白云区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

一、选择题

1． 设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ A．1 ④0,正确的有（ A.个

B．2

C．4

2． 下列给出的几个关系中：①a,b；②

）个

B.个

）

C.个

D.个）

D．6

a,ba,b；③a,bb,a；

3． 半径R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ A．

πR3

B．

πR3

C．

πR3

D．

πR3

4． 等差数列{an}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{an}的公差为（ A．1

B．2

C．3

D．4

0）

5． 已知三棱锥SABC外接球的表面积为32，ABC90，三棱锥SABC的三视图如图所示，则其侧视图的面积的最大值为（ A．4

）

C．8

D．47B．42 6． 下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数为（ A．y=sinx

B．y=1g2x

C．y=lnx

D．y=﹣x3

【考点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．

）

【分析】根据正弦函数的单调性，对数的运算，一次函数的单调性，对数函数的图象及单调性的定义即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．

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7． 若直线L：(2m1)x(m1)y7m40圆C：(x1)(y2)25交于A,B两点，则弦长

22|AB|的最小值为（ ）

A．85

B．45

C．25

D．51x2,x1,31x的零点个数为（ ）8． 若函数f(x)则函数yf(x)32lnx,x1,A．1

9． 下列命题中正确的是（

B．2 ）

C．3

D．4

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题B．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x≠0”C．“

”是“

”的充分不必要条件

”

）

D．

）

D．S02S1S2）

20152D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“A．1 A．2S0B．2 B．S0210．已知是虚数单位，若复数3i(ai)（aR）的实部与虚部相等，则a（

C． C．2S0S1S2

11．棱台的两底面面积为S1、S2，中截面（过各棱中点的面积）面积为S0，那么（

S1S2

2S1S2

212．已知函数f(x)3x2axa，其中a(0,3]，f(x)0对任意的x1,1都成立，在1和两数间插入2015个数，使之与1，构成等比数列，设插入的这2015个数的成绩为T，则T（ A．22015

2B．32015

C．3

20152

D．2二、填空题

13．函数f(x)x2(a1)x2在区间(,4]上递减，则实数的取值范围是 ．

14．圆柱形玻璃杯高8cm，杯口周长为12cm，内壁距杯口2cm的点A处有一点蜜糖．A点正对面的外壁（不是A点的外壁）距杯底2cm的点B处有一小虫．若小虫沿杯壁爬向蜜糖饱食一顿，最少要爬多少　　　　　　cm．（不计杯壁厚度与小虫的尺寸）

15．在等差数列{an}中，a12016，其前n项和为Sn，若于 .S10S82，则S2016的值等108第 2 页，共 17 页

【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.16．曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线与曲线y＝ax＋ln x相切，则a＝________．

三、解答题

17．已知函数f（x）=

（Ⅰ）求函数f（x）单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．　

18．已知A（﹣3，0），B（3，0），C（x0，y0）是圆M上的三个不同的点．（1）若x0=﹣4，y0=1，求圆M的方程；

（2）若点C是以AB为直径的圆M上的任意一点，直线x=3交直线AC于点R，线段BR的中点为D．判断直线CD与圆M的位置关系，并证明你的结论．

∠AA1C1=60°，19．AB=AC=AA1=BC1=2，AC1与A1C如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面ABC1⊥平面AA1C1C，相交于点D．

（1）求证：BD⊥平面AA1C1C；

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（2）求二面角C1﹣AB﹣C的余弦值．

20．（本题满分15分）

如图，已知长方形ABCD中，AB2，AD1，M为DC的中点，将ADM沿AM折起，使得平面

ADM平面ABCM．

（1）求证：ADBM；

（2）若DEDB(01)，当二面角EAMD大小为

3时，求的值．

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

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21．已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，若存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N*都成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）问是否存在一组非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列？若存在，求出常数a，b的值，若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分12分）

33a21设p：实数满足不等式3a9，：函数fxx3x9x无极值点.

