2017-2018学年九集中学九年级（上）数学试卷
一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分.）
2
1．若关于x的方程x+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ） A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3
2
2．一元二次方程x﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ）
2222
A．（x+4）=17 B．（x+4）=15 C．（x﹣4）=17 D．（x﹣4）=15 3．下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四边形 D．正方形
4．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ） A．2.5 B．3 C．5 D．10
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=42°，则∠A的度数为（ ） A．84° B．96° C．116° D．132°
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． =
8．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球 C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球 9．若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
10．如图，已知关于x的函数y=k（x﹣1）和y=k/x（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
2
11．若抛物线y=（x﹣m）+（m﹣1）的顶点在第四象限，则m的取值范围（ ） A．0＜m＜1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＞1
22
12．对于二次函数y=﹣x+4x，有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=2；②设y1=﹣x1+4x1，
2
y2=﹣x2+4x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（4，0）；④当0＜x＜4时，y＞0．其中正确的结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，计15）
2
13．方程x=5的解是 ．
2
14．二次函数y=﹣x+2x+7的最大值为 ．
15．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒， 黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 ． 16．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于 ．
17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=k/x的图象经过点Q，则k= ． 三、解答题：共69分．
22
18．已知：关于x的方程x﹣2mx+m﹣1=0．（1）不解方程：判断方程根的情况； （2）若方程有一个根为﹣3，求m的值．
19．某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出的小分支是多少？
20．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状： ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
21．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为1/2． （1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或树状图灯方法求出两次摸到的球是1个红球和1个白球的概率．
22．已知反比例函数y=
的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围； （2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x
轴对称，若△OAB的面积为10，求m的值．
23．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、
AF、EF．（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 点，按顺时针方向旋转 度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
24．某服装店销售一种内衣，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x元/件的关系如表：
销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 …
一周的销售量y（件）… 450 400 300 250 … （1）试求出y与x的之间的函数关系式；
（2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价的什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）服装店决定将一周的销售内衣的利润全部捐给福利院，在服装店购进该内衣的贷款不超过8000元情况下，请求出该服装店最大捐款数额是多少元？
25．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．（1）求证：AE为⊙O的切线． （2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
26．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2
+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4
经过A，C两点．（1）求抛物线的解析式； （2）在AC上方的抛物线上有一动点P． ①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标； ②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．
∴点O到直线l的距离等于圆的半径， 2015-2016学年湖北省襄阳市宜城市九年级（上）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有12小题，在下面的每小题的四个选项中，有且只有一个符合题意，把符合题意的选项代号填在题后括号内，每小题3分，共36分.）
1．若关于x的方程x2
+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ） A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3 【考点】根与系数的关系．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，利用两根和，两根积，即可求出a的值和另一根．
【解答】解：设一元二次方程的另一根为x1， 则根据一元二次方程根与系数的关系， 得﹣1+x1=﹣3， 解得：x1=﹣2． 故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程ax2
+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．
2．一元二次方程x2
﹣8x﹣1=0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2=17 B．（x+4）2=15 C．（x﹣4）2=17 D．（x﹣4）2
【解答】解：方程变形得：x2
=15
﹣8x=1，
配方得：x2﹣8x+16=17，即（x﹣4）2
=17， 故选C
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．下列几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A．等腰三角形 B．正三角形 C．平行四边形 D．正方形 【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形．故正确． 故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
4．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是（ ） A．2.5 B．3 C．5 D．10 【考点】切线的性质．
