基于高斯混合模型的非高斯随机振动幅值概率密度函数

振动与冲击　第３３卷第５期　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＶＩＢＲＡＴＩＯＮ　ＡＮＤ　ＳＨＯＣＫ　基于高斯混合模型的非高斯随机振动幅值概率密度函数　程红伟　，陶俊勇　，蒋瑜　，陈循　（１．国防科技大学装备综合保障技术重点实验室，长沙４１００７３；２．国防科技大学机电工程与自动化学院，长沙４１００７３）　摘　要：针对非高斯振动信号的幅值概率密度函数难以用数学模型表述的问题，提出了基于高斯混合模型的非高　斯概率密度函数表示方法。首先，基于时域样本信号得到非高斯振动信号的高阶矩估计值。其次，基于高斯随机过程偶　次高阶矩之间的定量关系，结合二阶高斯混合模型建立方程组，求解得到混合模型中每个高斯分量的方差和权值。然后，　将各高斯分量的权值和方差代入高斯混合模型，得到适用于对称非高斯振动信号的幅值概率密度函数。最后，通过仿真　信号和实测振动信号，验证了该方法的有效性和适用性。　关键词：非高斯随机振动；高斯混合模型；概率密度函数（ＰＤＦ）；高阶矩　中图分类号：ＴＢ１２３　文献标识码：Ａ　ＤＯＩ：１０．１３４６５／ｊ．ｃｎｋｉ．ｊＶＳ．２０１４．０５．０２１　Ａｍｐｌｉｔｕｄｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎ．Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｒａｎｄｏｍ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ａ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｍｉｘｔｕｒｅ　ｍｏｄｅｌ　ＣＨＥＮＧ　Ｈｏｎｇ—ｗｅｉ　，　０　Ｊｕｎ—ｙｏｎｇ　，ＪＩＡＮＧ　Ｙｕ　，ＣＨＥＮ　Ｘｕｎ　’　（１．Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｏｎ　Ｉｎｔｅｇｒａｔｅｄ　Ｌｏｇｉｓｔｉｃｓ　Ｓｕｐｐｏｒｄ　Ｌａｂｏｒａｔｏｒｙ，Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｄｅｆｅｎｓｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｙ，Ｃｈａｎｇｓｇｈａ　４１００７３，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍｅｃｈａｔｒｏｎｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　ａｎｄ　Ａｕｔｏｍａｔｉｏｎ，Ｎａｔｉｏｎａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｄｅｆｅｎｓｅ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，４１００７３，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ａｉｍｉｎｇ　ａｔ　ｔｈｅ　ｄｉｆｉｆｃｕｌｔｙ　ｉｎ　ｄｅｒｉｖｉｎｇ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｅｘｐｒｅｓｓｉｏｎｓ　ｏｆ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｎｏｎ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ，ａ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｍｉｘｔｕｒｅ　ｍｏｄｅｌ—ｂａｓｅｄ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ（ＰＤＦ）ｗａｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｆｏｒ　ｎｏｎ—　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｓｉｇｎａｌｓ．Ｔｈｅ　ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｈｉｇｈｅｒ—ｏｒｄｅｒ　ｍｏｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ　ｗａｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｗｉｔｈ　ｓａｍｐｌｅ　ｔｉｍｅ　ｈｉｓｔｏｒｉｅｓ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｅｖｅｎ　ｏｒｄｅｒ　ｍｏｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ａ　ｇｉｖｅｎ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｐｒｏｃｅｓｓ，　ｃｏｍｂｉｎｉｎｇ　ｗｉｔｈ　ａ　ｓｅｃｏｒ／ｄ　ｏｒｄｅｒ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｍｉｘｔｕｒｅ　ｍｏｄｅｌ，ａｎ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｓｅｔ　ｆｏｒ　ａｃｈｉｅｖｉｎｇ　ｔｈｅ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ｏｆ　ｅａｃｈ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｍｉｘｔｕｒｅ　ｍｏｄｅｌ　ｗａｓ　ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ．Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ　ｗｅｉｇｈｔｉｎｇ　ｆａｃｔｏｒｓ　ａｎｄ　ｖａｒｉａｎｃｅｓ　ｏｆ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｃｏｍｐｏｎｅｎｔｓ，ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ　ｏｆ　ｎｏｎ－Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｗａｓ　ｔｈｅｎ　ａｃｈｉｅｖｅｄ．Ｔｈｅ　ｅｘａｍｐｌｅｓ　ｏｆ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ｓｉｇｎａｌｓ　ａｎｄ　ｍｅａｓｕｒｅｄ　ｓｉｇｎａｌｓ　ｖｅｒｉｆｉｅｄ　ｔｈｅ　ｖａｌｉｄｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｍｅｔｈｏｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｎｏｎ－Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｒａｎｄｏｍ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ；Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｍｉｘｔｕｒｅ　ｍｏｄｅｌ；ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ（ＰＤＦ）；ｈｉｇｈｅｒ・　Ｏｒｄｅｒ　ｍｏｍｅｎｔ　在工程实际中，一般基于高斯假设对机械振动信　号进行统计分析和研究。但是，近来越来越多的学者　注意到机械振动的高斯性假设在某些情况下是不成立　的，机械随机振动的非高斯特性开始受到关注。Ｓｔｅｉｎ—　ｗｏｌｆ¨　研究了湍流边界层在机翼蒙皮所引起振动的非　高斯性。Ｇｉｏｆｆｒ６＿２　Ｊ，Ｇｕｒｌｅｙ　和董欣　分别研究了风引　起的振动载荷的非高斯性。ＲｏｕｉｌｌａｒｄⅢ５　深入研究了车　对于平稳非高斯振动信号，概率密度函数能够全　面地反映其统计特性，它决定了非高斯信号高阶矩和　高阶累积量的大小。非高斯随机信号幅值概率密度函　数的数学描述，主要有Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ展开法、高斯变换法　和最大熵法。Ｈａｒｒｅｍｏｅｓ　对比分析了最大熵法和　Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ展开法的优缺点。Ｗｉｎｔｅｒｓｔｅｉｎ【ｌｏ］分析了　Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ展开法的缺点，并通过对高斯概率密度函数　辆振动环境的非高斯性，并提出了一种基于计算机程　序的高斯分解方法。