三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第六章 数列2 理-人教版高三全册数学试题

第二节 等差数列及其前n项和

A组 三年高考真题（2016～2014年）

1.(2016·某某,6)如图,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|,An≠An＋

2

,n∈N,|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|,Bn≠Bn＋2,n∈N(P≠Q表示点P与Q不重合).若dn＝|AnBn|,Sn为

**

△AnBnBn＋1的面积，则( )

A.{Sn}是等差数列B.{Sn}是等差数列C.{dn}是等差数列D.{dn}是等差数列 2.(2016·全国Ⅰ，3)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝( ) A.100B.99 C.98D.97

3.(2015·某某，2)在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( ) A.－1 B.0 C.1 D.6

4.(2015·，6)设{an}是等差数列，下列结论中正确的是( ) A.若a1＋a2＞0，则a2＋a3＞0B.若a1＋a3＜0，则a1＋a2＜0 C.若0＜a1＜a2，则a2＞a1a3D.若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＞0

5.(2014·某某，3)等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( ) A.8 B.10 C.12 D.14

6.(2014·某某，8)设等差数列{an}的公差为d.若数列{21n}为递减数列，则( ) A.d<0 B.d>0 C.a1d<0 D.a1d>0

7.(2016·，12)已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和.若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________. 8.(2016·某某，8)已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和.若a1＋a2＝－3，S5＝10，则a9的值是________.

9.(2016·全国Ⅱ，17)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1. (1)求b1，b11，b101；

(2)求数列{bn}的前1 000项和.

10.(2015·某某，10)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.

1 / 8

2

2

2

aaword 11.(2015·某某，13)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________.

12.(2015·新课标全国Ⅰ，17)Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，an＋2an＝4Sn＋3. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝

13.(2014·，12)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大.

14.(2015·某某，16)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式；

11

(2)记数列的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜成立的n的最小值.

1 000an

2

1

anan＋1

，求数列{bn}的前n项和.

15.(2014·大纲全国，18)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝

16.(2014·某某，20)设数列{an}的前n项和为Sn.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，则称{an}是“H数列”.

(1)若数列{an}的前n项和Sn＝2(n∈N)，证明{an}是“H数列”；

(2)设{an}是等差数列，其首项a1＝1，公差d<0.若{an}是“H数列”，求d的值； (3)证明：对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{}，使得an＝bn＋(n∈N)成立.

B组 两年模拟精选(2016～2015年)

1.(2016·某某哈六中模拟)已知等差数列{an}中，a2＝6，a5＝15，若bn＝a2n，则数列{bn}的前5项和等于( ) A.30B.45 C.90D.186

2 / 8

*

1

anan＋1

，求数列{bn}的前n项和Tn.

n*

word 2.(2016·某某某某二模)《X丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织________尺布( ) 181616A. B.C. D. 2153129

3.(2016·某某某某一模)设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项和为( ) A.128B.80 C.64D.56

4.(2015·某某省某某模拟)已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a10＝S4，则等于( ) A.4B.5 C.8D.10

5.(2015·某某某某一模)已知函数f(x)＝cos x，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为( ) 1133A. B.－C. D.－ 2222

6.(2016·某某八校联考)在等差数列{an}中，a1＝0，公差d≠0，若am＝a1＋a2＋…＋a9，则m的值为________.

7.(2016·某某某某统考)数列{an}的前n项和为Sn(n∈N)，2Sn－nan＝n，若S20＝－360，则

*

S8

a9

a2＝________.

8.(2015·某某某某质检)公差不为零的等差数列{an}的三项a1，a4，a16成等比数列，则

a1＋a3＋a5

的值是________.

a2＋a4＋a6

35

9.(2015·某某某某模拟)已知等差数列{an }中，a2＋a6＝6, Sn 为其前n项和，S5＝.