【分析】根据直线与圆的位置关系可直接得到点O到直线l的距离是5． 【解答】解：∵直线l与半径为r的⊙O相切，
即点O到直线l的距离为5． 故选C．
【点评】本题考查了切线的性质以及直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；当直线l和⊙O相离⇔d＞r．
5．如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=42°，则∠A的度数为（ ）
A．84° B．96°
C．116° D．132°
【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．
【分析】连接OC，在优弧上取点D，连接BD、CD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BOC，根据圆周角定理求出∠BDC，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【解答】解：连接OC，在优弧上取点D，连接BD、CD，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=42°， ∴∠BOC=96°，
∴∠BDC=∠BOC=48°， ∴∠A=180°﹣∠BDC=132°， 故选：D．
【点评】本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解
题的关键．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4 【考点】平行线分线段成比例． 【分析】根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
即， 解得：EC=2， 故选：B．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键． 7．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C． = D． = 【考点】相似三角形的判定．
【分析】分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【解答】解：A、当∠ABP=∠C时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； B、当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；
C、当=时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误； D、无法得到△ABP∽△ACB，故此选项正确． 故选：D．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
8．一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1个球是黑球 B．至少有1个球是白球 C．至少有2个球是黑球 D．至少有2个球是白球 【考点】随机事件．
【分析】由于只有2个白球，则从中任意摸出3个球中至少有1个球是黑球，于是根据必然事件的定义可判断A选项正确．
【解答】解：一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，至少有1个球是黑球是必然事件；至少有1个球是白球、至少有2个球是黑球和至少有2个球是白球都是随机事件． 故选A．
【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，
9．若点A（3，﹣4）、B（﹣2，m）在同一个反比例函数的图象上，则m的值为（ ） A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】反比例函数的解析式为y=，把A（3，﹣4）代入求出k=﹣12，得出解析式，把B的坐标代入解析式即可．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y=， 把A（3，﹣4）代入得：k=﹣12， 即y=﹣
，
把B（﹣2，m）代入得：m=﹣=6， 故选A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征的应用，解此题的关键是求出反比例函数的解析式，难度适中．
10．如图，已知关于x的函数y=k（x﹣1）和y=（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A． B． C． D．【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象．
【分析】首先根据反比例函数图象所经过的象限判断出k的符号；然后由k的符号判定一次函数图象所经过的象限，图象一致的选项即为正确选项．
【解答】解：A、反比例函数y=（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项错误；
B、反比例函数y=（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y=kx﹣k的图象经过第二、四象限，且与y轴交于正半轴．故本选项正确；
C、反比例函数y=（k≠0）的图象经过第一、三象限，则k＞0．所以一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于负半轴．故本选项错误；
D、反比例函数y=（k≠0）的图象经过第二、四象限，则k＜0．所以一次函数y=kx﹣k的图象经过第一、三象限，且与y轴交于正半轴．故本选项错误； 故选：B．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的图象特点： ①反比例函数y=的图象是双曲线；
②当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限； ③当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．
11．若抛物线y=（x﹣m）2
+（m﹣1）的顶点在第四象限，则m的取值范围（ ） A．0＜m＜1 B．m＞0 C．m＜1 D．m＞1 【考点】二次函数的性质．
【分析】根据顶点式得出点的坐标，再由第四象限点的符号得出m的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y=（x﹣m）2
+（m﹣1）的顶点（m，m﹣1）在第四象限，
∴， 解得0＜m＜1， 故选A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，以及求抛物线的顶点坐标的方法，掌握每个象限内点的符号是解题的关键．
12．对于二次函数y=﹣x2+4x，有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=2；②设y1=﹣x12
+4x1，
y2=﹣x22
+4x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1；③它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（4，0）；④当0＜x＜4时，y＞0． 其中正确的结论的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数的性质．
【分析】利用配方法求出二次函数对称轴，再求出图象与x轴交点坐标，进而结合二次函数性质得出答案．
【解答】解：y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2
+4，故①它的对称轴是直线②∵直线x=2两旁部分增减性不一样，∴设y1=﹣x12x=2+4x1，y2=﹣x22
，正确；
+4x2，则当x2＞x1时，有y2＞y1或y2＜y1，错误；
③当y=0，则x（﹣x+4）=0，解得：x1=0，x2=4， 故它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（4，0），正确； ④∵a=﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，
∵它的图象与x轴的两个交点是（0，0）和（4，0）， ∴当0＜x＜4时，y＞0，正确． 故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质以及一元二次方程的解法，得出抛物线的对称轴和其交点坐标是解题关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，计15） 13．方程x2
=5的解是 x=± ．
【考点】解一元二次方程-直接开平方法． 【分析】利用直接开平方法求解即可．
【解答】解：x2
=5， 直接开平方得，x=±
，
故答案为x=±．
【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的
项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2
=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．