Ｒｙｃｈｌｉｋ等　对海浪引起的振动　载荷的非高斯性进行了大量的统计研究。　基金项目：国家自然科学基金资助项目（５０９０５１８１）　收稿日期：２０１３—０１—１０修改稿收到日期：２０１３—０４—１６　进行非线性变换，得到基于高斯变换法的非高斯概率　密度函数。在随机信号非高斯性较强的情况下，Ｅｄｇｅ．　ｗｏｒｔｈ展开法得到的概率密度曲线会出现负值并呈现　多峰态；而基于最大熵理论的方法也会使单峰的非高　斯概率密度函数呈现多峰态　Ｊ。高斯变换法的问题在　于仅适用于一定的峭度范围，并且该方法计算过程复　杂¨　。另外，Ｓｔｅｉｎｗｏｌｆ¨　提出了一种基于经验信息的　第一作者程红伟男，博士生，１９８５年１Ｏ月生　通讯作者陶俊勇男，副教授，１９６９年１２月生　１１６　振动与冲击　２０１４年第３３卷　高斯曲线拼接法。Ｒｏｕｉｌｌａｒｄ　’　提出了基于搜寻算法　的高斯混合模型。高斯拼接法和Ｒｏｕｉｌｌａｒｄ提出的高斯　混合法，都能够较好地逼近非高斯随机振动信号概率　密度函数。但是，这两种方法计算量大，工程中应用　困难。　综上所述，针对非高斯振动信号的幅值概率密度　函数，需要提出一种既能满足计算精度要求，而计算过　程又相对简单的数学模型。在本研究中，我们基于高　斯？昆合模型的数学思路，提出了基于非高斯振动信号　高阶统计量的高斯混合模型。应用该数学模型对仿真　非高斯振动信号和实测非高斯振动信号的幅值概率密　度进行表述，通过与经验分布的对比验证了该方法的　有效性。通过与其它方法的对比，进一步验证了该方　法的正确性和工程应用价值。　１非高斯振动　从理论上来说，能够全面描述一个随机过程非高　斯特性的统计量和频谱函数为：高阶矩、高阶累积量和　高阶谱ｎ　。但是由于随机过程高阶统计量和高阶　谱的复杂性，使其在非高斯振动领域难以开展工程应　用。所以，研究人员大都借助随机变量的高阶统计量　来描述平稳随机过程的非高斯性，其中最常用的是标　准化３阶中心矩和标准化４阶中心矩，即偏斜度　。和　峭度　４¨’”　，　Ｅ［（Ｘ一　）。］　Ｍ３　３＝　－０Ｘ　Ｅ［（　一　）　］　，　ｙ４　————■ｒ—一－０Ｘ　　一４　－０Ｘ　‘，　其中，　为非高斯随机变量；　和ｏｒ　分别为　的均值和　标准差；　和　分别为　的３阶中心矩和４阶中心　矩，可由　的概率密度函数计算得到。需要注意的是，　高斯随机变量的偏斜度恒为０，峭度恒为３。　对于零均值平稳非高斯振动，通过时域样本序列　可以对其偏斜度和峭度进行估计，　ＪＩＴ　３（　）ｄ　］他　，　——　一　（３）　ｏｒ　－０　４＝———　■一＝：　鲁　（４斗　）　其中，　（ｔ）为随机过程Ｘ（ｔ）的样本信号；Ｔ为样本时间　长度。　Ｒｏｕｉ１１ａｒｄ［　和Ｒｉｚｚｉ［鸲　分别对实际环境中的非高斯　振动信号进行了大量的统计分析，并指出在实际振动　环境中，很少存在严格意义上的平稳信号，所以大多随　机振动的非高斯性是由短时非平稳性造成的。然而，　对于短时非平稳信号，从长时间的观测序列来看，它具　有平稳信号的特性。所以，在工程中对于宏观平稳，而　短时非平稳的振动信号一般都基于平稳随机过程假设　对其进行处理。　２高斯混合模型　ＭｉｄｄｌｅｔｏｎＨ　在研究通信系统中多源叠加噪声信号　的幅值概率分布时提出了高斯混合模型，并在通信领　域得到广泛的应用。高斯混合模型的统一表达式为，　厂ⅣＧ（　）＝∑　（　）　（５）　其中　。为非高斯概率密度函数　（　）为第ｉ个高斯分　量的概率密度函数；　为第　个高斯分量的权值，０≤　≤ｌ，∑　＝ｌ。一般情况下，２、３阶高斯混合模型就可　以给出精度足够高的非高斯概率密度函数口。。。在本研　究中，我们采用２阶高斯混合模型，　／　Ｇ（　）＝　（　）＋（１一　）厂２（　）　（６）　根据Ｍｉｄｄｌｅｔｏｎ提出的高斯混合模型理论，需要在　全面掌握各噪声源的物理特性的前提下，以Ｐｏｉｓｓｏｎ分　布来确定不同高斯分量的权值　，这在机械振动信号　处理中是不能实现的。　众所周知，零均值高斯概率密度函数可以由标准　差完全确定。所以零均值非高斯过程的二阶高斯混合　模型可以表示为：　’　１　，　，２、）：　ｐ卜刍）＋　１　１　，　．　２、（１～　２　，　、ｅｘｐ（　；一２麦０－　）　（７）　其中０－　和　：分别为高斯分量１和高斯分量２的标准　差；仪和１一　分别为高斯分量１和高斯分量２的权值。　式（７）中有三个未知量，０－　、０－　和Ｏｔ。　可以根据非高斯振动样本信号来估计其２、４、６阶　中心矩，在零均值情况下中心矩和原点矩相同，　１　Ｔ　（￡）ｄ　＝　＝专　㈤ｄ　（８）　＝专ｒ　㈤ｄ　当样本时间长度Ｔ较大时，估计值　能够很好地　逼近真值　［。　。