32（1）若“pq”为假命题，“pq”为真命题，求实数的取值范围；

11（2）已知“pq”为真命题，并记为，且：a22mamm0，若是t的必要不充分

22条件，求正整数m的值．

23．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AB的中点．

（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1；（II）求证：EF∥平面B1BCC1；（III）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．

，E，F分别是A1C1，

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白云区一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B【解析】

试题分析：设an的前三项为a1,a2,a3，则由等差数列的性质，可得a1a32a2，所以a1a2a33a2，解得a24，由题意得a1a38a12a16

，解得或，因为an是递增的等差数列，所以

a36a32a1a312a12,a36，故选B．

考点：等差数列的性质．2． 【答案】C【解析】

试题分析：由题意得，根据集合之间的关系可知：a,bb,a和0是正确的，故选C.考点：集合间的关系.3． 【答案】A

【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=故选A

4． 【答案】B

【解析】解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，故选B．　

5． 【答案】A【解析】

，所以V=

考

点:三视图．

【方法点睛】本题主要考查几何体的三视图,空间想象能力.空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面,左

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面,上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图.因此在分析空间几何体的三视图时,先根据俯视图确定几何体的底面,然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征,调整实线和虚线所对应的棱,面的位置,再确定几何体的形状,即可得到结果. 要能够牢记常见几何体的三视图.6． 【答案】B

【解析】解：根据y=sinx图象知该函数在（0，+∞）不具有单调性；

y=lg2x=xlg2，所以该函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，所以选项B正确；根据y=lnx的图象，该函数非奇非偶；

根据单调性定义知y=﹣x3在（0，+∞）上单调递减．故选B．

【点评】考查正弦函数的单调性，对数的运算，以及一次函数的单调性，对数函数的图象，奇偶函数图象的对称性，函数单调性的定义．　

7． 【答案】B【解析】

2xy70试题分析：直线L:m2xy7xy40，直线过定点，解得定点3,1，当点

xy40（3,1）是弦中点时，此时弦长AB最小，圆心与定点的距离d1322125，弦长

AB225545,故选B.

考点：1.直线与圆的位置关系；2.直线系方程.

【方法点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，属于基础题型，涉及一些最值问题，当点在圆的外部时，圆上的点到定点距离的最小值是圆心到直线的距离减半径，当点在圆外，可做两条直线与圆相切，当点在圆上，可做一条直线与圆相切，当点在圆内，过定点做圆的弦时，过圆心即直径最长，当定点是弦的中点时，弦最短，并且弦长公式是l2Rd，R是圆的半径，d是圆心到直线的距离.

1111]

8． 【答案】D【

解

析

】

22

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考点：函数的零点．

【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在[a,b]上是连续的曲线，且f(a)f(b)0.还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

9． 【答案】 D

【解析】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确；命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确；““故“

”⇒“

”是“”⇒“

+2kπ，或”，

”的必要不充分条件，故C不正确；

”，故D正确．，k∈Z”，

命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“故选D．

【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．　

10．【答案】A

考

点：复数运算．11．【答案】A【解析】

试题分析：不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2h上部三棱锥的高为，根据相似比的性质可得：

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a2S()a2hS，解得2S0SS，故选A．aS()2S0ah考点：棱台的结构特征．12．【答案】C【解析】

f10试题分析：因为函数f(x)3x2axa，f(x)0对任意的x1,1都成立，所以，解得

f10a3或a1，又因为a(0,3]，所以a3，在和两数间插入a1,a2...a2015共2015个数，使之与，构成等

22比数列，Ta1Aa2...a2015，Ta2015Aa2...a1，两式相乘，根据等比数列的性质得Ta1a201522015132015，

T32015

2

，故选C.

考点：1、不等式恒成立问题；2、等比数列的性质及倒序相乘的应用.

二、填空题

13．【答案】a3【解析】

试题分析：函数fx图象开口向上，对称轴为x1a，函数在区间(,4]上递减，所以

1a4,a3.

考点：二次函数图象与性质．14．【答案】　10　cm

【解析】解：作出圆柱的侧面展开图如图所示，设A关于茶杯口的对称点为A′，则A′A=4cm，BC=6cm，∴A′C=8cm，∴A′B=故答案为：10．

=10cm．

【点评】本题考查了曲面的最短距离问题，通常转化为平面图形来解决．　

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15．【答案】201616．【答案】

【解析】由y＝x2＋3x得y′＝2x＋3，∴当x＝－1时，y′＝1，

则曲线y＝x2＋3x在点（－1，－2）处的切线方程为y＋2＝x＋1，即y＝x－1，设直线y＝x－1与曲线y＝ax＋ln x相切于点（x0，y0），由y＝ax＋ln x得y′＝a＋1（x＞0），∴

∴a＝0.答案：0

{a＋x0＝1

y0＝x0－1

y0＝ax0＋ln x0

1

)x，解之得x0＝1，y0＝0，a＝0.

