1.2 充分条件与必要条件
[课时作业] [A组 基础巩固]
1．设a，b∈R，那么“>1”是“a>b>0”的( ) A．充分不必要条件 C．充分必要条件 解析：由>1得，－1＝
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
b>0a－b>0，即b(a－b)>0，得ba>bababab
或
b<0a π1 2．“θ≠”是“cos θ≠”的( ) 32A．充分不必要条件 C．充分必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 abπ11π 解析：因为“θ≠”是“cos θ≠”的逆否命题：“cos θ＝”是“θ＝”的必要不 3223充分条件，选B. 答案：B 3．命题p： a－1x>0；命题q：y＝a是R上的增函数，则p是q成立的( ) aB．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 A．必要不充分条件 C．充分必要条件 解析：由 a－1x>0得a>1或a<0；由y＝a是R上的增函数得a>1.因此，p是q成立的必要不a充分条件，选A. 答案：A 4．对于非零向量有a＝(a1，a2)和b＝(b1，b2)，“a∥b”是“a1b2－a2b1＝0”的( ) A．必要不充分条件 C．充分不必要条件 B．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：由向量平行的坐标表示可得a∥b⇔a1b2－a2b1＝0，选B. 鼎尚出品 精心制作仅供参考 鼎尚出品 答案：B 5．已知h＞0，设命题甲为：两个实数a、b满足|a－b|＜2h，命题乙为：两个实数a、b满足|a－1|＜h且|b－1|＜h，那么( ) A．甲是乙的充分但不必要条件 B．甲是乙的必要但不充分条件 C．甲是乙的充分必要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 |a－1|＜h， 解析：因为 |b－1|＜h， －h＜a－1＜h， 所以 －h＜b－1＜h， 两式相减得－2h＜a－b＜2h，故|a－b|＜2h. 即由命题乙成立推出命题甲成立，所以甲是乙的必要条件． |a－2|＜h， 由于 |b－2|＜h， 同理也可得|a－b|＜2h. 因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B. 答案：B 6．已知各个命题A、B、C、D，若A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充分必要条件，试问D是A的________条件(填：“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”“既不充分也不必要”)． 解析：∵A⇒B⇒C⇔D， ∴D是A的必要不充分条件． 答案：必要不充分 7．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋(m＋1)y＝2－m与直线mx＋2y＝－8互相垂直的充分必要条件是m＝________. 2解析：x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8互相垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－. 32 答案：－ 3 8．有四个命题：①“x≠1”是“x≠1”的必要条件；②“x＞5”是“x＞4”的充分不必要条件；③“xyz＝0”是“x＝0，且y＝0，且z＝0”的充分必要条件；④“x＜4”是“x＜2”的充分不必要条件．其中是假命题的有________． 解析：“x≠1”是“x≠1”的充分条件，①错误；“x＞5”是“x＞4”的充分不必要条件，②正确；“xyz＝0”是“x＝0，且y＝0，且z＝0”的必要不充分条件，③错误；“x＜4”是“x＜2”的充分不必要条件，④正确． 答案：①③ 2 2 2 2 鼎尚出品 精心制作仅供参考 鼎尚出品 9．在下列各题中，判断A是B的什么条件，并说明理由． (1)A：|p|≥2，p∈R，B：方程x＋px＋p＋3＝0有实根； (2)A：圆x＋y＝r与直线ax＋by＋c＝0相切，B：c＝(a＋b)r. 解析：(1)当|p|≥2时，例如p＝3，则方程x＋3x＋6＝0无实根，而方程x＋px＋p＋3＝0要有实根，必有p≤－2或p≥6，可推出|p|≥2，故A是B的必要不充分条件． (2)若圆x＋y＝r与直线ax＋by＋c＝0相切，圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r＝ |c| a＋b22 ，所以c＝(a＋b)r； 2 2 2 2 2222 反过来，若c＝(a＋b)r，则 2 2 2 |c| a2＋b2 ＝r成立， 2 2 2 说明x＋y＝r的圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x＋y＝r与直线ax＋by＋c＝0相切，故A是B的充分必要条件． 11 10．已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充分必要条件是xy>0. xy1111y－x证明：(1)必要性：由<，得－<0，即<0. xyxyxy又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. xy11(2)充分性：由xy>0，及x>y，得>，即<. xyxyxy11 综上所述，<的充分必要条件是xy>0. xy[B组 能力提升] 1．(2016·高考北京卷)设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：结合平面向量的几何意义进行判断． 若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为菱形． a＋b，a－b表示的是该菱形的对角线，而菱形的两条对角线长度不一定相等，所以|a＋b| ＝|a－b|不一定成立，从而不是充分条件；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，而矩形的邻边长度不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，从而不是必要条件．故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件． 答案：D 2．不等式x－1>0成立的充分不必要条件是( ) A．－1 鼎尚出品 B．0 C．x>1 D．x>2 解析：由不等式知x>1为x－1>0的充分必要条件，结合选项知D为充分不必要条件． 答案：D 3．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的________条件． 解析：由1×1＋1×(－a)＝0，∴a＝1，即为充分必要条件． 答案：充分必要 4．函数y＝x＋bx＋c(x∈[0，＋∞))是单调函数的充分必要条件是________． 解析：若b≥0，函数y＝x＋bx＋c在[0，＋∞)上是单调增加的；若y＝x＋bx＋c在[0，＋∞)上是单调的，则只能是单调增加的，故b≥0. 答案：b≥0 5．已知p：－4 a＋4≥3. 2 2 2 所以－1≤a≤6. 2 6．(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x－x－2>0”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围； (2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x－x－2>0”的必要条件？如果存在，求出p的取值范围． 解析：令集合M＝{x|4x＋p<0}＝{x|x<－}， 4 2 pN＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1或x>2}． (1)若M⊆N，则－≤－1⇔p≥4， 4 所以p≥4时，“4x＋p<0”是“x－x－2>0”的充分条件； (2)若“4x＋p<0”是“x－x－2>0”的必要条件，则M⊇N， 显然{x|x<－}⊇{x|x<－1或x>2}不成立． 4 所以不存在实数p，使“4x＋p<0”是“x－x－2>0”的必要条件． 2 2 2 pp鼎尚出品 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容