5立体几何体积的求解方法

重要知识

立体几何体体积的求解始终要谨记一个原则：找到易于求解的底面（面积）和高（椎体就是顶点到底面的距离）。而这类题最易考到的就是椎体的体积（尤其是高的求解）。 求椎体体积通常有四种方法：

（1）直接法：直接由点作底面的垂线，求垂线段的长作为高，底面的面积是底面积。 （2）转移法（等体积法）：更换椎体的底面，选择易于求解的底面积和高。 （3）分割法（割补法）：将一个复杂的几何体分成若干易于计算的椎体。 （4）向量法：利用空间向量的方法（理科）。

典型例题

方法一：直接法

例1、（2014•南充一模）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A1A=AB=2，BC=3．求四棱锥B﹣AA1C1D的体积．

例2、如图已知四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=45°，DC=1，AB=2，PA⊥平面ABCD，PA=1．若M是PC的中点，求三棱锥M﹣ACD的体积．

变式1、（2014•漳州模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中点，F是CD上的点且FC=1，求三棱锥E﹣BCF的体积．

，PH为△PAD中AD边上的高．若PH=1，

，

变式2、（2015•安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°。求三棱锥P﹣ABC的体积；

方法二：转移法

例3、（2015•重庆一模）如图，已知三棱锥A﹣BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形．若BC=4，AB=20，求三棱锥D﹣BCM的体积．

例4、（2014•宜春模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA丄底面ABCD底面ABCD为矩形，E为PD上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE．求三棱锥P﹣ACE的体积．

变式3、（2014•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．

变式4、（2014•潍坊模拟）如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．求三棱锥C﹣BGF的体积．

方法三：分割法

例5、（2013•安徽）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，已知PB=PD=2，PA=

．若E为PA的中点，求三棱锥P﹣BCE的体积．

变式5、如图，四棱锥PABCD中，ABCBAD90，BC2AD,PAB与PAD都是边长为2的等边三角形.求三棱锥A-PCD的体积

同步练习

1、（2014•梅州一模）如图在直角梯形ABEF中，将四边形DCEF沿CD折起，使∠FDA=60°，得到一个空间几何体如图所示．求三棱锥E﹣BCD的体积．

2、（2015•湖北）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE．记阳马P﹣ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求

的值．

3、（2015•湖南）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点，若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，求三棱锥F﹣AEC的体积．

4、（2015•北京）如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=

，O，M分别为AB，VA的中点．求三棱锥V﹣ABC的体积．

5、（2013•福建）如图，在四棱锥PABCD中，PD面ABCD，AB//DC，ABAD，

BC5，DC3，AD4，PAD60．求三棱锥DPBC的体积．

D，E分别是AB，BB1的中点，6、（全国新课标18）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，

设AA1ACCB2，AB22，求三棱锥CA1DE的体积。

A1B1ADBEC1C