．椭圆的标准方程和几何性质 标准方程 x2y2＋＝1 a2b2(a>b>0) y2x2＋＝1 a2b2(a>b>0) 图 形 续表 范 围 对称性 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

性 质 顶点 轴 焦距 离心率 a，b，c 的关系 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0) 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b |F1F2|＝2c ce＝∈(0,1) ac2＝a2－b2

一条规律 椭圆焦点位置与x2，y2系数间的关系： x2y2给出椭圆方程＋＝1时，椭圆的焦点在x轴上⇔m＞n＞0；椭圆的焦点在y轴mn上⇔0＜m＜n. 两种方法 (1)定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程． (2)待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程． 三种技巧 (1)椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c.

(2)求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e(0＜e＜1)．

(3)求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为( )．

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

x2y2

A.＋＝1 916

x2y2x2y2

C.＋＝1或＋＝1 25161625

x2y2

B.＋＝1 2516D．以上都不对

解析 ∵2a＋2b＝18，∴a＋b＝9，又∵2c＝6，∴c＝3，则c2＝a2－b2＝9，故ax2y2x2y2

－b＝1，从而可得a＝5，b＝4，∴椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.

25161625答案 C

x2y2

2．(2012·合肥月考)设P是椭圆＋＝1上的点，若F1、F2是椭圆的两个焦点，

2516则|PF1|＋|PF2|等于( )．

A．4 B．5 C．8 D．10 解析 依椭圆的定义知：|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10. 答案 D

x2y23．(2012·兰州调研)“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的

5－mm＋3( )．

A．充分不必要条件 C．充要条件 xy解析 要使方程＋＝15－mm＋322B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5－m＞0，

表示椭圆，应满足m＋3＞0，

5－m≠m＋3，

解得－3

x2y2＜m＜5且m≠1，因此“－3＜m＜5”是“方程＋＝1表示椭圆”的必

5－mm＋3要不充分条件． 答案 B

x2y24

4．(2012·淮南五校联考)椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )．

94＋k5A．－21 C．－

19

或21 25

B．21 D.19

或21 25

解析 若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝ 5－k，

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

c45－k419由＝即＝，得k＝－； a53525若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝ k－5， c4k－54由＝，即＝，解得k＝21. a54＋k5答案 C

5．(2011·全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为2.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为2

16，那么C的方程为________．

x2y22解析 根据椭圆焦点在x轴上，可设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)．∵e＝，

ab2c2∴＝，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，因此a＝4，b＝22，所以椭圆a2

x2y2方程为＋＝1. 168x2y2答案 ＋＝1 168

考向一 椭圆定义的应用 x2y2【例1】►(2011·青岛模拟)已知F1、F2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点，

ab→→P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为9，则b＝________. →

[审题视点] 关键抓住点P为椭圆C上的一点，从而有|PF1|＋|PF2|＝2a，再利用PF1→，进而得解． ⊥PF2

→⊥PF→， 解析 由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，PF12∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2， ∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝4c2， ∴2|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2. ∴|PF1||PF2|＝2b2，

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

1

∴S△PF1F2＝|PF1||PF2|

21

＝×2b2＝b2＝9. 2∴b＝3. 答案 3

椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角

形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|；通过整体代入可求其面积等．

x22

【训练1】 已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个

3焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )． A．23 C．43

B．6 D．12 解析 由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a， ∴周长为4a＝43(F是椭圆的另外一个焦点)． 答案 C

考向二 求椭圆的标准方程

x2y2【例2】►(1)求与椭圆＋＝1有相同的离心率且经过点(2，－3)的椭圆方程．

43(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程．

[审题视点] 用待定系数法求椭圆方程，但应注意椭圆的焦点位置是否确定． x2y2

解 (1)由题意，设所求椭圆的方程为＋＝t(t＞0)，

4322－32

∵椭圆过点(2，－3)，∴t＝＋＝2，

43x2y2

故所求椭圆标准方程为＋＝1.

86(2)设所求的椭圆方程为

x2y2y2x2

＋＝1(a＞b＞0)或2＋2＝1(a＞b＞0)， a2b2ab

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

2a＝5＋3，

由已知条件得 222

2c＝5－3，解得a＝4，c＝2，b2＝12.

x2y2y2x2

故所求方程为＋＝1或＋＝1.

16121612

运用待定系数法求椭圆标准方程，即设法建立关于a、b的方程组，先

定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题目所给条件求出m、n即可． 【训练2】 (1)求长轴是短轴的3倍且经过点A(3,0)的椭圆的标准方程． x2y2

(2)已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，若椭圆短轴的两个三等分ab点M，N与F构成正三角形，求椭圆的方程． 解 (1)若椭圆的焦点在x轴上， x2y2设方程为2＋2＝1(a＞b＞0)， ab9∵椭圆过点A(3,0)，∴2＝1，a＝3， ax22∵2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为＋y＝1. 9若椭圆的焦点在y轴上， y2x2设椭圆方程为2＋2＝1(a＞b＞0)， ab029∴椭圆过点A(3,0)，∴2＋2＝1，∴b＝3， aby2x2又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为＋＝1.

