高二数学空间向量及运算人教版

【本讲教育信息】

一. 教学内容：

空间向量及运算

二. 教学目标：

1. 理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘运算。

2. 了解空间向量基本定理。

3. 掌握空间向量的数量积的定义及其性质的应用。

三. 重点、难点：

重点：空间向量的基本定理，数量积。

难点：应用向量解决一些立体几何问题。

四. 重要知识点：

1. 共线向量定理：

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word 对空间任意两个向量a、b(b0)，a//b存在R，使ab.

2. 共面向量定理：

若a，b不共线，则向量p与向量a、b共面存在实数x、y，使pxayb.

3. 空间向量基本定理：

若a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使pxaybzc.

4. 两空间向量的数量积：

a·b|a||b|cosa，b

性质：

（1）a·e|a|cosa，e （2）aba·b0 2（3）|a|a·a

运算律：

（1）(a)·b(a·b)

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word （2）a·bb·a

（3）a(bc)a·ba·c

【典型例题】

例1. 判断题

（1）若pxayb，(x，yR)，则a、b、p共面。

（2）若a、b、p共面，则存在x，yR，使pxayb。

解：（1）正确。

（2）错。当a与b不共线时成立。

例2. 若a、b、c是空间三面共面向量,且xaybzc0，求x、y、z的值（x、y、z

∈R）

yz若x0，则abcxx 解：

这说明a、b、c共面，矛盾

x0

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word 同理，y0，z0，xyz0

例3. 若a、b、c不共面，那么(ab)，(bc)，(ca)共面吗？

解：假设cb，ca，ab共面，则存在实数x、y

使abx(cb)y(ac) (cb与ac不共线) 即(1y)a(1x)b(xy)c0

1y与1x，xy不可能全为零

a、b、c共面，矛盾

于是(ab)、(bc)、(ca)不共面

例4. 若向量a、b、c，t(abc)的起点相同，终点在同一平面内，

求t的值（tR）(a、b、c不共面)。

解：设a、b、c，t(abc)的起点为O，终点分别为A、B、C、D

则AB、BC、AD共面

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word 于是存在实数x、y，使ABxBCyAD(BC与AD不共线) 即bax(cb)ytatbtca

(yty1)a(ytx1)b(ytx)c0 1yty0令ytx10ytx0t13

例5. 已知a、b、c两两之间的夹角为60°，模都为1，求|ab2c|.

2解：|ab2c|(ab2c)(ab2c)

222|a||b|4|c|2|a||b|cos604|b||c|cos604|a||c|cos605 |ab2c|5

例6. 若OA、OB、OC互相垂直，求证ABC为锐角三角形。

O A C B

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word 证明：ACAB(OCOA)(OBOA)

OC·OBOC·OA|OA|2OA·OB |OA|20

cosAC，AB0，于是A为锐角

同理可证∠B、∠C均为锐角。

∴△ABC为锐角三角形。

例7. 已知在平行六面体ABCD—A’B’C’D’中，BAD=90°，∠BAA’=∠DAA’=60°。

（1）求证AC’⊥BD；

（2）AC’的值。

D’ C’ A’ B’ D C A B 证：（1）AC'·BD(ABBCCC')·(ADAB)

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AB=AD=3，AA’=5，∠

word 2AB·AD|AB|BC·ADAB·BCCC· ADCC· AB

22ABADABAD|BC||AB||AA'||AD|cos60|CC'|ABcos600

AC'BD

2（2）|AC'|(ABBCCC')·(ABBCCC')

222|AB||BC||CC'|2(AB·BCAB·CC'BC·CC')

3232522(35cos60°35cos60°)73

|AC'|73

【模拟试题】

基础巩固题

1. 给出下列命题：

（1）a=“从某某往正北平移6km”，b=“从往正北平移3km”，那么a=2b； （2）(ab)c(ad)b(1)a(cd)(R)；

（3）把正方形ABCD平移向量m到A'B'C'D'的轨迹所形成的几何体，叫做正方体；

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word （4）有直线l，且l//b，在l上有点B，若ABCA2b，则Cl。

其中正确的命题是（）

A. （1）（2）

B. （3）（4）

C. （1）（2）（4）

D. （1）（2）（3）

2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，下列关于AC1的表达式中错误的是（）

A. AA1A1B1A1D1

B. ABDD1D1C1

C. ADCC1D1C1

1(AB1CD1)A1C12D.

3. 以下四个命题正确的是（）

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word 11OPOAOB23A. 若，则P、A、B三点共线

B. 若a、b、c为空间的一个基底，则ab、bc、ca构成空间的另一个基底

b||c| C. |(ab)c||a||D. △ABC为直角三角形的充要条件是AB·AC0

4. 给出下列命题

（1）已知ab，则a(bc)c(ba)bc；

（2）A、B、M、N为空间四点，若BA、BM、BN不构成空间的一个基底，那么A、

B、M、N共面；

（3）已知向量ab，则a、b与任何向量都不能构成空间的一个基底；

（4）已知向量a，b，c是空间的一个基底，则基向量a和b可以与向量mac构成空间另一个基底。

其中正确命题的个数是（）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、

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word AD、DC的中点，则a2是下列哪个向量的数量积？（）

A. 2BA·AC

B. 2AD·BD

C. 2FG·CA

D. 2EF·CB

A E F B D G C

6. 已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD=1，则a与b所成的角是（）

A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°

强化提高题

7. 已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为3，M是CC1上一点且|CM|1，N是DD1上

一点且|DN|2，P为CA1的中点，则|MN||PM||PN|_______。

28. 长为4的向量a与单位向量e的夹角为3，则向量a在向量e方向上的投影向量

为___________。

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word 9. 在空间平移正△ABC到△A1B1C1得到如图所示的几何体。若D是AC的中点。AA1⊥平面ABC，AA1：AB2：1，则异面直线AB1与BD所成的角是__________。

A A1 D C1 C B B1

10. 设OE是以OA，OB，OC为棱的平行六面体的对角线，OE交平面ABC于M，试用向量法证明M是△ABC的重心。

试题答案

基础巩固题

1. C 2. B 3. B 4. C 5. B

6. C

提示：ABACCDDB

AB·CD(ACCDDB)·CD1AB·CD1cosAB，CD2|AB|·|CD|

适合用直角坐标系求解。

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word A B D a C b

强化提高题

7. 1019

8. 2e

9. 60°

解1：设ABa，AA12a

AB1·BD(ABBB1)·BDAB·BD0a·33a·cos150a224

33又|AB1|·|BD|3a·aa22232a14cosAB1，BDAB1，BD120°322a2

解2：如图所示，AB1E为所求。

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word A A1 D E C1 C B B1

10. 证明：设OAa，OBb，OCc

1DM'DA3取BC中点D，连DA，取

即M’是△ABC重心，下面证M’与M重合

1111OM'ODDM'(bc)bca23221(abc)3

又OEabc1OM'OE3M'在OE上，又M'平面ABC

M'与M重合

故M是△ABC的重心。

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word E A C O M M’ D B

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