高考数学：专题05 函数的周期性和对称性(解析版)

【高考地位】

函数周期性和对称性是函数两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数对称性和周期性，以及它们之间联系。因此，我们应该掌握一些简单常见几类函数周期性与对称性基本方法。 【方法点评】

一、函数周期性求法

使用情景：几类特殊函数类型

解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形；第二步 准确求出函数周期性； 第三步 运用函数周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x2)1，若f(1)5，则f(f(5))（ ） f(x)A、5 B、5 C、【答案】D 【解析】

11 D、 55

考点：函数周期性、

[来源:Z+xx+k.Com]

2(2) 已知fx在R上是奇函数，且满足fx5fx，当x0,5时，fxxx，则f2016（ ）

A、-12 B、-16 C、-20 D、0 【答案】A 【解析】

试题分析：因为fx5fx，所以fx10fx5fx，fx周期为10，因此

f2016f4f416412，故选A.

考点：1、函数奇偶性；2、函数解析式及单调性、

【点评】(1)函数周期性反映了函数在整个定义域上性质、对函数周期性考查，主要涉及函数周期性判断，利用函数周期性求值、(2)求函数周期方法

【变式演练1】已知定义在R上函数f(x)满足f(x)f(x)，f(3x)f(x)，则f(2019)（ ） A、3 B、0 C、1 D、3 【答案】B 【解析】

【变式演练2】定义在R上函数fx满足fx2fx0,x0,2时，fx31，则f2015x值为（ ）

A.-2 B.0 C.2 D.8 【答案】A 【解析】

试题分析： 由已知可得f(x4)f(x2)f(x)fx周期T4f2015f(3)

f(1)2，故选A.

考点：函数周期性.

【变式演练3】定义在R上偶函数yf(x)满足f(x2)f(x)，且在x[2,0]上为增函数，

73af()，bf()，cf(log18)，则下列不等式成立是（ ）

222A、abc B、bca C、bac D、cab【答案】B 【解析】

试题分析：因为定义在R上偶函数yf(x)在x[2,0]上为增函数，所以在x[0,2]上单调递减，又

1371 f(x4)f(x)，所以bf()f,cf(log18)f3f1，又1，所以bca、

22222考点：1、偶函数性质；2、函数周期性、

二、函数对称性问题

使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：记住常见几种对称结论：

ab对称； 2abc,)对称； 第二类 函数f(x)满足f(xa)f(bx)c时，函数yf(x)图像关于点( 22ba 第三类 函数yf(xa)图像与函数yf(bx)图像关于直线x对称.

2第一类 函数f(x)满足f(xa)f(bx)时，函数yf(x)图像关于直线x例2 、已知定义在R上函数f(x)满足f(x)f(x)，f(3x)f(x)，则f(2019)（ ) A、3 B、0 C、1 D、3 【答案】B 【解析】

（0，0）【易错点晴】函数f(x)满足f(-x)-f(x),则函数关于中心对称，f(3x)f(x)，则函数关于

x2轴对称，常用结论：若在R上函数f(x)满足f(ax)f(ax),f(bx)f(bx)，则函数3f(x)以4|ab|为周期.本题中，利用此结论可得周期为40-要回到本题利用题干条件赋值即可.

例3 已知定义在R上函数fx图象关于点26，进而f(2019)f(3)，f(3)需33,0对称， 且满足fxf43x，又

2f11,f02，则f1f2f3...f2008（ ）

A、669 B、670 C、2008 D、1 【答案】D 【解析】

试题分析：由fxfx3得fxfx3，又f11,f02， 23f(1)f(13)f(2)，f(0)f(3)，fx图象关于点,0对称，所以

4113f1f()f()f(1),f(1)f(2)f(3)0，由fxfx3可得

222f1f2f3...f2008669(f1f2f3)f(1)f(1)f(1)1，故选D.

考点：函数周期性；函数对称性、 例4 已知函数g(x)ax21(xe,e为自然对数底数）与h(x)2lnx图像上存在关于x轴对称e点，则实数a取值范围是（ ） A、[1,112222][2,e2]B、C、D、[e2,) [1,e2]22 ee

【答案】B 【解析】

考点：利用导数研究函数极值；方程有解问题.

【变式演练4】定义在R上奇函数f(x)，对于xR，都有f(33x)f(x)，且满足f(4)2，44f(2)m3，则实数m取值范围是 . m【答案】m1或0m3 【解析】

试题分析：由f(x)f(x)，因此函数f(x)图象关于直线x也是周期函数，且T4即m34343对称，又f(x)是奇函数，因此它433，∵f(4)2，∴f(4)f(4)2，∴f(2)f(232)f(4)，432，解得x1或0x3. m考点：函数奇偶性、周期性.