基于二阶高斯混合模型（式７），有，　（９）　其中　¨、　”和Ｍ：”分别为高斯分量１的２阶、　第５期　程红伟等：基于高斯混合模型的非高斯随机振动幅值概率密度函数　１１７　４阶和６阶矩；Ｍ　、　和　分别为高斯分量２的　０　×∞　２阶、４阶和６阶矩，其中２阶矩等于方差。零均值高　斯随机变量的ｋ阶矩有！ｔｎＴ等式成立　：　＝圭　罂　。　ｆ，ｓ　｛　×３　ｘ　５×…×　后一　（１０）　（ａ）时域序列　菖　墓夸　所以有，　＝０－　；　’＝０－；　”＝３０＂　；　＝３０＂　Ｍ　＝１５ｏ＂　；　’＝１５０－　将式（１１）代人式（９），得方程组：　Ｍ２＝Ｏｒ－０　＋（１一Ｏ／）０－ｉ　峨＝３ａ０＂ｊ＋３（１一　）　（１２）　Ｍ６＝１５ａ０－　＋１５（１一　）　以式（８）给出的样本估计量代替真值，则有：　Ｍ　２＝　＝Ｏｌ－０；＋（１一　）＋（　一　）　；　ｉ　＝３ａ０＂　＋３（１一　）　：　（１３）　＝１５　＋１５（１一　）　对于方程组（１３），通过科学计算软件求解得到未　知量ＯＬ，　。和　，将其代入式（７）中，得到给定非高斯　振动信号的幅值概率密度函数。　３示例　为了综合验证所提出的高斯混合模型的有效性，　这里给出了两个示例的详细计算过程：　（１）峭度较低的仿真非高斯振动信号；　（２）峭度较大的实测车辆振动信号。　最后，通过对４个振动信号（两个仿真信号，两个　实测信号，进行误差分析，从定量的角度来验证高斯混　合模型的准确性和有效性。　３．１仿真信号　引入一个对称分布的非高斯仿真信号，如图１所示。　该仿真信号的均值为０，方差为１．１９７６×１０　，偏斜度为　０，峭度为８．１３９４。图１（ａ）为信号的时域序列；图１（ｂ）　为功率谱密度，该振动信号是宽带非高斯信号。　将图１（ａ）所示的样本序列代人式（８），得，　朋Ａ　＝１１９７　６×１０。　．｝　‘　Ｍ４＝１．１６７　３×１０　（１４）　＝２．５０４　２　ｘ　１０“　将上式代入方程组（１３）得，　，×１０２／Ｈｚ　（ｂ）功率谱　图１仿真非高斯振动信号，峭度：８．１３９４　Ｆｉｇ，１　Ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ｎｏｎ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｓｉｇｎａ１．ｋｕｒｔｏｓｉｓ：８．１３９４　＝０．８１２　０　＝４４３．４０２　５　（１５）　；＝４．４５５　２×１０。　将式（１５）代入式（７），得非高斯幅值概率密度　函数，　，、０．８１２　０　，　２　、　，　ｘｐ　—８８６．８—０５　０Ｊ＋　０．１８８　０　，　２　、　，．，、　６６　．　—７４７　２　‘、　ｐＩ一８　９．　—１０　４丽１×　０　Ｊ，　　ｏＪ　图２给出了基于以下四种方法得到的概率密度曲　线：①样本序列的经验分布；②本文所提出的高斯混　合模型；③高斯假设分布；④四阶Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ展开法。　因为时域样本序列有足够的长度，所以认为经验分布　有足够高的精度，以它作为其他数学模型的参考标准。　图２（ａ）为线性坐标下的概率密度曲线，可以清晰地显　示出分布曲线中间峰值部分的差异；图２（ｂ）为半对数　坐标下的幅值概率密度曲线，可以清晰地显示出分布　曲线在尾部的差异。从图２可以看出，基于高斯假设　的概率密度曲线与经验分布曲线差异很大，所以工程　瓤　阔　椭　醉　窭　ｏ’２　０’　０－４　振动幅值×｜０２／（ｍ・ｓ。）　（ｂ）Ｙ轴对数坐标　图２仿真非高斯信号幅值概率密度曲线　Ｆｉｇ．２　Ｔｈｅ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｃｕｒｖｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ｎｏｎ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｓｉｎｇａｌ　１１８　振动与冲击　２０１４年第３３卷　中基于高斯假设来处理非高斯信号将引入很大的误　差；基于４阶Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ展开的非高斯幅值概率密度曲　线出现了负值和多峰态，Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ展开法只适用于峭　度值很小的非高斯振动信号；基于本文提出的高斯混　合法无论是在分布曲线的尖峰附近还是尾部都能精确　地逼近经验分布。　３．