（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x22
2=a（a≥0）；ax=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．
（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．
14．二次函数y=﹣x2
+2x+7的最大值为 8 ． 【考点】二次函数的最值． 【专题】计算题．
【分析】先利用配方法把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：原式=﹣x2
+2x+7
=﹣（x﹣1）2
+8， 因为抛物线开口向下，
所以当x=1时，y有最大值8． 故答案为8．
【点评】本题考查了二次函数的最值：二次函数y=ax2
+bx+c，当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=﹣
时，y=
；（2）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增
大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=﹣时，y=．
15．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 ． 【考点】概率公式．
【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可． 【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为
．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0． 16．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于
π ．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】图中阴影部分的面积=半圆的面积﹣圆心角是120°的扇形的面积，根据扇形面积的计算公式计算即可求解．
【解答】解：图中阴影部分的面积=π×22
﹣
=2π﹣π =π．
答：图中阴影部分的面积等于π．
故答案为：π．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，t）在反比例函数y=的图象上，过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP．若反比例函数y=的图象经过点Q，则k= 2+2或2﹣2 ．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；勾股定理． 【专题】分类讨论．
【分析】把P点代入y=求得P的坐标，进而求得OP的长，即可求得Q的坐标，从而求得k的值．
【解答】解：∵点P（1，t）在反比例函数y=的图象上， ∴t==2， ∴P（1.2），
∴OP==，
∵过点P作直线l与x轴平行，点Q在直线l上，满足QP=OP． ∴Q（1+
，2）或（1﹣
，2）
∵反比例函数y=的图象经过点Q， ∴2=
或2=
，解得k=2+2
或2﹣2
故答案为2+2或2﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得Q点的坐标是解题的关键．
三、解答题：共69分．
18．已知：关于x的方程x2﹣2mx+m2
﹣1=0． （1）不解方程：判断方程根的情况； （2）若方程有一个根为﹣3，求m的值． 【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】（1）首先找出方程中a=1，b=﹣2m，c=m2﹣1，然后求△=b2
﹣4ac的值即可； （2）把x=﹣3代入方程中列出m的一元二次方程并求出m的值即可．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2
﹣1=0，
∴a=1，b=﹣2m，c=m2
﹣1，
∴△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4×1×（m2
﹣1）=4＞0，
∴方程x2﹣2mx+m2
﹣1=0有两个不相等的实数根；
（2）∵方程x2﹣2mx+m2
﹣1=0的一根为﹣3，
∴9+6m+m2﹣1=0，即m2
+6m+8=0， ∴m=﹣4或﹣2．
【点评】本题主要考查了根的判别式以及一元二次方程解的知识，解答本题的关键是熟练掌握根的判别式的意义以及因式分解法解方程的知识．
19．某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，每个支干长出的小分支是多少？ 【考点】一元二次方程的应用．
【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长
出x2个分支，则共有x2
+x+1个分支，即可列方程求得x的值． 【解答】解：设主干长出x个支干，由题意得 1+x+x即x2
•x=111，
+x﹣110=0，
解得：x1=10，x2=﹣11（舍去） 答：每个支干长出的小分支是10．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题时，要根据题意分别表示主干、支干、小分支的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．
20．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°． （1）判断△ABC的形状： △ABC是等边三角形 ；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】圆周角定理；全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）利用圆周角定理可得∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，而∠APC=∠CPB=60°，所以∠BAC=∠ABC=60°，从而可判断△ABC的形状；
（2）在PC上截取PD=AP，则△APD是等边三角形，然后证明△APB≌△ADC，证明BP=CD，即可证得． 【解答】证明：（1）△ABC是等边三角形． 证明如下：在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是对的圆周角，∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC， 又∵∠APC=∠CPB=60°， ∴∠ABC=∠BAC=60°， ∴△ABC为等边三角形；
故答案为：△ABC是等边三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如图1， 又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°． 又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°， ∴∠ADC=∠APB， 在△APB和△ADC中，
，
∴△APB≌△ADC（AAS）， ∴BP=CD， 又∵PD=AP， ∴CP=BP+AP．
【点评】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的全等的判定与性质，正确作
出辅助线，证明△APB≌△ADC是关键．
21．一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为． （1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，请用列表或树状图灯方法求出两次摸到的球是1个红球和1个白球的概率． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】计算题．
【分析】（1）设红球的个数为x个，根据概率公式得到=，然后解方程即可；
（2）先画树状图展示所有12种等可能结果，再找出两次摸到的球是1个红球1个白球的结果数，然后根据概率公式计算． 【解答】解：（1）设红球的个数为x个，
根据题意得=， 解得x=1（检验合适）， 所以布袋里红球有1个； （2）画树状图如下：
共有12种等可能结果，其中两次摸到的球是
1个红球1个白球的结果数为4种，
所以两次摸到的球都是白球的概率==．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
22．已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；
（2）如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为10，求m的值．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；关于
x轴、y轴对称的点的坐标． 【分析】（1）根据反比例函数的图象是双曲线．当k＞0时，则图象在一、三象限，且双曲线是关于原点对称的；