三、解答题

17．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=∴由2k

≤+

≤2kπ

sincos+cos2=sin（+，k∈Z可解得：4kπ﹣

，4kπ

）

，，k∈Z，

≤x≤4kπ]，k∈Z．

∴函数f（x）单调递增区间是：[4kπ﹣（Ⅱ）∵f（A）=sin（+

）

，

∵由条件及正弦定理得sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB=2sinAcosB﹣sinCcosB，∴则sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB，

∴sin（B+C）=2sinAcosB，又sin（B+C）=sinA≠0，∴cosB=，又0＜B＜π，∴B=

．

，，

∴可得0＜A＜∴

＜+

＜

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∴sin（+）＜1，

故函数f（A）的取值范围是（1，）．

【点评】本题考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．　

18．【答案】

【解析】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0圆的方程为x2+y2﹣8y﹣9=0…

（2）直线CD与圆M相切O、D分别是AB、BR的中点则OD∥AR，∴∠CAB=∠DOB，∠ACO=∠COD，又∠CAO=∠ACO，∴∠DOB=∠COD又OC=OB，所以△BOD≌△COD∴∠OCD=∠OBD=90°

即OC⊥CD，则直线CD与圆M相切． …（其他方法亦可）

19．【答案】

【解析】解：（1）∵四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC=A1C1，∵AC=AA1，∴AA1=A1C1，

∵∠AA1C1=60°，∴△AA1C1为等边三角形，

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同理△ABC1是等边三角形，∵D为AC1的中点，∴BD⊥AC1，∵平面ABC1⊥平面AA1C1C，

平面ABC1∩平面AA1C1C=AC1，BD⊂平面ABC1，∴BD⊥平面AA1C1C．

（2）以点D为坐标原点，DA、DC、DB分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，平面ABC1的一个法向量为由题意可得

，

，1，1），

，设平面ABC的法向量为

，则

，，

所以平面ABC的一个法向量为=（∴cosθ=

．

．

即二面角C1﹣AB﹣C的余弦值等于

【点评】本题在三棱柱中求证线面垂直，并求二面角的平面角大小．着重考查了面面垂直的判定与性质、棱柱的性质、余弦定理、二面角的定义及求法等知识，属于中档题．　

20．【答案】（1）详见解析；（2）233.【解析】（1）由于AB2，AMBM∴BM平面ADM，…………3分

又∵AD平面ADM，∴有ADBM；……………6分

2，则BMAM，

又∵平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM＝AM，BM平面ABCM，

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21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和为Sn，首项为b，存在非零常数a，使得（1﹣a）Sn=b﹣an+1对一切n∈N*都成立，由题意得当n=1时，（1﹣a）b=b﹣a2，∴a2=ab=aa1，当n≥2时，（1﹣a）Sn=b﹣an+1，（1﹣a）Sn+1=b﹣an+1，两式作差，得：an+2=a•an+1，n≥2，∴{an}是首项为b，公比为a的等比数列，∴

．

（Ⅱ）当a=1时，Sn=na1=nb，不合题意，

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当a≠1时，若

，即

，，

化简，得a=0，与题设矛盾，

故不存在非零常数a，b，使得{Sn}成等比数列．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查使得数列成等比数列的非零常数是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．　

22．【答案】（1）aa1或2a5；（2）m1.【解析】

（1）∵“pq”为假命题，“pq”为真命题，∴p与只有一个命题是真命题．a2a1．………………………………5分若p为真命题，为假命题，则a1或a5a22a5．……………………………………6分若为真命题，p为假命题，则1a5于是，实数的取值范围为aa1或2a5．……………………………………7分

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考点： 1、不等式；2、函数的极值点；3、命题的真假；4、充要条件.23．【答案】

【解析】（I）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，所以，BB1⊥BC．

又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B，所以，BC⊥平面A1ABB1．因为BC⊂平面BCE，

所以，平面BCE⊥平面A1ABB1．

（II）证明：取BC的中点D，连接C1D，FD．因为E，F分别是A1C1，AB的中点，所以，FD∥AC且

．

因为AC∥A1C1且AC=A1C1，所以，FD∥EC1且 FD=EC1．所以，四边形FDC1E是平行四边形．所以，EF∥C1D．

又因为C1D⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1，所以，EF∥平面B1BCC1．

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（III）解：因为所以，

．

，AB⊥BC

过点B作BG⊥AC于点G，则．

因为，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1所以，平面A1ACC1⊥底面ABC．所以，BG⊥平面A1ACC1．所以，四棱锥B﹣A1ACC1的体积

．

【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．　

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