3(1)求数列{an }的通项公式； (2)令bn ＝

1

an－1an(n≥2),b1＝3,Sn＝b1+b2+…＋bn,若Sn答案精析

A组 三年高考真题（2016～2014年）

(2016年高考题6月底更新)

*

3 / 8

word 1.A[Sn表示点An到对面直线的距离(设为hn)乘以|BnBn－1|长度一半,即Sn＝

1

hn|BnBn－1|，由题目中条件可知|BnBn－1|的长度为定值，过A1作垂直得到初始距离h1，那么A1，2

An和两个垂足构成等腰梯形，则hn＝h1＋|A1An|tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，

11

从而Sn＝(h1＋|A1An|tan θ)|BnBn＋1|，Sn＋1＝(h1＋|A1An＋1|)|BnBn＋1|，

22

1

则Sn＋1－Sn＝|AnAn＋1||BnBn＋1|tan θ，都为定值，所以Sn＋1－Sn为定值，故选A.]

2

9（a1＋a9）9×2a5

2.C [由等差数列性质,知S9＝＝＝9a5＝27,得a5＝3,而a10＝8,因此公

22差d＝

a10－a5

10－5

＝1,∴a100＝a10＋90d＝98，故选C.]

3.B [由等差数列的性质,得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0,选B.]

4.C [A,B选项易举反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2a1a3，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2a1a3，即a2>a1a3成立.]

5.C [设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故选C.]

6.C [{2a1an}为递减数列，可知{a1an}也为递减数列，又a1an＝a1＋a1(n－1)d＝a1dn＋a1－

2

2

a1d，故a1d<0，故选C.]

7.6 [∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0，∴d＝－2. 6×（6－1）

∴S6＝6×6＋×(－2)＝6.]

2

a1＋（a1＋d）＝－3，a1＝－4，

 8.20[设等差数列{an}公差为d，由题意可得：解得 5×4

d＝3，5a＋d＝10，12

则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.]

9. (1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1.所以{an}的通项公式为an＝n.

2

b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.

0，1≤n<10，

1，10≤n<100，

(2)因为b＝

2，100≤n<1 000，3，n＝1 000，

n所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.

4 / 8

word 10.10[因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.]

11.5[由题意设首项为a1，则a1＋2 015＝2×1 010＝2 020，∴a1＝5.] 12.解(1)由an＋2an＝4Sn＋3，可知an＋1＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.

可得an＋1－an＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝an＋1－an＝(an＋1＋an)(an＋1－an). 由于an>0，可得an＋1－an＝2.又a1＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3. 所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为an＝2n＋1. (2)由an＝2n＋1可知bn＝1

2

2

2

2

2

2

2

anan＋1

＝

1111－＝.

（2n＋1）（2n＋3）22n＋12n＋3

设数列{bn}的前n项和为Tn，则

Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－＋－23557

11111

n1－1＝

＋…＋. 

2n＋12n＋33（2n＋3）

13.8 [∵数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，∴

a9<0.∴当n＝8时，其前n项和最大.]

14.解 (1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)， 从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)， 所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，

所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2. 11n1－

11111212

(2)由(1)得＝n，所以Tn＝＋2＋…＋n＝＝1－n.

an222212

1－

2111n由|Tn－1|＜，得1－n－1＜，即2＞1 000，

1 00021 000因为2＝512＜1 000＜1 024＝2，所以n≥10， 1

于是，使|Tn－1|＜成立的n的最小值为10.

1 000

15.解 (1)由a1＝10，a2为整数知：等差数列{an}的公差d为整数. 又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0. 105

解得－≤d≤－.因此d＝－3.

32数列{an}的通项公式为an＝13－3n.

9

10

n5 / 8

word 1111

－(2)bn＝＝.

（13－3n）（10－3n）310－3n13－3n于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn 11111＝－＋－＋…＋371047

1－1 10－3n13－3n

111n－＝＝. 310－3n1010（10－3n）

16.(1)证明 由已知，当n≥1时，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2

nn＋1

－2＝2.于是对任意的正整数n，总

nn存在正整数m＝n＋1，使得Sn＝2＝am.所以{an}是“H数列”.