【高考再现】

1. 【2016高考新课标2理数】已知函数f(x)(xR)满足f(x)2f(x)，若函数y图像交点为(x1,y1),(x2,y2),,(xm,ym),则

x1与yf(x)x(xy)（ ）

iii1m（A）0 （B）m （C）2m （D）4m 【答案】C 【解析】

试题分析：由于fxfx2，不妨设fxx1，与函数y故x1x2y1y22，故选C. 考点： 函数图象性质

【名师点睛】如果函数f(x)，xD，满足xD，恒有f(ax)f(bx)，那么函数图象有对称轴

x111交点为1,2,1,0，xxxab；如果函数f(x)，xD，满足xD，恒有f(ax)f(bx)，那么函数图象有对称2中心.

32. 【2016高考山东理数】已知函数f(x)定义域为R.当x<0时，f(x)x1 ；当1x1 时，

f(x)f(x)；当x（A）−2 【答案】D

111 时，f(x)f(x) .则f(6)= （ ） 222

（C）0

（D）2

（B）−1

考点：1.函数奇偶性与周期性；2.分段函数.

【名师点睛】本题主要考查分段函数概念、函数奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数概念，发现周期函数特征，进行函数值转化.本题能较好考查考生分析问题解决问题能力、基本计算能力等.

x3. 【2016年高考四川理数】已知函数f(x)是定义在R上周期为2奇函数，当0＜x＜1时，f(x)4，则

5f()f(1)= .

2【答案】-2 【解析】

考点：函数奇偶性和周期性.

【名师点睛】本题考查函数奇偶性，周期性，属于基本题，在求值时，只要把f()和f(1)，利用奇偶性与周期性化为(0,1)上函数值即可。

4. 【2016年高考四川理数】在平面直角坐标系中，当P(x，y)不是原点时，定义P“伴随点”为

52P'(yx,)； 2222xyxy'当P是原点时，定义P“伴随点”为它自身，平面曲线C上所有点“伴随点”所构成曲线C定义为曲线C“伴随曲线”.现有下列命题：

①若点A“伴随点”是点A，则点A“伴随点”是点A ②单位圆“伴随曲线”是它自身；

③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C关于y轴对称； ④一条直线“伴随曲线”是一条直线.

其中真命题是_____________（写出所有真命题序列）. 【答案】②③ 【解析】

'''

考点：对新定义理解、函数对称性.

【名师点睛】本题考查新定义问题，属于创新题，符合新高考走向、它考查学生阅读理解能力，接受新思维能力，考查学生分析问题与解决问题能力，新定义概念实质上只是一个载体，解决新问题时，只要通过这个载体把问题转化为我们已经熟悉知识即可、本题新概念“伴随”实质是一个变换，一个坐标变换，只要根据这个变换得出新点坐标，然后判断，问题就得以解决、

xa,1x0,5. 【2016高考江苏卷】设f(x)是定义在R上且周期为2函数，在区间[1,1)上，f(x)2

5x,0x1,其中aR. 若f()f() ，则f(5a)值是 ▲ . 【答案】

5292251232因此f(5a)f(3)f(1)f(1)1

55考点：分段函数，周期性质

【解析】f()f()f()f()a52129212123a， 255【名师点睛】分段函数考查方向注重对应性，即必须明确不同自变量所对应函数解析式是什么.函数周期性质可以将未知区间上自变量转化到已知区间上.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应函数值，尤其是分段函数结合点处函数值. 【反馈练习】

1. 【2016届云南昆明一中高三仿真模拟七数学，理4】设函数yf(x)定义在实数集R上，则函数

yf(ax)与yf(xa)图象（ ）

A、关于直线y0对称 B、关于直线x0对称 C、关于直线ya对称 D、关于直线xa对称 【答案】D 【解析】

2、【 2017届河南夏邑县第一高级中学高三文一轮复习周测二数学试卷】已知函数fx是定义在R内奇函数，且满足fx4fx，当x0,2时，fx2x，则f2015（ ）

2A、-2 B、2 C、-98 D、98 【答案】A 【解析】

试题分析：由fx4fx得fx周期T4f2015f(3)f(1)f(1)2，故选A. 考点：1、函数奇偶性；2、函数周期性.