819x22y2x2

综上所述，椭圆方程为＋y＝1或＋＝1.

9819(2)由△FMN为正三角形，则c＝|OF|＝x2y2

＝4.故椭圆方程为＋＝1.

43

考向三 椭圆几何性质的应用

x22

【例3】►(2011·北京)已知椭圆G：＋y＝1.过点(m,0)作圆x2＋y2＝1的切线l

4

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

332

|MN|＝×b＝1.∴b＝3.a2＝b2＋c2223

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

交椭圆G于A，B两点．

(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；

(2)将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

[审题视点] (1)由椭圆方程可直接求出c，从而求出离心率．(2)可设出直线方程与椭圆方程联立得一元二次方程，由弦长公式列出|AB|长的表达式从而求出|AB|的最大值．

解 (1)由已知得，a＝2，b＝1， 所以c＝a2－b2＝3.

所以椭圆G的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)， c3

离心率为e＝＝.

a2(2)由题意知，|m|≥1.

33

当m＝1时，切线l的方程为x＝1，点A，B的坐标分别为1，，1，－，

22此时|AB|＝3. 当m＝－1时，同理可得|AB|＝3. 当|m|＞1时，设切线l的方程为y＝k(x－m)． y＝kx－m，

由x22得(1＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－4＝0.

＋y＝1.4

设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 8k2m4k2m2－4x1＋x2＝，xx＝. 1＋4k2121＋4k2又由l与圆x2＋y2＝1相切，得即m2k2＝k2＋1.

所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12＝ 1＋k2[x1＋x22－4x1x2]＝ 64k4m244k2m2－41＋k－

1＋4k21＋4k222

|km|k＋1

2

＝1，

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

43|m|＝2. m＋3

由于当m＝±1时，|AB|＝3， 所以|AB|＝因为|AB|＝

43|m|

，m∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． m2＋3

43|m|43＝≤2， m2＋33

|m|＋

|m|

且当m＝±3时，|AB|＝2，所以|AB|的最大值为2.

(1)求椭圆的离心率，其法有三：一是通过已知条件列方程组，解出a，

c的值；二是由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解；三是通过取特殊值或特殊位置，求出离心率． (2)弦长公式l＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2

x1＋x22－4x1x2. 【训练3】 (2012·武汉质检)在Rt△ABC中，AB＝AC＝1，如果一个椭圆通过A，B两点，它的一个焦点为点C，另一个焦点在AB上，则这个椭圆的离心率为________． 解析

设另一个焦点为F，如图所示，∵|AB|＝|AC|＝1，△ABC为直角三角形， ∴1＋1＋2＝4a，则a＝设|FA|＝x，

x＋1＝2a，22∴∴x＝，∴1＋2＝4c2，

221－x＋2＝2a，∴c＝答案

6c

，e＝＝6－3. 4a6－3

2＋2， 4

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

考向四 椭圆中的定值问题

2【例4】►(2011·重庆)如图，椭圆的中心为原点O，离心率e＝， 一条准线的

2方程为x＝22.

(1)求该椭圆的标准方程；

→＋2ON→，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与

(2)设动点P满足：O→P＝OM1

ON的斜率之积为－ .问：是否存在两个定点F1，F2，使得|PF1|＋|PF2|为定值？

2若存在，求F1，F2的坐标；若不存在，说明理由．

[审题视点] (1)由离心率和准线方程即可求出椭圆方程．(2)充分利用椭圆的定义和性质，利用设而不求的方法求出P点． c2a2解 (1)由e＝＝，＝22， a2c解得a＝2，c＝2，b2＝a2－c2＝2， x2y2故椭圆的标准方程为＋＝1. 42(2)设P(x，y)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，

→＋2O→则由O→P＝OMN得

(x，y)＝(x1，y1)＋2(x2，y2)＝(x1＋2x2，y1＋2y2)， 即x＝x1＋2x2，y＝y1＋2y2.