（2）由对称性得到△OAC的面积为5．设A（x、），则利用三角形的面积公式得到关于m的方程，借助于方程来求m的值． 【解答】解：（1）根据反比例函数的图象关于原点对称知，该函数图象的另一支在第三象限，且m﹣3＞0，则m＞3；
（2）∵点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为10， ∴△OAC的面积为5． 设A（x，
），
则x•=5，
解得：m=13．
【点评】本题考查了反比例函数的性质、图象，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点．根据题意得到△OAC的面积是解题的关键．
23．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A 点，按顺时针方向旋转 90 度得到； （3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】证明题． 【分析】（1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠BAE=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； （3）先利用勾股定理可计算出AE=10，再根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF， ∴∠BAF=∠DAE， 而∠DAE+∠EAB=90°，
∴∠BAF+∠EAB=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到； 故答案为A、90；
（3）解：∵BC=8， ∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE==10，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到， ∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=AE2
=×100=50（平方单位）．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应
点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
24．某服装店销售一种内衣，每件进价为40元．经过市场调查，一周的销售量y件与销售单价x元/件的关系如表： 销售单价x（元/件） … 55 60 70 75 … 一周的销售量y（件）… 450 400 300 250 … （1）试求出y与x的之间的函数关系式； （2）设一周的销售利润为S元，请求出S与x的函数关系式，并确定当销售单价的什么范围内变化时，一周的销售利润随着销售单价的增大而增大？
（3）服装店决定将一周的销售内衣的利润全部捐给福利院，在服装店购进该内衣的贷款不超过8000元情况下，请求出该服装店最大捐款数额是多少元？ 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）设y=kx+b，把点的坐标代入解析式，求出k、b的值，即可得出函数解析式； （2）根据利润=（售价﹣进价）×销售量，列出函数关系式，继而确定销售利润随着销售单价的增大而增大的销售单价的范围；
（3）根据购进该商品的贷款不超过8000元，求出进货量，然后求最大销售额即可． 【解答】解：（1）设y=kx+b， 由题意得，
，
解得：，
则函数关系式为：y=﹣10x+1000，（x≥50）
（2）由题意得，S=（x﹣40）y=（x﹣40）（﹣10x+1000）
=﹣10x2+1400x﹣40000=﹣10（x﹣70）2
+9000， ∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，对称轴为直线x=70，
∴当40＜x＜70时，销售利润随着销售单价的增大而增大；
（3）∵购进该商品的货款不超过8000元， ∴y的最大值为=200（件）． 由（1）知y随x的增大而减小， ∴x的最小值为：x=80，
由（2）知 当x≥70时，S随x的增大而减小， ∴当x=80时，销售利润最大，
此时S=8000，即该商家最大捐款数额是8000元．
【点评】本题考查了二次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是将实际问题转化为求函
数最值问题，从而来解决实际问题．
25．如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径． （3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
【考点】圆的综合题．
【专题】证明题． 【分析】（1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到=，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2． 【解答】（1）证明：连接OM． ∵AC=AB，AE平分∠BAC， ∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4， ∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC， ∴∠OBM=∠CBM， ∴∠OMB=∠CBM， ∴OM∥BC 又∵AE⊥BC， ∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R， ∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴=即=， 解得R=3，
∴⊙O的半径为3；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH， ∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°， ∴四边形OMEH是矩形， ∴HE=OM=3， ∴BH=1，
∴BG=2BH=2．
【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定
与性质，综合性较强，难度较大．
26．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2
+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点． （1）求抛物线的解析式；
（2）在AC上方的抛物线上有一动点P．
①如图1，当点P运动到某位置时，以AP，AO为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P的坐标；
②如图2，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE：OE=3：8，求k的值．
②过P点作PF∥OC交AC于点F， ∵PF∥OC，
∴△PEF∽△OEC， ∴又∵
．
，
∴，
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题． 【分析】（1）由直线的解析式y=x+4易求点A和点C的坐标，把A和C的坐标分别代入y=﹣x2
+bx+c求出b和c的值即可得到抛物线的解析式；
（2）①若以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上，则PQ∥AO，再根据抛物线的对称轴可求出点P的横坐标，由（1）中的抛物线解析式，进而可求出其纵坐标，问题得解；
②过P点作PF∥OC交AC于点F，因为PF∥OC，所以△PEF∽△OEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等可求出PF的长，进而可设点点F（x，x+4），利用
，可求出x的值，解方程求出x的值可得点P的坐标，代
入直线y=kx即可求出k的值． 【解答】解：（1）∵直线y=x+4经过A，C两点， ∴A点坐标是（﹣4，0），点C坐标是（0，4）， 又∵抛物线过A，C两点，
∴
，解得：
，
∴抛物线的解析式为．
（2）①如图1
∵，
∴抛物线的对称轴是直线x=﹣1．
∵以AP，AO为邻边的平行四边形的第四个顶点Q恰好也在抛物线上， ∴PQ∥AO，PQ=AO=4． ∵P，Q都在抛物线上，
∴P，Q关于直线x=﹣1对称， ∴P点的横坐标是﹣3， ∴当x=﹣3时，，
∴P点的坐标是
；
设点F（x，x+4），
∴，
化简得：x2
+4x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=﹣3． 当x=﹣1时，
；当x=﹣3时，
，
即P点坐标是或．
又∵点P在直线y=kx上， ∴
．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，平行四边形的判定和性质，
相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，题目综合性较强，难度不大，是一道很好的中考题．
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