２实测信号　某型运输车辆载货平台实测振动信号，如图３所　示。该振动信号的均值为０，方差为３８．６４６　２，偏斜度　为０，峭度为２２．９７１　６。图３（ａ）为信号的时域序列；图　３（ｂ）为功率谱密度，该振动信号具有窄带非高斯特性。　２　×啦　銎　．　图３车辆测量非高斯振动信号，峭度为２２．９７１６　Ｆｉｇ．３　Ｍｅａｓｕｒｅｄ　ｎｏｎ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｓｉｇｎａｌ　ｆｒｏｍ　ａ　ｔｒｕｃｋ，ｋｕｒｔｏｓｉｓ　ｉｓ　２２．９７１６　将图３（ａ）中的样本序列代入式（８）得，／妨　　＝３８・６４６　２　，　：３　ＩＭ一Ｉ　　（１７）　６：１．１１７　５×１０　Ｊ＝系　等．４３．　三＼的０　８×１５×　～　０将式（１７）代人方程组（１３）得，　＝０・９７６　５　，　：２３．１８４　７　ｌ　（１８）　２：：６８１．６９１　３　Ｊ　将式（１８）代人（７），得非高斯幅值概率密度函数，　㈤＝　ｘｐ（一赢２）＋　—————堕————　ｖ／■２　＝＝ｅｘｐ２６　１０９　２　．　　ｌ（＼　一一—　１　—．　３—６—３—　—４—　１—×　——　０）（，ｌ　　１　９）　图４给出了３．１所述的四种方法的概率密度曲　线。同样采用样本经验分布作为其他数学模型的参考　标准。可以看出，随着峭度的增加，基于高斯假设和　Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ展开的概率密度函数的误差将会增大，而本　文所提出的方法仍能够较好地逼近样本信号的经验　分布。　３．３结果分析　为了进一步分析所提出方法的准确性，这里以相　对均方误差来衡量各幅值概率密度曲线对经验分布曲　线的偏离程度。这里定义相对均方误差为，　稍占　垫　．　振动幅值×１ＯＶ（ｍ　）　（ｂ）ｙ轴对数坐标　图４车辆非高斯信号的幅值概率密度曲线　Ｆｉｇ．４　Ｔｈｅ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｅｕｒｙｅｓ　ｏｆ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｓｉｇｎａｌ　ｍｅａｓｕｒｅｄ　ｆｒｏｍ　ａ　ｔｕｒｃｋ　，：　—　（２０）Ｌｚｕ　　其中　为基于某种模型或方法得到的非高斯概率　密度函数　为基于样本序列得到的经验分布。　为了充分验证方法的有效性，在３．１和３．２两个　示例的基础上，又分别引入了一个峭度较低的仿真信　号和某型飞机实测非高斯振动信号。分别计算了本文　提出的高斯混合模型概率密度函数、高斯假设下的概　率密度函数和基于Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ展开的概率密度函数与　样本经验分布之间的相对均方误差，如表１所示。　表１非高斯振动幅值概率密度函数相对误差ｒ　Ｔａｂ．１　Ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｖｅ　ｓｑｕａｒｅｄ　ｄｅｖｉａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ａｍｐｌｉｔｕｄｅ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｅｎｓｉｔｙ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｎｏｎ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ　仿真　实测　方法　’。呵（　＝　４，嚷　　’翟　６　Ｔ，％Ｔ，％　４结　论　基于高斯混合模型，利用高斯随机变量高阶矩之　间的定量关系，结合非高斯随机振动信号的物理特性，　提出了一种求解非高斯振动幅值概率密度函数的方　法，即二阶高斯混合模型分解方法。该方法的数学模　型简单，物理意义明确，对高峭度的非高斯振动信号仍　然适用。　通过仿真和实测非高斯振动信号验证了方法的有　效性和工程适用性。基于高斯混合模型的概率密度函　数模型为非高斯机械振动信号的进一步研究，如疲劳　分析，减振隔振等，提供了准确的统计分析工具和重要　的理论支撑。　另外，二阶高斯混合模型为非高斯振动的研究提　第５期　程红伟等：基于高斯混合模型的非高斯随机振动幅值概率密度函数　１１９　供了重要思路，它可以进一步扩展为高阶模型或应用　于非高斯振动信号的频域研究，以满足更高精度和更　深层次的研究需求。　参考文献　［１］Ｓｔｅｉｎｗｏｌｆ　Ａ，Ｒｉｚｚｉ　Ｓ　Ａ．