2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题9 第1讲 函数与方程思想

知识整合Zhishizhenghe一、函数思想就是用运动和变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，并用函数的解析式将其表示出来，从而通过研究函数的图象和性质，使问题获解．二、方程思想就是分析数学中的变量间的等量关系，构建方程或方程组，转化为对方程的解的讨论，从而使问题获解．三、函数思想与方程思想联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程f(x)＝0，就是求函数y＝f(x)的零点，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函数y＝f(x)的正(或负)区间，再如方程f(x)＝g(x)的解的问题可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的交点问题，也可以转化为函数y＝f(x)－g(x)与x轴的交点问题，方程f(x)＝a有解，当且仅当a属于函数f(x)的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要．命题方向1函数与方程思想在不等式中的应用例1(1)已知f(x)＝log2x，x∈[2,16]，对于函数f(x)值域内的任意实数m，使x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立的实数x的取值范围为(A．(－∞，－2]B．[2，＋∞)C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解析]因为x∈[2,16]，所以f(x)＝log2x∈[1,4]，即m∈[1,4]．不等式x2＋mx＋4>2m＋4x恒成立，即为m(x－2)＋(x－2)2>0恒成立．设g(m)＝(x－2)m＋(x－2)2，则此函数在区间[1,4]上恒大于0，所以g1>0，g4>0，即x－2＋x－22>0，4x－2＋x－22>0，D)解得x<－2或x>2.－

(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a1|)>f(－2)，则a的取13值范围是(，).22[解析]由f(x)是偶函数且f(x)在(－∞，0)上单调递增可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．又因为f(2|a－1|)>f(－2)，f(－2)＝f(2)，－113所以2|a1|<2，即|a－1|<，解得f′(x)，且f(0)＝1，则不等式的解集为(B)B．(0，＋∞)D．(2，＋∞)fx<1ex

A．(－∞，0)C．(－∞，2)ex·f′x－ex·fxf′x－fxfx[解析]构造函数g(x)＝x，则g′(x)＝＝.由题意得g′(x)<0恒成立，所以函数g(x)xx2eeefxf0fx＝x在R上单调递减．又因为g(0)＝0＝1，所以x<1.eee即g(x)<1，所以x>0，所以不等式的解集为(0，＋∞)．12．若不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈(0，]恒成立，则a的最小值为(C2A．0C．－52B．－2D．－3)[解析]因为x2＋ax＋1≥0，－x2－111即a≥＝－(x＋)，令g(x)＝－(x＋)，xxx11当033－6.若在区间(－2,6]内关于x的方程f(x)－loga(x＋2)＝0(a>1)恰有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是(4，2).[解析]由f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，1因为当x∈[－2,0]时，f(x)＝()x－6.3所以若x∈[0,2]，则－x∈[－2,0]，1－

则f(－x)＝()x－6＝3x－6，3因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝3x－6＝f(x)，即f(x)＝3x－6，x∈[0,2]，由f(x)－loga(x＋2)＝0得f(x)＝loga(x＋2)，作出函数f(x)的图象如图．当a>1时，要使方程f(x)－loga(x＋2)＝0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f(x)与g(x)＝loga(x＋2)有3个不同的交点，则满足g2f6，即loga4<3，loga8>3，33解得4－12，∴f′(x)＝12＋sinx>0，∴f(x)＝12x－cosx在(－π6，7π6)上是增函数．∵f(ππππ2)＝4－cos2＝4，∴在区间(－π7ππ6，6)上有且只有一个实数x＝2满足f(x)＝π4.当x≤－π1π6时，有2x≤－12，－cosx≤1，∴x≤－π6时，f(x)＝1ππ2x－cosx≤－12＋1<4，由此可得：当x≤π6时，f(x)＝π4没有实数根．同理可证：x≥7π6时，f(x)＝7ππ6－1>4，∴方程f(x)＝π4也没有实数根．综上可知f(x)＝ππ4，只有实数根2.故选C．命题方向3解决最值或参数范围问题例3直线y＝a分别与曲线y＝2(x＋1)，y＝x＋lnx交于点A，B，则|AB|的最小值为(A．3B．2C．324D．32[解析]当y＝a时，2(x＋1)＝a，所以x＝a2－1.设方程x＋lnx＝a的根为t，at＋lnt则t＋lnt＝a，则|AB|＝|t－2＋1|＝|t－2＋1|＝|t2－lnt2＋1|.设g(t)＝tlnt2－2＋1(t>0)，则g′(t)＝11t－12－2t＝2t，令g′(t)＝0，得t＝1，当t∈(0,1)时，g′(t)<0；当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，所以g(t)min＝g(1)＝32，D)33所以|AB|≥，所以|AB|的最小值为.22『规律总结』求最值或参数范围的技巧(1)充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式(组)求解．(2)充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求解．(3)当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信息，构造方程再利用方程知识使问题巧妙解决．(4)当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数．跟踪训练Genzongxunlian→→→如图，A是单位圆与x轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0<θ<π)，OQ＝OA＋OP，四边形OAQP的面积→→为S，当OA·OP＋S取得最大值时θ的值为(πA．6C．π3B)π4B．πD．2→→→→π→→[解析]∵OA＝(1,0)，OP＝(cosθ，sinθ)，∴OA·OP＋S＝cosθ＋sinθ＝2sin(θ＋)，故OA·OP＋S的最大值为2，4π此时θ＝.故选B．4命题方向4函数与方程思想在解析几何中的应用2，直线l与y轴交于点2例4椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为2，离心率为→→P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且AP＝3PB.(1)求椭圆C的方程；(2)求m的取值范围．y2x2

[解析](1)设椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，ab设c>0，c2＝a2－b2，c22由题意，知2b＝2，＝，所以a＝1，b＝c＝.a22x2

故椭圆C的方程为y＋1＝1，即y2＋2x2＝1.22

(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B2(x2，y2)，由y＝kx＋m，2x2＋y2＝1，得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)－2kmm2－1x1＋x2＝，x1x2＝，k2＋2k2＋2→→因为AP＝3PB，所以－x1＝3x2.所以x1＋x2＝－2x2，x1x2＝－3x22.则3(x2＋x2)2＋4x1x2＝0，－2km2m2－1即3·()＋4·＝0，k2＋2k2＋2整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0，1当m2＝时，上式不成立；42－2m212

当m≠时，k＝，44m2－12

由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0，2－2m2

所以k＝>0，2

4m－12

11解得－10或Δ≥0中，即可求出目标参数的取值范围．跟踪训练Genzongxunlianx2→→若点O和点F(－2,0)分别为双曲线2－y2＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OP·FPa的取值范围为(B)B．[3＋23，＋∞)7D．[，＋∞)4A．[3－23，＋∞)7C．[－，＋∞)4[解析]由c＝2，得a2＋1＝4，∴a2＝3.x22

∴双曲线方程为－y＝1.3设P(x，y)(x≥3)，→→OP·FP＝(x，y)·(x＋2，y)x2222＝x＋2x＋y＝x＋2x＋－134＝x2＋2x－1(x≥3)．34令g(x)＝x2＋2x－1(x≥3)，3则g(x)在[3，＋∞)内单调递增，g(x)min＝g(3)＝3＋23.→→∴OP·FP的取值范围为[3＋23，＋∞)．