3. 【2017届河南新乡一中高三9月月考数学，文8】定义在R上偶函数f(x)满足f(x3)f(x)，对

x1,x2[0,3]且x1x2，都有

f(x1)f(x2)0，则有（ ）

x1x2A、f(49)f(64)f(81) B、f(49)f(81)f(64) C、f(64)f(49)f(81) D、f(64)f(81)f(49) 【答案】A 【解析】

试题分析：因为f(x3)f(x)，所以f(x6)f(x3)fx，及fx是周期为6函数，结合再由x1,x2[0,3]f(x)是偶函数可得，f(49)f1,f(64)f2f2,f(81)f3f3，且x1x2，

f(x1)f(x2)0得f(x)在[0,3]上递增，因此f(1)f(2)f(3)，即

x1x2f(49)f(64)f(81)，故选A、

考点：1、函数周期性；2、奇偶性与单调性综合、

4. 【2017届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷，文12】已知定义在R上函数f(x)满足：yf(x1)x图象关于(1,0)点对称，且当x0时恒有f(x)f(x)，当x[0,2)时，f(x)e1，则

3212f(2016)f(2015)（ ）

A、1e B、e1 C、1e D、e1 【答案】A 【解析】

试题分析：yf(x1)图象关于(1,0)点对称，则fx关于原点对称. 当x0时恒有

31f(x)f(x)即函数fx周期为2.所以f(2016)f(2015)f0f11e.

22考点：函数单调性、周期性与奇偶性，分段函数。

5. 【2016-2017学年贵州遵义四中高一上月考一数学试卷，理11】已知函数f(x)ax(1x2)与

2g(x)x2图象上存在关于x轴对称点，则实数a取值范围是（ ）

A、[,) B、[,0] C、[2,0] D、[2,4] 【答案】C 【解析】

9494考点：构造函数法求方程解及参数范围.

6. 【2017届河北武邑中学高三上周考8.14数学试卷，理9】若对正常数m和任意实数x，等式

f(xm)1f(x)成立，则下列说法正确是（ ）

1f(x)A、函数f(x)是周期函数，最小正周期为2m B、函数f(x)是奇函数，但不是周期函数 C、函数f(x)是周期函数，最小正周期为4m D、函数f(x)是偶函数，但不是周期函数 【答案】C 【解析】

考点：函数周期性、

7. 【2017届四川成都七中高三10月段测数学试卷，文10】 函数f(x)定义域为R，以下命题正确是（ ） ①同一坐标系中，函数yf(x1)与函数yf(1x)图象关于直线x1对称；

②函数f(x)图象既关于点(,0)成中心对称，对于任意x，又有f(x)f(x)，则f(x)图象关于直线x34323对称； 2③函数f(x)对于任意x，满足关系式f(x2)f(x4)，则函数yf(x3)是奇函数. A、①② B、①③ C、②③ D、①②③ 【答案】D 【解析】

试题分析：①正确，因为函数yfx与yfx关于y轴对称，而yfx1和yf1x都是

3yfx与yfx向右平移1个单位得到，所以关于直线x1对称；②正确，因为函数关于点-，04成中心对称，所以f3333xfx，而f(x)f(x)，所以fxfx，即

22223fxfx，又根据f(x)f(x)，可得函数周期T3，又有fxfx，所以

23333fxfxfx，所以函数关于直线x对称；③正确，因为

2222x2x43，所以函数关于点

3,0对称，而函数yfx3是函数yfx向左平移3fx2个单位得到，所以函数yfx3是奇函数.故3个命题都正确，故选D. 考点：抽象函数性质

2x24x1(x0)8. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文12】函数f(x) 图像上2 x(x0)e关于原点对称点有（ ）对

A. 0 B. 2 C. 3 D. 无数个 【答案】B【解析】

[来源:学科 2x24x1(x0)2试题分析：作出函数f(x)图象如图所示，再作出y2x4x1关于原点对称图2 x(x0)e象，记为曲线C.容易发现与曲线C有且只有两个不同交点，所以满足条件对称点有两对，即图中A,B就是符合题意点，故选B.

考点：函数图象与性质及应用、

9. 【2015-2016学年东北育才学校高二下段考二试数学，文7】定义在实数集R上函数fx满足

fxfx20，f(4x)f(x).现有以下三种叙述：①8是函数fx一个周期；②fx图象关

于直线x2对称；③fx是偶函数.其中正确是（ ） A、②③ B. ①② C、①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】

考点：函数周期性、对称性和奇偶性。