Ｎｏｎ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｔｕｒｂｕｌｅｎｔ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｌａｙｅｒ　ｆｌｕｃｔｕａｔｉｎｇ　ｐｒｅｓｓｕｒｅ　ｏｎ　ａｉｒｃｒａｆｔ　ｓｋｉｎ　ｐａｎｅｌｓ　ｒ　１２］Ｒｏｕｉｌｌａｒｄ　Ｖ．Ｔｈｅ　ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ　ｏｆ　ｒｏａｄ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｅｇｍｅｎｔ　ｌｅｎｇｔｈｓ，　５ｔｈ　Ａｕｓｔｒａｌａｓｉａｎ　Ｃｏｎｇｒｅｓｓ　ｏｎ　Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，ＡＣＡＭ　２００７　ｌ０—１２　Ｄｅｃｅｍｂｅｒ　２００７，Ｂｒｉｓｂａｎｅ，Ａｕｓｔｒａｌｉａ　［１３］Ｍｅｎｄｅｌ　Ｊ　Ｍ．Ｔｕｔｏｒｉｌａ　ｏｎ　ｈｉｇｈｅｒ－ｏｒｄｅｒ　ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ（ｓｐｅｃｔｒａ）ｉｎ　ｓｉｇｎａｌ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ａｎｄ　ｓｙｓｔｅｍ　ｔｈｅｏｒｙ：ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ａｎｄ　ｓｏｍｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＩＥＥＥ，１９９１，７９　（３）：２７８—３０５．　［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＡｉｒｃｒａｆｔ，２００６，４３（６）：１６６２—１６７５．　［２］Ｇｉｏｆｆｒ６　Ｍ，Ｇｕｓｅｌｌａ　Ｖ，Ｇｒｉｇｏｒｉｕ　Ｍ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｎｏｎ—　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｆｉｅｌｄ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｗｉｎｄ　ｐｒｅｓｓｕｒｅ　ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ　Ｊ．　Ｐｒｏｂａｂｉｌｉｓｔｉｃ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，　２０００，　５（４）：　［１４］Ｓｗａｍｉ　Ａ，Ｍｅｎｄｅｌ　Ｊ　Ｍ，Ｎｉｋｉａｓ　Ｃ　Ｌ．Ｈｉｇｈｅｒ—ｏｒｄｅｒ　ｓｐｅｃｔｒａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｔｏｏｌｂｏｘ　ｆｏｒ　ｕｓｅ　ｗｉｔｈ　Ｍａｔｌａｂ，ｕｓｅｒ＇ｓ　ｇｕｉｄｅ，ｖｅｒｓｉｏｎ　２　［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｕｉｃ．ｅｄｕ／ｅｌａｓｓｅｓ／ｉｄｓｅ／ｉｄｓ５９４／　３３９—３４６．　［３］Ｇｕｒｌｅｙ　Ｋ　Ｒ，Ｋａｒｅｅｍ　Ａ，Ｔｏｇｎａｒｅｌｌｉ　Ｍ　Ａ．Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｎｏｎ－ｎｏｒｍａｌ　ｒａｎｄｏｍ　ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ［Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｎｏｎ－ｌｉｎｅａｒ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９９６，３１（５）：６０１—６１７．　［４］董　欣，叶继红．马鞍屋盖表面面积平均风压特性研究　［Ｊ］．振动与冲击，２０１１，３０（７）：２１—３０．　ＤＯＮＧ　Ｘｉｎ，ＹＥ　Ｊｉ—ｈｏｎｇ．Ａｒｅａ—ａｖｅｒａｇｅｄ　ｗｉｎｄ　ｐｒｅｓｓｕｒｅ　ｏｎ　ａ　ｓａｄｄｌｅ　ｒｏｏｆ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｓｈｏｃｋ，２０１１，３０　（７）：２１—３Ｏ．　