微积分在不等式中的应用 毕业论文

摘要 ................................................................................................................................................ 1 关键词........................................................................................................................................... 1 Abstract ....................................................................................................................................... 1 Key words .................................................................................................................................. 1 0 前言........................................................................................................................................... 1 1 利用微分证明不等式 ..................................................................................................... 1

1.1利用微分中值定理证明不等式 ................................................................................. 1 1.2利用泰勒公式证明不等式 .......................................................................................... 2 1.3利用函数的增减性证明不等式 ................................................................................. 3 1.4利用函数函数的最值和极值 ..................................................................................... 4 1.5利用函数凹凸性证明不等式 ..................................................................................... 6 1.6微分定义法证明不等式 .............................................................................................. 7

2 利用积分证明不等式 ..................................................................................................... 7

2.1利用定积分定义及性质证明不等式 ....................................................................... 7 2.2利用柯西不等式证明不等式 ..................................................................................... 9 2.3利用积分上限函数(原函数法)证明不等式 ......................................................... 10

参考文献 ................................................................................................................................... 10

微积分在不等式中的应用

摘要：微积分和不等式都是数学中极为重要的内容，本文在回顾了几种常

用的证明不等式的初等方法后，利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极（最）值的判定法、定积分的性质等一些微积分知识探究了不等式的证明方法，最后指出了微积分在不等式证明中的具体应用.

关键词：微积分；不等式；导数；函数

Abstract：Calculus and inequality are very important contents of mathematics. The paper reviews some common elementary methods to prove inequality, then explores the proving method of inequality by using differential mean value theorem, Taylor formula, monotony of function, determinate method of extreme (most) value, definite integral quality and some other related knowledge of calculus, at last, the paper points out the specific application of calculus in the proof of inequality.

Key words: calculus; inequality; derivative; functions

0 前言

不等式涉及数量之间大小的比较，而通过比较常能显示出变量变化之间相互制约的关系.因此，从某种意义上说, 对不等式的探讨，在数学分析中甚至比等式的推演更为重要.许多数学家证明和发现了不少重要的不等式，许多著名不等式在数学分析中都起到了重要的作用.所以对不等式的研究无论是实践应用，还是理论分析都有重要的意义.本章就从此基点出发，介绍利用微积分法证明不等式的几种方法.

1 利用微分证明不等式

微分在不等式中的应用主要是利用微分中值定理、泰勒公式、函数的单调性、极值、最值、凸函数法等来证明不等式.以下对这些方法分别做详细的介绍. 1.1利用微分中值定理证明不等式

定理1(微分中值定理） 如果函数yf(x)，满足下列条件: (1)在闭区间a,b上连续； (2)在开区间(a,b)内可导， 则在区间(a,b)内至少存在一点，使得

1

f()f(b)f(a).

baf(b)f(a)有

ba由于在a,b之间，因此f()将有一个取值范围，即f()一个取值范围，这样就得到了一个不等式.因此，可利用在区间(a,b)内的特点证明不等式.

例1 证明：设0ab，则有

babbaln. baa证明 (1) 当ab时，上式显然成立.

(2) 当0ab时，设f(x)lnx，那么yf(x)在区间a,b上满足

拉格朗日中值定理条件.由于f(x)即

lnb1(ba)， a11，故有lnblna(ba)，(ab)，x又由于ab，所以

111，于是 bababbaln， baa故当0ab时，有

babbaln成立. baa1.2利用泰勒公式证明不等式

定理2（泰勒中值定理） 如果函数f(x)中含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n1阶的导数，对意x(a,b)有

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)f(x0)(xx0)22!f(n)(x0)(xx0)nRn(x)，(1) n!其中

f（n1）()Rn(x)(xx0)n1，

(n1)!(2)

这里是x0与x之间的某个值.

2

公式(1)称为f(x)按(xx0)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式，而Rn表达式(2)称为拉格朗日型余项.

利用泰勒公式证明不等式的常用方法是将函数f(x)在所给区间的端点或一些特定点（如区间的中点、零点）展开，通过分析余项在点的性质，从而得到不等式.

x2例2 证明不等式：当0x时，1cosx.

22x2证明 利用泰勒中值定理可得函数cosx在点x0的二阶泰勒展式为

x2x4cosx1cos，0x.

224!所以

1cosx1x2cos， 2x2241x21显然cos.另一方面，

22421x2121111cos， 224296293所以

1即

1cosx1， 2x2x2x21cosx. 21.3利用函数的增减性证明不等式

单调函数是一类很重要的函数，经常在不等式证明中使用，运用导数为工具可以判断出函数的单调性.

定理3 设函数yf(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导.