(2)解 由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因为{an}是“H数列”，所以存在正整数m，使得S2＝

am，即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d＝1.

因为d<0，所以m－2<0，故m＝1.从而d＝－1. 当d＝－1时，an＝2－n，Sn＝存在正整数m＝2－Sn＝2－值为－1.

(3)证明 设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N). 令bn＝na1，＝(n－1)(d－a1)，则an＝bn＋(n∈N). 下证{bn}是“H数列”. 设{bn}的前n项和为Tn，则Tn＝

*

*

n（3－n）

2

是小于2的整数，n∈N.于是对任意的正整数n，总

*

n（3－n）

2

，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H数列”.因此d的

n（n＋1）

a1(n∈N*).于是对任意的正整数n，总存在正整数m2

＝

n（n＋1）

2

，使得Tn＝bm，所以{bn}是“H数列”.

同理可证{}也是“H数列”.

所以，对任意的等差数列{an}，总存在两个“H数列”{bn}和{}，使得an＝bn＋(n∈N)成立.

B组 两年模拟精选(2016～2015年)

a1＋d＝6，a1＝3，1.C [设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得∴an＝3n. a1＋4d＝15，d＝3，

*

∴bn＝a2n＝6n，∴b1＝a2＝6，

∴数列{bn}是首项为6，公差为6的等差数列.

5×4

∴数列{bn}的前5项和S5＝5×6＋×6＝90，故选C.]

2

6 / 8

word 30×29

2.D [设从第2天起每天比前一天多织d尺布，则30×5＋d＝390.解得

2

d＝，故选D.]

3.C [法一 因为S8＝

8（a1＋a8）

＝4(a2＋a7)＝4×16＝64， 2

1629

8×7

法二 {an}是等差数列，且a2＝3，a7＝13，则公差d＝2，a1＝1，所以S8＝8a1＋d＝8＋

256＝64，故选C.]

4×38×7

4.A [由a10＝S4得a1＋9d＝4a1＋d＝4a1＋6d，即a1＝d≠0.所以S8＝8a1＋d＝8a1

22＋28d＝36d，所以＝

S836d36d＝＝4，选A.]

a9a1＋8d9d3ππ－22π3ππ

5.D [若m>0，则公差d＝－＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝＝.22333ππ所以m＝cos ＋＝－，故选D.] 223

9×8

6. 37 [am＝a1＋a2＋…＋a9＝9a1＋d＝36d＝a37，∴m＝37.]

2 7.－1 [∵2Sn－nan＝n①

∴当n≥2时，2Sn－1－(n－1)an－1＝n－1② ∴①－②得，(2－n)an＋(n－1)an－1＝1③ ∴(1－n)an＋1＋nan＝1④

∴③－④得，2an＝an－1＋an＋1(n≥2)， ∴数列{an}为等差数列，

∵当n＝1时，2S1－a1＝1，∴a1＝1， 20×19

∵S20＝20＋d＝－360，∴d＝－2.

2∴a2＝1－2＝－1.]

3a1＋a3＋a53a3322

8.[由已知得a4＝a1·a16，即(a1＋3d)＝a1·(a1＋15d)，∴d＝a1，∴＝＝.] 4a2＋a4＋a63a445（a1＋a5）357 9.解 (1)由a2＋a6＝6，得a4＝3，又由S5＝＝5a3＝，得a3＝，

233

7 / 8

word 7a1＝1，a1＋2d＝，

3解得2∴an＝2n＋1. 设等差数列{an}的公差为d，则

33d＝，3a1＋3d＝3.(2)当n≥2时，bn＝

1

anan－1

＝191

－＝，

2n＋1·2n－122n－12n＋13333

1

当n＝1时，上式同样成立，

11919111

－∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝1－＋－＋…＋＝1－， 2n－12n＋122n＋1233511999

1－又1－随n递增，且＜≤m， 2n＋1222n＋12∴m≥5，mmin＝5.即最小正整数m的值为5.

8 / 8