动点问题

几何运动与函数模型

1．如图所示，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的

一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E. （1）求证：PE=BO；

（2）设AC2a,APx，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.

2．已知：如图等边三角形ABC中，AB=2，点P是AB边上，的任意一点（点P可以与点A重合，但不与点B重合），过点P作PE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AC，垂足为Q，设BP=x，AQ=y. （1）写出y与x之间的函数关系式；

（2）当BP的长等于多少时，点P与点Q重合；

（3）当线段PE，FQ相交时，写出线段PE，EF，FQ所围三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）.

3．四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6. （1）如图（1），在OA上选取一点G，将COG沿CG翻折，使点O落在BC边上，记为E，求折痕CG所在直线的解析式； （2）如图（2），在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E′. ①求折痕AD所在直线的解析式；

②再作E′F//AB，交AD于点F.若抛物线yAD的交点的个数；

12xk过点F，求抛物线的解析式，并判断它与直线121

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（3）如图，一般地，在OC，OA上各选取适当的一点D′，G′，使△D′OG′翻折后，点O落在BC边上，记为E〞.请你猜想：折痕D′G′所在直线与图中的抛物线会有什么关系？用（1）中的情形验证你的猜想.

4．如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠B=90°，AD=13㎝，BC=16㎝，CD=5㎝，AB为⊙O的直径，动点P沿AD方向从点A开始从点A开始向点D以1㎝/s的速度运动，动点Q沿CB方向从点C开始向点B以2㎝/秒的速度运动，点P，Q分别从A，C两点同时出发，当其中一点停止时，另一点也随之停止运动. （1）求⊙O的直径；

（2）求四边形PQCD的面积y关于P，Q运动时间t的函数关系式，并求当四边形PQCD为等腰梯形时，四边形PQCD的面积；

（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

5．已知：Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=3厘米，OB=4厘米.以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系.设P，Q分别为AB边，OB边上的动点，它们同时分别从点A，O向B点匀速移动，移动的速度都为1厘米/秒.设P，Q移动时间为t秒（0t4）.

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2

（1）过点P作PM⊥OA于M.证明：

2AMPMAP，并求出P点坐标（用t表示）；、 AOBOAB （2）求△OPQ的面积S（厘米）与移动时间t（秒）之间的函数关系式；当t为何值时，S有最大值，并求出S的最大值；

（3）当t为何值时，△OPQ为直角三角形？

（4）①试证明无论t为何值，△OPQ不可能为正三角形；②若点P的移动速度不变，试改变点Q的运动速度，△OPQ速度为正三角形，求出点Q的运动速度和此时t值.

6．如图，在菱形ABCD中，AB=10，∠BAD=60°.点M从A以每秒1个单位长的速度沿着AD边向D移动；设点M移动的时间为t秒（0t10）.（1）点N为BC边上任意一点.在点M移动过程中，线段MN是否一定可以将菱形分割成面积相等的两部分？并说明理由；（2）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒2个单位长的速度沿着BC边向点C移动，在什么时刻，梯形ABNM的面积最大？并求出面积的最大值；（3）点N从点B（与点M出发的时刻相同）以每秒a（a2）单位长的速度沿着射线BC方向可以超越C点）移动，过点M作MP//AB，交BC于点P.当△MPN≌△ABC时，设△MPN与菱形ABCD重叠部分的面积为S，求出用t表示S的关系式，并求出S=0时a的值.

7．如图，直角坐标系中，点A在轴上，OA=3，以A为圆心，5个单位长为半径的⊙A与x轴正半轴交于B点，与x轴的负半轴交于C点，与y轴的正半轴交于D点.抛物线yaxbxc的顶点在x轴的下方，对称轴平行于y轴，且抛物线过B，C两点，其顶点在⊙A上.

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3

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴上方的抛物线上有点P，若△POB的面积为 （3）设E点坐标为（ （4）当m44，求P的坐标； 516,0），作直线ED，求证ED为⊙A的切线； 316时，设动点F的坐标为(m,0)，从动点F向⊙A引切线，切点为G（x,y），直接写出x3和y的取值范围.

8．如图，已知直线y3B两点，以AB为边在第一象限内作正△ABC，x1与x轴，y轴分别交于A，

3点D是AB的中点，将△ACB折叠，使点C与点D重合. （1）求折痕EF所在直线的解析式；

（2）以点B为圆心，AB的长为半径的圆与直线EF交于两点M，N，求M，N两点的纵坐标.

9．如图，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r，扇形的半径为R，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为（ ）

A．R=2r

9r 4C.R3r D.R4r

B.R=

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4

10．如图所示，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O做

0°～90°的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）的变化而变化.下面表示S与n的关系的图象大致是（ ）

10．如图，在 ABCD，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过P作EF//AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F.设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间的关系的图象为（ ）

11．如图是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系？

12．如图，把△ABC纸沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与12之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）

A．A12 B. 2A12

C. 3A212

D.3A2(12)

13．在直角坐标系中，有四点A（-8，3），B（-4，5），C（0，n）D（m，0），当四边形ABCD的周长最短时

第12题

第13题

第14题

m的值为 . n3x3分别与x轴、y轴交于点A，B，⊙E经过点O及A，B两点. 3（1）C是⊙E上一点，连结BC交AO于点D，若CODCBO，求点A，B，C的坐标；

14．如图，直线y

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（2）写出图象经过O，C，A三点的二次函数的解析式；

（3）若延长BC到P，使DP=2，连结PA，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由.