(1)如果在(a,b)内f(x)0，那么函数yf(x)在[a,b]上单调递增； (2)如果在(a,b)内f(x)0，那么函数yf(x)在[a,b]上单调递减. 利用函数的增减性证明不等式的步骤为：

3

(1)通过恒等变换(形)构造出合适的辅助函数F(x)（构造辅助函数常用的方

法是，直接将不等号右端项移到不等号左端，令不等号右端为零，左端即为所求的辅助函数）；

(2)求F(x)在所给区间上的一阶导数，再判别一阶导数在此区间上的符号； (3)有时需求F(x)在所给区间端点的函数值或极限，以便作出比较，即可得

到所要证明的结果.

例3 证明：当x0时，x13xsinxx. 3!证明 先证sinxx，令f(x)sinxx，则

f(0)0，f(x)cosx10.

由此知当x0时，f(x)是递减的(个别点处f(x)0，不影响f(x)是递减的结论)，所以当x0时，有

f(x)f(0)0，

即

sinxx；

再证左边不等式，令

F(x)sinxx13x， 3!则

x2F(0)0，F(x)cosx1，F(0)0，F(x)sinxx，

2由sinxx，知F(x)0，所以在x0时，F(x)F(0)0，从而当x0时，

F(x)为单调递增的，故在x0时，F(x)F(0)0，即

sinxx13x. 3!综上所述，当x0时，有

x13xsinxx. 3!1.4利用函数函数的最值和极值

函数的最值和极值不仅在实际问题中占有重要的地位，对于证明不等式来说也是一个常用而有效的证明方法.函数的最值和极值证明不等式适用在某区间上

4

成立的不等式,与利用函数的单调性证明不等式相似，但二者又有明显的不同，不同处在于对所作的辅助函数F(x)的处理上：利用函数的单调性的证明方法比较的是函数的端点值，而该方法是要考虑函数在区间上的最值和极值，需利用最值定理（若函数yf(x)在[a,b]上连续，则函数必在该闭区间上取得最大值和最小值，当函数取得最小值m时，对任意的x[a,b]有f(x)m，而当函数取得最大值M时，对任意的x[a,b]有f(x)M）对最值进行判断，从而得出证明结论.

证明步骤为：

(1)通过恒等变形构造合适的辅助函数F(x)；

(2)求F(x)在所给区间上的一阶导数，从而判别一阶导数在此区间上的符

号；

(3)根据辅助函数在此区间上是否存在极值和最值的比较，得出所需要的结

论.

例4 设0x1,p1，证明不等式证明 设f(x)xp(1x)p，则

12p1xp(1x)p1成立.

x）f（pxp1p(1x)p1(1)p[xp1(1x)p1]，

x）0得唯一驻点x由f（1，由 211f()p1,f(0)f(1)1， 22知，f(x)在0,1上的最大值为1，最小值为故

12p112p1，

xp(1x)p1.

例5 证明：当x0时，nxn1(n1)xn10,(n1,nN). 证明 令f(x)xn1(n1)xn1，则

f(x)n(n1)xn2n(n1)xn1n(n1)xn2(1x)，

令f(x)0，得驻点x1 (因为x0是x0的端点，所以x0不是驻点) 且当

5

x1时，

f(x)0；

当x1时，

f(x)0，

所以f(1)0是极大值也是最大值，从而得：

f(x)f(1)0，

即

nxn1(n1)xn10,(x0).

1.5利用函数凹凸性证明不等式

定义1 设f(x)在区间I上连续.若对任意的x1,x2I恒有

f(x1x2f(x1)f(x2))， 22则称f(x)的图形在I上是凹的；若

f(x1x2f(x1)f(x2)). 22则称f(x)的图形在I上是凸的.

如果函数f(x)在I内具有二阶导数,那么就可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性,这就是下面的曲线凹凸性的判定定理.

定理4 设f(x)在[a,b]上连续,在内具有一阶和二阶导数,那么 (1)若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凹的； (2)若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在[a,b]上的图形是凸的.

利用函数凹凸性证明不等式首要是找到辅助函数f(x)，利用辅助函数f(x)在所给区间的二阶导数，确定函数的凹凸性.

例6 证明不等式(xlnyylnx)(xy)ln证明 构造函数f(x)xlnx,x(0,),则

f(x)lnx1,f(x)10,x(0,) xxy(x0,y0,xy)成立. 2因此，当x0,y0时，函数f(x)是凹函数,则由凹函数的定义有

6

f(xyf(x)f(y)), 22即

从而

(xlnyylnx)(xy)lnxy. 2xyxyxlnxylnyln， 2221.6微分定义法证明不等式

从微分定义出发证明不等式是最“原始”的做法，不易被人想到，但它在证明某些不等式中确有其优势.

例7 设f(x)a1sinxa2sin2xansinx,且f(x)sinx，a1,a2，,an为实常

数，试证a12a2nan1.

证

明

因

为

f(x)a1cosx2a2cosxnancosx，

f(0)a12a2nan，利用导数定义得：

f(0)limx0f(x)f(0)f(x)f(x)， limlimx0x0x0xx由于f(x)sinx，所以

f(0)limsinx1，

x0x即

a12a2nan1.

