黎曼几何

定义1.1设M是一个黎曼流形，g是M上的一个光滑的二阶协变张量场，如果g是对称正定的，即对每一点pM，g(p)是切空间TpM上一个对称正定的二阶协变张量，则称g是M上一个黎曼度量，指定了一个黎曼度量g的光滑流形M称为黎曼流形，记为

(M,g)，简记为M。

定义1.2设M为m维光滑流形，M上的仿射联络是指满足下述性质的映射

： M M M (X,Y)XY 1. fXhYZfXZhYZ; 2. X(fYhZ)(Xf)YfXY(Xh)ZhXZ

其中， M 是M上光滑向量场的集合，X,Y,Z M , f,hC(M). 定理1.3 (黎曼几何的基本定理)设(M,g)是m维黎曼流形，则在M上存在唯一的一个与度量g相容的无挠联络，称为(M,g)的黎曼联络或Levi-Civita联络．

:[a,b]M是M中一条光滑曲线，X M ，定义1.4设M是m维黎曼流形，

如果沿曲线，对任意t[a,b]，有'X0,则称切向场X沿曲线是平行的,如果

''0，则为测地线。

定义1.5设M是m维仿射联络空间．对于任意的X,Y ，定义曲率算子

R(X,Y): 如下：对任意的Z ,

R(X,Y)ZXYZYXZX,YZ．

定义1.6假设M是仿射联络空间，定义曲率张量R：对任意的

X,Y,Z

R: ， (X,Y,Z)R(X,Y)Z

定义1.7(M,g)是黎曼流形，定义四阶协变张量场，对X,Y,Z,W ，有

R： C ， R(X,Y,Z,W)g(R(Z,W)X,Y) 称R为黎曼流形(M,g)的黎曼曲率张量．

p∈M．定义1.8设(M,g)是m维黎曼流形，对于任意的u,vTpM，如果uv则定义

20，

K(u,v)R(u,v,u,v)uv2

由此确定的数量K(u,v)称为(M,g)在p点沿二维截面uv的截面曲率．

定义1.9设(M,g)是m维黎曼流形，p∈M，对于任意的u,vTpM，定义S(u,v)：

TpMTpM，使得对任意的wTpM，

S(u,v)wR(w,u)v

将S(u,v)的缩并记作Ric(u,v)．于是对于任意的局部标架场{ei}及其对偶余标架场有

Ric(u,v)i(R(ei,u)v)

i1m这样定义的Ric(u,v)在M上给出一个二阶协变张量场

Ric： C ，

称为M上的Ricci曲率张量场，且是对称的二阶协变张量场．由mcci曲率张量场可以定义Ricci曲率．

定义1.10设任意的p∈M，UTpM，u0．令

Ric(u)Ric(u,u)uuRic(,)g(u,u)uu，

Ric(u)是切方向u的函数，称为黎曼流形(M,g)在点p沿切方向u的Ricci曲率．

定义1.11 黎曼流形M上给定两点p，q，xM,定义超出量函数：

exc(x)d(p,x)d(x,q)d(p,q)

定义1.12设:[0,1]M为M中的测地线，T为其切向量场，若沿的向量场J满足Jacobi方程

TTJR(T,J)T

则称J为Jacobi场。

二．芬斯勒几何的基础概念

1．芬斯勒流形与基本张量：设M是m维光滑流形，F:TM[0,)是其切丛上的非负函数，且满足：

（1） 正齐性：F(x,y)F(x,y)，0；

（2） 光滑性：在带孔切丛TM\\{0}上F(x,y)是C函数； （3） 正则性：对于任意非零向量y0，

12F12gij(x,y)(x,y)[F]yiyj

2yiyj2构成正定矩阵，

则称F为M上一个芬斯勒度量，具备芬斯勒度量的微分流形(M,F)称为芬斯勒流形。

ggij(x,y)dxidxj

称为基本张量，可度量TxM中向量长度。

2.陈联络：设(M,F)是一个m维芬斯勒流形，在拉回切丛TM上存在唯一的仿射联络，它是无挠的，且与度量几乎相容，该联络称为陈联络，他有两个曲率张量，一个黎曼曲率张量Rjikl*与非黎曼曲率张量Pjiikl

W(t)3.共变导数：W（t）为沿曲线的向量场 ixdWijk'W[W（'）(ijk(,'))]i

dtx'称为W沿切向量的共变导数。当'W0时称W沿是平行的。

4.指标形式：V,W是沿的两个分段光滑的向量场，

I(V,W)[g(,')('V,'W)g(,')(R(V,')',W)]d

0L称为指标形式，其中是以弧长为参数的长度L的曲线，R(V,)按下式计算并在点

''(,')取值：

R(V,')'[(')jRijkh(')h]容易验证是对称双线性的。

 xi5记T,TV是由旗杆T与单位正交向量V张成的旗，则该旗在点(,T)的旗曲率为

'K(TV)g(,T)(R(V,T)T,V)Vi(TjRjikhTh)Vk:ViRikVk

当W是沿正交于T的分段光滑向量场时，指标形式

'I(W,W)[g(,T)(TW,TW)K(TW)g(,T)(W,W)]dt

0L6取{ly,e|1,...m1}为*TM中点(x,y)TM\\0上纤维的一个正交基，则

F(x,y)K(x,y)(le)g(x,y)(R(e,l)l,e)R

Ricci标量定义为：

Ric(x,y):K(x,y)(le)R

11m1m1若(M,F)为常旗曲率流形，且旗曲率为c，则Ric(x,y)(m1)c。 三．相关定理与引理

1.基本指标引理：设为m维黎曼流形M内由p到q的测地线，且上p无共轭点，W为

上分段光滑向量场，V为唯一的Jacobi场使得

V(p)W(p)0，V(q)W(q)

I(V,V)I(W,W)

且等式成立当且仅当WV.

W(0)W(1)02推论：若:[0,1]M为M中的测地线，W为沿分段光滑的向量场，

在(0,1)内W处处不为0，且I(W,W)0,则中必有(0)的共轭点。