专题训练(二) 特殊平行四边形中的折叠问题
► 类型之一 把一个顶点折叠到一条边上
1．2017·天水如图2－ZT－1，在矩形ABCD中，∠DAC＝65°，E是CD上一点，BE交AC于点F，将△BCE沿BE折叠，点C恰好落在AB边上的点C′处，则∠AFC′＝________°.
图2－ZT－1
2．如图2－ZT－2，将矩形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为________．
图2－ZT－2
3．如图2－ZT－3，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3，求CD的长．
图2－ZT－3
4．某校八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC＝20 cm，宽AB＝16 cm的矩形纸片ABCD，②将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．请你根据①②步骤计算EC的长．
5．如图2－ZT－4，已知矩形纸片ABCD，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O.求证：A，G，E，F四点构成的四边形是菱形．
图2－ZT－4
► 类型之二 把一条边折叠到对角线上
6．如图2－ZT－5，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为( )
图2－ZT－5
A．3 B．4 C．5 D．6
7．准备一张矩形纸片ABCD，按如图2－ZT－6所示操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的点M处，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的点N处．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
图2－ZT－6
► 类型之三 把一个顶点折叠到另一个顶点上
8．如图2－ZT－7，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若AB＝1，BC＝2，则△ABE和△BC′F的周长之和为( )
图2－ZT－7
A．3 B．4 C．6 D．8
9．把一张矩形纸片ABCD按图2－ZT－8的所示方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕
2
为EF.若AB＝3 cm，BC＝5 cm，则重叠部分△DEF的面积为________cm.
图2－ZT－8
10．如图2－ZT－9，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C
与点A重合，求折痕EF的长．
图2－ZT－9
► 类型之四 沿一条直线折叠
11．如图2－ZT－10，已知正方形ABCD的对角线长为2 2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为( )
图2－ZT－10
A．8 2 B．4 2 C．8 D．6
12．如图2－ZT－11，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在的直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是( )
图2－ZT－11
A．2 10－2 B．6
C．2 13－2 D．4
13．2017·宁夏如图2－ZT－12，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处．若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数为________．
图2－ZT－12
14．2017·西宁如图2－ZT－13，将平行四边形ABCD沿EF对折，使点A落在点C处．若∠A＝60°，AD＝4，AB＝6，则AE的长为________．
图2－ZT－13
15．如图2－ZT－14，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使点B落在点P处，折痕为EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP.
(1)求证：四边形AECF为平行四边形；
(2)若△AEP是等边三角形，求证：△APB≌△EPC； (3)若矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，求△CPF的面积．
图2－ZT－14
详解详析
1．[答案] 40 2．[答案] 12
[解析] 由折叠的性质知，AF＝AB，EF＝BE.所以矩形的周长等于△AFD和△CFE的周长的和．故矩形ABCD的周长为12.
3．解：根据折叠的性质，得EF＝AE＝5.根据矩形的性质，得∠B＝90°.在Rt△BEF中，∠B＝90°，EF＝5，BF＝3，根据勾股定理，得BE＝EF－BF＝5－3＝4，∴CD＝AB＝AE＋BE＝5＋4＝9.
4．解：设EC＝x cm，则EF＝DE＝(16－x) cm.由题意得AF＝AD＝20 cm.
在Rt△ABF中，BF＝AF－AB＝12 cm，FC＝BC－BF＝20－12＝8(cm)．
222
在Rt△EFC中，EF＝FC＋EC，
222
即(16－x)＝8＋x， 解得x＝6，
∴EC的长为6 cm.
5．证明：连接AF.由折叠的性质，得AG＝EG，∠AGF＝∠EGF. ∵DC∥AB，
∴∠EFG＝∠AGF， ∴∠EFG＝∠EGF， ∴EF＝EG. 又∵AG＝EG， ∴EF＝AG，
∴四边形AGEF是平行四边形． 又∵AG＝EG，
∴平行四边形AGEF是菱形，
即A，G，E，F四点构成的四边形是菱形． 6．D
7．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB.