［５］Ｒｏｕｉｌｌａｒｄ　Ｖ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｎａｔｕｒｅ　ｏｆ　ｒａｎｄｏｍ　ｖｅｈｉｃｌｅ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎｓ『Ｃ］／／ＷＣＥ　２００７．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｗｏｒｌｄ　Ｃｏｎｇｒｅｓｓ　ｏｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　２００７．Ｌｏｎｄｏｎ，Ｕ　Ｋ：ＷＣＥ，２００７：　１２１９—１２２４．　［６］Ｒｙｃｈｌｉｋ　Ｉ，Ｊｏｈａｎｎｅｓｓｏｎ　Ｐ，Ｌｅａｄｂｅｔｔｅｒ　Ｍ　Ｒ．Ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ａｎｄ　ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｏｃｅａｎ—ｗａｖｅ　ｄａｔａ　ｕｓｉｎｇ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ［Ｊ］．Ｍａｒｉｎｅ　Ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ，１９９７，１０（１）：　１３—４７．　［７］Ｐｏｄｇｒｒｓｋｉ　Ｋ，Ｒｙｃｈｌｉｋ　Ｉ，Ｍａｃｈａｄｏ　Ｕ　Ｂ．Ｅｘａｃｔ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ａｐｐａｒｅｎｔ　ｗａｖｅｓ　ｉｎ　ｉｒｒｅｇｕｌａｒ　ｓｅａｓ［Ｊ］．Ｏｃｅａｎ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，　２０００，２７（９）：９７９—１０１６．　Ｉ　８　Ｉ　Ｂｕｔｌｅｒ　Ｒ　Ｗ，Ｍａｃｈａｄｏ　Ｕ　Ｂ，Ｒｙｃｈｌｉｋ　Ｉ．Ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎ　ｏｆ　ｗａｖｅ　ｃｒｅｓｔｓ　ｉｎ　ａ　ｎｏｎ－Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｓｅａ［Ｊ］．Ａｐｐｌｉｅｄ　Ｏｃｅａｎ　Ｒｅｓｅｒａｃｈ，　２００９，３１（１）：５７—６４．　［９］Ｈａｒｒｅｍｏ￣ｓ　Ｐ．Ｍａｘｉｍｕｍ　ｅｎｔｒｏｐｙ　ａｎｄ　ｔｈｅ　Ｅｄｇｅｗｏ￣ｈ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　１　Ｃ　ｌ／／ＩＥＥＥ．Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ＩＥＥＥ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｔｈｅｏｒｙ　ｗｏｒｋｓｈｏｐ．Ａｗａｊｉ　Ｉｓｌａｎｄ，Ｊａｐａｎ：ＩＥＥＥ，２００５：６８—７１．　［１Ｏ］Ｗｉｎｔｅｒｓｔｅｉｎ　Ｓ　Ｒ．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｍｏｄｅｌｓ　ｆｏｒ　ｅｘｔｒｅｍｅｓ　ａｎｄ　ｆａｔｉｕｇｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ　Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，１９８８　１１４　（１０）：１７７２～１７９０．　［１　１］Ｓｔｅｉｎｗｏｌｆ　Ａ．Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙ　ｄｉｓｔｉｒｂｕｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ａ　ｖａｒｉａｂｌｅ　ｋｕｒｔｏｓｉｓ　ｖａｌｕｅ『Ｊ　１　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ＆Ｄａｔａ　Ａｎａｌｙｓｉｓ，１９９６，２１（２）：１６３—１８０．　ｒｅｓｅａｒｅｈ／ＢＢＣ／ｈｏｓａ．ｐｄｆ．２０００．１２．２７／２０１２．１２．２０．　『１５］Ｂｅｎａｓｃｉｕｔｔｉ　Ｄ，Ｔｏｖｏ　Ｒ．