2 利用积分证明不等式

2.1利用定积分定义及性质证明不等式

运用定积分的定义证明不等式是最基本的做法，一般不会使用，但在解某些不等式时，却会收到良好的结果.

例1 对任意正整数n1，证明：

3n112n()n()n()n2. 2n2nnn 7

证明 设 f(x)xn，x[0,1]，当n1时，f(x)显然为凸函数.将区间[0,1]分成

n等分,则由定积分定义知

111n111n11[f(0)f()f()]xndx[f(0)f()f()]， nnnnnn2n0所以

12n1nn12n1n1()n()n()()n()n(). nnnn1nnn2(1)

从(1)式前半部可得

12n1nnn()n()n()()n12， nnnnn1从(1)式后半部可得

12n1nn12n1n11()n()n()()n[()n()n()] nnnnnnn22n13n1， n122n2故原不等式成立.

利用定积分的性质证明不等式常用的是当不等式中含有定积分（或被积函数）f(x)g(x)时，可利用积分性质证明.定积分的性质在不等式上的应用所依据的原理是：若于区间(a,b)上连续函数f(x),g(x)满足f(x)g(x)，其中不等号至少对于a,b中某一点处成立，则有f(x)dxg(x)dx.

aabb例2 证明不等式21xlnxdxxlnxdx成立.

12 8

证明 当x[1,2]时，xx，lnx0，则

xlnxxlnx.

因为xlnx,xlnx在[1,2]上均为连续函数，且xlnx,xlnx在(1,2)内均可导， 则由定积分的性质知，

21xlnxdxxlnxdx.

122.2利用柯西不等式证明不等式

定理5（柯西不等式） 若函数f(x),g(x)在区间[a,b]上皆可积，则

[f(x)g(x)dx]f(x)dxg2(x)dx.

aaab2b2b例3 设函数f(x)在[0,1]上的导数连续，f(0)f(1)0，证明：

10112f(x)dxf(x)dx.

402x 证明 因为f(0)0，所以设f(x)f(x)dx，则

0 f(x)[f(x)dx]dx002x2xx0f(x)2dxx10f(x)2dx，

(1)

又因为f(1)0，所以设f(x)f(x)dx，

1xf(x)[f(x)dx]dx1x2x211xf(x)2dx(1x)[1xf(x)2dx，

(2)

由(1)与(2)得

10f(x)dxxdx[f(x)]dx(1x)dx[f(x)]2dx

001202122121211x 2x2[f(x)]dx(x)0201211210[f(x)]2dx

11[f(x)]2dx， 40结论得证.

9

2.3利用积分上限函数(原函数法)证明不等式

当命题中出现条件f(x)在a,b上连续时，可构造积分上限函数，将数值不等式或定积分不等式转化为(积分上限)函数不等式，然后利用函数单调性或定积分的性质或泰勒公式解题.

例4 设f(x)在[a,b]上连续，且单调递增，证明

abbaxf(x)dx2af(x)dx.

battf(x)dx， 证明 构造辅助函数F(t)xf(x)dx2aat显然F(a)0，对任意的t[a,b]，有

F(t)tf(t)1tatta1tf(x)dxf(t)f(t)f(x)dx2a222a

1t[f(t)f(x)]dx，x(a,t). 2a因为f(x)单调递增，则F(t)0，故F(t)单调递增，所以F(b)F(a)0， 因此

abbaxf(x)dx2af(x)dx.

b结语：

不等式是数学中的重要内容之一，它反映了变量之间很重要的一种关系.论证不等式的方法很多，初等方法求解不等式，往往需要较高技巧，但利用微积分的思想证明不等式, 可使不等式的证明过程大大简化, 技巧性降低；同时能够体现高等数学对初等数学的指导作用.本文着重介绍用微积分知识证明不等式的几种常用方法，常见的方法有微分中值定理，函数的单调性，极（最）值的判定法，定积分的性质，泰勒公式等.这些方法能够使不等式的证明思路变得简单，从而利于问题的求解.

参考文献

[1] 同济大学应用数学系，高等数学 [M]，北京高等教育出版社. [2] 华罗庚，高等数学引论 [M]，北京北京科学出版社.

[3] 费定晖，周学圣主编， 数学分析习题集解集 [M]，山东山东科学技术出版社. [4] 盛祥耀，高等数学 [M]，北京高等教育出版社.

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[5] 侯风波，高等数学 [M]，北京高等教育出版社. [6] 同济大学，高等数学 [M]，上海同济大学出版社. [7] 欧阳光中，高等数学 [M]，上海复旦大学出版社. [8] 欧阳光中，姚允龙，数学分析 [M]，上海复旦大学出版社. [9] 陈传璋，陈传临，朱学炎等, 数学分析 [M]，北京高等教育出版社. [10] 华东师范大学数学系，数学分析 [M ]，北京高等教育出版社. [11] 复旦大学数学系主编，数学分析 [M]，北京高教出版社.

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