15．如图，在直角坐标系中，以点A(3,0)为圆心、23为半径的圆与x轴交于B，C两点，与y轴交于D，E两点. （1）求D点的坐标；

（2）若B，C，D三点在抛物线yaxbxc上，求这条抛物线的解析式；

（3）若⊙A的切线交x轴的正半轴于点M，交y轴的负半轴于点N，切点为P，且OMN30，试判断直线MN是直线MN是否经过所求抛物线的顶点？请说明理由.

16．已知：如图，在Rt△ABC中，C90,BCa cm, AC=b cm,ab,且a,b是方程

2x2(m1)x(m4)0的两根.AB=5cm.

（1）求a,b；

（2）若△ABC与△ABC完全重合，令△ABC固定不动，将△ABC沿CB所在的直线向右以1cm/s的速度移动，设移动x s后，△ABC与△ABC的重叠部分的面积为ycm2，求y与x之间的函数关系式；几秒钟后两个三角形重叠部分的面积等于cm？

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2

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17．在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（-4，0），（2，0）.点P从A点开始以2cm/s的速度沿折线AOy运动，同时点Q从B点开始以1cm/s的速度沿折线Boy运动.

（1）①在运动开始后的同一时刻，一定存在以A，O，P为顶点的三角形和以B，O，Q为顶点的三角形？②如果存在，那么以A，O，P为顶点的三角形和以B，O，Q为顶点的三角形相似吗？③以A，O，P为顶点的三角形和以B，O，Q为顶点的三角形会同时成为等腰直角三角形吗？请分别说明理由；

（2）①试判断t242时，以A为圆心，AP为半径的圆与以B为圆心，BQ为半径的圆的位置关系；②除此之外，⊙A与⊙B还有其他位置关系吗？如果有，请求出t的取值范围； （3）请你选定某一时刻，求出经过三点A，B，P的抛物线的解析式。

18．在以O（0，0）为原点的直角坐标系中，以(a,0)为圆心的⊙O′与x轴交于C，D两点，与y轴交于A，B两点，连结AC，点E在AB上且EA=EC。 （1）求证：ACAEAB；

（2）延长EC到P，连结PB，若PB=PE，试判断PB与⊙O′的位置关系，并说明理由； （3）若a2,⊙O′的半径为4，求（2）中PB所在直线的函数解析式。

2

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⌒ B为圆心，AB长为半径的圆的一段弧.点E是边AD上的任意一 19．在正方形ABCD中，AB=1， 是以点AC 点（点E与点A，D不重合），过E作 所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点. ⌒ （1）当∠DEF=45°时，求证点G为线段EF的中点；

AC

（2）设AE=x，FC=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）将△DEF沿直线EF翻折后得△D1EF,如图当EF5时，讨论△AD1D与△D1EF,是否相似，如6果相似，请加以证明：如果不相似，只要求写出结论，不要求写出理由.

20．在梯形ABCD中，BC∥AD，A90,AB2,BC3,AD4,E为AD的中点，F为CD中点，P为BC上的动点（不与B，C重合）.设BP为x，四边形PEFC的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.

21．已知二次函数yax2bxc的图象过点A（2，0）且与直线yB在x轴上，点C在y轴上. （1）求二次函数的解析式；

（2）如果P（x,y）是线段BC上的动点，O为坐标原点.试求△POA的面积S△POA与x之间的函数关系式，并求自变量取值范围；

（3）是否存在这样的点P，使PO=AO？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.

3x3相交于B，C两点，点4

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22．已知一次函数y324xm的图象分别交x轴，y轴于A，B两点，且与反比例函数y的图象在4x第一象限内交于点C（4，n），CDx轴于D

（1）求m,n的值，并在直角坐标系中作出一次函数的图象；

（2）如果点P，Q分别从A，C两点同时出发，以相同的速度沿直线段AD，CA向D，A运动.设APk.①k为何值时，以A，P，Q为顶点的三角形与△AOB相似？②k为何值时，△APQ的面积取得最大值？并求出这个最大值.

23．在矩形ABCD中，BC=a cm，AB=b cm，ab，且a,b是方程

84x2x31的两个根.P是

x(x5)x5BC上一动点，动点Q在PC或其延长线上，BP=PQ，以PQ为一边的正方形为PQRS.点P从B点开始沿射线

2BC方向运动，设BPx cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分的面积为y cm.

（1）求a和b

（2）分别求出0x2和24时，y与x之间的函数关系式； （3）在同一坐标系内画出（2）中函数的图象.

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