Ｆａｔｉｕｇｅ　ｌｉｆｅ　ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ　ｉｎ　ｎｏｎ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｒａｎｄｏｍ　ｌｏａｄｉｎｇｓ『Ｊ］．Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｆａｔｉｕｇｅ，２００６，２８（７）：７３３—７４６．　［１６］蒋瑜，陈循，陶俊勇，等．指定功率谱密度、偏斜度和　峭度值下的非高斯随机过程数字模拟［Ｊ］．系统仿真学　报，２００６，１８（５）：１１２７—１１３０．　ＪＩＡＮＧ　Ｙｕ，ＣＨＥＮ　Ｘｕｎ，ＴＡＯ　Ｊｕｎ—ｙｏｎｇ，ｅｔ　ａ１．Ｎｕｍｅｒｉｃａｌｌｙ　ｓｉｍｕｌａｔｉｎｇ　ｎｏｎ—Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｒａｎｄｏｍ　ｐｒｏｃｅｓｓｅｓ　ｗｉｔｈ　ｓｐｅｃｉｉｆｅｄ　ＰＳＤ，ｓｋｅｗｎｅｓｓ　ａｎｄ　ｋｕｒｔｏｓｉｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｙｓｔｅｍ　Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２００６，１８（５）：１１２７—１１３０．　［１７］蒋瑜，陶俊勇，王得志，等．一种新的非高斯随机振动　数值模拟方法［Ｊ］．振动与冲击，２０１２，３１（１９）：　１６９—１７３．　ＪＩＡＮＧ　Ｙｕ．ＴＡＯ　Ｊｕｎ－ｙｏｎｇ．ＷＡＮＧ　Ｄｅ—ｚｈｉ　ｅｔ　ａ１．Ａ　ｎｏｖｅｌ　ａｐｐｒｏａｃｈ　ｆｏｒ　ｎｕｍｅｒｉｃａｌ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎ．Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｒａｎｄｏｍ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｓｈｏｃｋ。２０１２，３１　（１９）：１６９—１７３．　［１８］Ｒｉｚｚｉ　Ｓ　Ａ，Ｐｒｚｅｋｏｐ　Ａ，Ｔｕｒｎｅｒ　Ｔ．Ｏｎ　ｔｈｅ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ　ｏｆ　ａ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ　ｔｏ　ｈｉｇｈ　ｋｕｒｔｏｓｉｓ　ｎｏｎ　Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｒａｎｄｏｍ　ｌｏａｄｉｎｇｓ［ＥＢ／ＯＬ］．ｈｔｔｐ：／／ｎｔｒｓ．ｎａｓａ．ｇｏｖ／ａｒｃｈｉｖｅ／ｎａｓａ／　ｃａｓｉ．ｎｔｒｓ．ｎａｓａ．ｇｏｖ／２０１　１００１３６５８—２０１　１０１４２３９．ｐｄｆ．２０１　１．　７．４／２０１２．１２．２６．　［１９］Ｍｉｄｄｌｅｔｏｎ　Ｄ．Ｎｏｎ—Ｇａｎｓｓｉａｎ　ｎｏｉｓｅ　ｍｏｄｅｌｓ　ｉｎ　ｓｉｇｎａｌ　ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ　ｏｆｒ　ｔｅｌｅｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ：ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄｓ　ａｎｄ　ｒｅｓｕｌｔｓ　ｆｏｒ　ｃｌａｓｓ　Ａ　ｎａｄ　ｃｌａｓｓ　Ｂ　ｎｏｉｓｅ　ｍｏｄｅｌｓ『Ｊ　１．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｉｆｎｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｙ，１９９９，４５（４）：１１２９—１１４９．　　１２０　ｌ　Ｖａｓｔｏｌａ　Ｋ．Ｔｈｒｅｓｈｏｌｄ　ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ　ｉｎ　ｎａ￣ｏｗ．ｂａｎｄ　ｎｏｎ．Ｇａｕｓｓｉａｎ　ｎｏｉｓｅ　Ｊ　Ｊ｝．ＩＥＥＥ　Ｔｒｎａｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｃｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ，１９８４，３２　（２）：１３４—１３９．　［２１］Ｂｅｎｄａｔ　Ｊ　Ｓ，Ｐｉｅｍｏｌ　Ａ　Ｇ．随机数据分析方法［Ｍ］．凌福　根．北京：国防工业出版社，１９８０．