解三角形之解三角形的应用

第三节 解三角形的实际应用

仰角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线____方； 俯角：目标视线在水平线____方时叫俯角．(如图所示)

正余弦定理应用类型

已知条件 三边（a,b,c） 两边和夹角 （如a,b,C） 两边和其中一边的对角 正弦定理 （如a,b,A） 两边和其中一边的对角 余弦定理 （如a,b,A） 一边和二角 （如a,B,C） 总结：单角用余弦，两角用正弦

定理选用 一般解法 1 / 9

题型一 测量距离的问题

【例1】. 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩如图，其一角已破损，现测得如下数据：BC=2．57cm，CE=3．57cm，BD=4．38cm，B=45°，C=120°．为了复原，请计算原玉佩两边的长(结果精确到0．01cm)． 【例2】. 在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a的军事基地C和D测得蓝2方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队的距离.

【巩固练习】

1.一蜘蛛向北爬行xcm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x .

2.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15的方向上，且此时货轮与灯塔S相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处，又测得灯塔S在货轮的东北方向，则货轮的速度为 ( ).

A．2062海里/小时 Ｃ．2063海里/小时

Ｂ．2062海里/小时 Ｄ．2063海里/小时

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3.某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船（ ）触礁的危险（填“有”或 “无”）。

题型二 测量高度的问题

【例1】. 如图测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面 内的两个测点C与D．现测得∠BCD=α，∠BDC=β，CD=s ，并在点C测得塔顶A的仰角为，求塔高AB．

【例2】. 某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处进行该仪B两地相距100米，BAC60，器的垂直弹射，观测点A、在A地听到弹射声音的时间比B地晚2秒。17A地测得该仪器在C处时的俯角为15°，A地测得最高点H时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH。（声音的传播速度为340米/秒） 【过关练习】 1.在 200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30和60，则塔高为（ ）。 A. 40032003400200m C. m D. m B. m 3333 3 / 9

2.有一长为10m的斜坡，倾斜角为75 ，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30，则坡地要延长（ ）。 A. 5m B. 10m C. 102m D. 103m 3.北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106m，则旗杆的高度为 m.

题型三 测量角度问题

【例1】. 如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A,B,C,三点进行测量，已知AB=50m，于A处测得水深AD=80m，于B处测得水深BE=200m，于C处测得水深C，求DEF的余弦值。

【例2】. 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，求cos θ的值．

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【过关练习】

1：两座灯塔A和B与海岸观察站的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站的南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )

A. 北偏东10° B. 北偏西10° C. 南偏东10° D. 南偏西10° 2：如图所示，一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10:00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°方向，且与它相距82n mile. 此船的航速是 n mile/h.

题型四：解三角形的综合应用

【例1】．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE1，连接EC，ED，则sinCED（ ）. A.

【例2】．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距________m.

【过关练习】

1．如图所示,已知在梯形ABCD中(AB//CD)，CD2，AC19,BAD60o,求梯形的高DE

DC3101055 B. C. D. 10101015AEB

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2. 若海上有A,B,C三个小岛，测得A,B两岛相距10海里，BAC60,ABC75，则B,C间的距离是________海里．

3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的持续时间为( ). A．0.5小时 C．1.5小时

B．1小时 D．2小时

课后练习

【补救练习】

1．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是( ) A.103海里 B.

106海里 3 C. 52海里 D.56海里

2．海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B、C间的距离是 ( ) A.103海里 B.

106海里 C. 52海里 D.56海里 33．如图，要测量河对岸A、B两点间的距离，今沿河岸选取相距40米的C、D两点，测得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，∠ADC=30°，则AB的距离是（ ）.

4、甲船在岛B的正南方A处，AB＝10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲，乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A．

（A）202

（B）203

（C）402

（D）206

150分钟 7B．

15分钟 7C．21.5分钟 D．2.15分钟

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5．在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为300,600,则塔高为( )

4004003A米 B米

33C

C

2003米 D200米 33A

D

B

6.如图所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120m，则河的宽度为： . A．40m B．50m

C．60m

D．70m

【巩固练习】

1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．不确定

2、如图，某货轮在A出看灯塔B在货轮的北偏东75°方向，距离为126海里；在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°方向，距离为83海里，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在南偏东60°方向，求： ①A与D间的距离 ②灯塔C与D间的距离。

3、平地上有A、B两点，A在山（高为CD）的正东方向，，B在山的东南方向，B在A的南偏西15°距A地300m的地方，在A处测山顶C的仰角是30°，求山高。

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4、在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c已知m2cosA,3sinA，ncosA,2cosA，

mn1

①求A的大小；

②若a23，c2，求△ABC的面积。

【拔高练习】

1.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如右图所示)的东偏南θ2

cos θ＝方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动，台风侵袭的范围为

10

圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风的侵袭的时间有多少小时？

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2.在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若c(ab)6,C223，则ABC的面积是（ ）

A. 3 B.

9333 C. D. 33 22 3.已知ABC的内角A,B,C，满足sin2Asin(ABC)sin(CAB)1，面积S满足1S2，记a,b,c分别为A,B,C所对的边，则下列不等式一定成立的是（A. bc(bc)8 B. ab(ab)162 C. 6abc12 D. 12abc24

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2 ）。