因为点M、N在椭圆x2＋2y2＝4上，

222

所以x21＋2y1＝4，x2＋2y2＝4，

222故x2＋2y2＝(x1＋4x22＋4x1x2)＋2(y1＋4y2＋4y1y2) 222＝(x1＋2y21)＋4(x2＋2y2)＋4(x1x2＋2y1y2)

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

＝20＋4(x1x2＋2y1y2)．

设kOM，kON分别为直线OM，ON的斜率， y1y21

由题设条件知kOM·kON＝＝－，

x1x22因此x1x2＋2y1y2＝0， 所以x2＋2y2＝20. 所以P点是椭圆

＋＝1上的点， 2

2510

2

x2y2

设该椭圆的左、右焦点为F1，F2， 则由椭圆的定义|PF1|＋|PF2|为定值． 又因c＝252－102＝10，

因此两焦点的坐标为F1(－10，0)，F2(10，0)．

本题考查椭圆方程的求法和椭圆中的定点、定值等综合问题，可先设出动点P，利用设而不求的方法求出P点的轨迹方程，从而找出定点． 【训练4】 (2010·安徽)如图，

已知椭圆E经过点A(2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e1＝. 2

(1)求椭圆E的方程；

(2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程． x2y2

解 (1)设椭圆E的方程为2＋2＝1(a＞b＞0)，

ab1c1

由e＝，即＝，得a＝2c，得b2＝a2－c2＝3c2.

2a2x2y2

∴椭圆方程可化为2＋2＝1.

4c3c

13

将A(2,3)代入上式，得2＋2＝1，解得c＝2，

cc

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

x2y2

∴椭圆E的方程为＋＝1.

1612

(2)由(1)知F1(－2,0)，F2(2,0)，∴直线AF1的方程为 3

y＝(x＋2)，即3x－4y＋6＝0，直线AF2的方程为x＝2. 4由点A在椭圆E上的位置知，直线l的斜率为正数． |3x－4y＋6|

设P(x，y)为l上任一点，则＝|x－2|.

5

若3x－4y＋6＝5x－10，得x＋2y－8＝0(因其斜率为负，舍去)． 于是，由3x－4y＋6＝－5x＋10，得2x－y－1＝0， ∴直线l的方程为2x－y－1＝0.

规范解答16——怎样求解与弦有关的椭圆方程问题

【问题研究】 求椭圆的方程是高考的重中之重，几乎每年必考，有的是以选择题或填空题的形式出现，多数以解答题的形式出现．虽然考向二中学习了求椭圆方程的方法，但在解答题中往往结合弦长等知识来求椭圆方程，难度中等偏上． 【解决方案】 解决这类问题首先根据题设条件设出所求的椭圆方程，再由直线与椭圆联立，结合根与系数的关系及弦长公式求出待定系数．

x2y2【示例】►(本题满分12分)(2011·天津)设椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分

ab别为F1、F2.点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|. (1)求椭圆的离心率e； (2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝165

相交于M，N两点，且|MN|＝|AB|，求椭圆的方程．

8

第(1)问由|PF2|＝|F1F2|建立关于a、c的方程；第(2)问可以求出点A、B

的坐标或利用根与系数的关系求|AB|均可，再利用圆的知识求解．

[解答示范] (1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c＞0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以a－c2＋b2＝cc11cc

2c.整理得22＋－1＝0，得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.(4分)

aaaa22

(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

y＝3(x－c)．

3x2＋4y2＝12c2，

A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.

y＝3x－c.8

解得x1＝0，x2＝c.(6分)

5x1＝0，

得方程组的解为

y1＝－3c，



8x2＝5c，33y2＝c.

5

833

不妨设Ac，，B(0，－3c)， c

55所以|AB|＝

8233216c＋＝c.(8分) c＋3c555

5

于是|MN|＝|AB|＝2c. 8

|－3－3－3c|3|2＋c|

圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝＝.(10分)

223|MN|2＝42，所以(2＋c)2＋c2＝16. 因为d2＋24整理得7c2＋12c－52＝0. 得c＝－26(舍)，或c＝2. 7x2y2所以椭圆方程为＋＝1.(12分) 1612 用待定系数法求椭圆方程时，可尽量减少方程中的待定系数(本题只有

一个c)，这样可避免繁琐的运算而失分．

1x2y2

【试一试】 已知直线y＝－x＋2和椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)相交于A、B两点，

2ab1

M为线段AB的中点，若|AB|＝25，直线OM的斜率为，求椭圆的方程．

2[尝试解答] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com

x2y211＋a2b2＝1， ①则22

x2y2a2＋b2＝1， ②

y2－y1b2x1＋x2①－②得：＝－2.

x2－x1ay1＋y2b2x01

∴kAB＝－2×＝－.③

ay02y01

又kOM＝＝，④

x02由③④得a2＝4b2. 1

y＝－x＋2，2由2

xy24b2＋b2＝1

得：x2－4x＋8－2b2＝0，

∴x1＋x2＝4，x1·x2＝8－2b2. ∴|AB|＝1＋k2|x1－x2| 5＝x1＋x22－4x1x2 2＝516－32＋8b2 25＝8b2－16 2＝25. 解得：b2＝4. x2y2

故所求椭圆方程为：＋＝1.

164

21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网