又由折叠的性质，知∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝ ∠FDB，
∴∠EBD＝∠FDB， ∴EB∥DF. 又∵ED∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形． (2)∵四边形BFDE是菱形，
∴BE＝ED＝BF，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝30°.
∵∠A＝90°，AB＝2，
2 34 3∴AE＝，BF＝BE＝2AE＝，
33
2
2
2
2
2
2
4 38 3
∴菱形BFDE的面积为×2＝.
338．C 51
9．[答案]
10
[解析] 设ED＝x cm，则根据折叠和矩形的性质，得A′E＝AE＝(5－x) cm，A′D＝AB＝3 cm.
17117222222
根据勾股定理，得ED＝A′E＋A′D，即x＝(5－x)＋3，解得x＝，∴S△DEF＝×525512
×3＝(cm)．
10
10．解：设BE＝x，则CE＝BC－BE＝16－x. ∵沿EF翻折后点C与点A重合， ∴AE＝CE＝16－x.
222
在Rt△ABE中，AB＋BE＝AE，
222
即8＋x＝(16－x)， 解得x＝6，
∴AE＝16－6＝10.
由翻折的性质，得∠AEF＝∠CEF. ∵矩形ABCD的对边AD∥BC， ∴∠AFE＝∠CEF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF＝10.
过点E作EH⊥AD于点H，则四边形ABEH是矩形， ∴EH＝AB＝8，AH＝BE＝6， ∴FH＝AF－AH＝10－6＝4.
在Rt△EFH中，EF＝EH＋FH＝8＋4＝4 5. 11．C 12．A
13．[答案] 105°
[解析] 在平行四边形ABCD中，AD∥BC，得∠DBC＝∠ADB.
又由折叠，得∠A＝∠A′，∠BDA′＝∠BDA，所以∠DBC＝∠BDA′.
根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，以及∠1＝50°，可得∠DBC＝25°，则∠ABC＝∠2＋∠DBC＝75°.
因为AD∥BC，
所以∠A＋∠ABC＝180°，
所以∠A＝105°，∴∠A′＝105°.
19
14．[答案] 4
[解析] 作CH⊥AB于点H，则BH＝2，CH＝2 3，则AH＝8.在Rt△ACH中，设AE＝CE
1919222222
＝a，则EH＝8－a，由CH＋EH＝CE，得(8－a)＋(2 3)＝a，解得a＝，即AE＝. 44
15．解：(1)证明：在矩形ABCD中，AB∥DC.
∵E为AB的中点，
2
2
2
2
∴AE＝BE.
又由翻折，知EC⊥BP，EP＝EB＝AE， ∴∠EAP＝∠EPA，∠EPB＝∠EBP.
在△ABP中，∠EAP＋∠EPA＋∠EPB＋∠EBP＝180°， ∴∠EPA＋∠EPB＝∠APB＝90°， ∴EC∥AF，
∴四边形AECF为平行四边形． (2)证明：∵△AEP是等边三角形，
∴AP＝EP＝AE，∠PAB＝∠AEP＝∠APE＝60°， ∴∠PEC＝∠BEC＝60°， ∴∠PAB＝∠PEC＝60°.
由(1)与题可知APB＝∠EPC＝90°， ∴△APB≌△EPC.
(3)∵AB＝6，BC＝4，E是AB边的中点， 1
∴AE＝BE＝AB＝3.
2
在Rt△BEC中，EC＝BE＋BC＝5， ∵四边形AECF为平行四边形， ∴AF＝EC＝5.
如图，设CE与BP交于点H.
22 ∵BE·BC＝EC·BH， 12∴BH＝，
512
∴PH＝BH＝，
5
24∴BP＝. 5
1822
在Rt△BPA中，AP＝BA－BP＝，
57∴PF＝. 5
过点C作CG⊥AF交AF的延长线于点G， 12
∴CG＝PH＝，
5
1171242
∴△CPF的面积S＝PF·CG＝××＝.
225525
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