用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法

用一元二次方程解应用题常见的类型及解题方法

甘肃省平凉市崆峒区白庙回族乡白庙初级中学 白员吉

列方程解应用题是教学的重点，也是难点，本文就一元二次方程应用题常见的类型及解题方法，归纳提供给大家参考。

1、利润问题

此类问题常见的等量关系是：利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售数量，利润

利润率=进价 。

例：某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果这种衬衫的售价每降低1元，那么衬衫平均每天多售出2件，商场若要平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

分析：假设每件衬衫应降价2

x元，现每件盈利为（40－

x）元，现每天销售衬衫为（20＋

x）件，根据等量关系：

每件衬衫的利润×销售衬衫数量=销售利润，可列出方程。

解：设每件衬衫应降价

x元，根据题意，得

（40－

x）（20＋2

x）=1200

解得

x1=10，x2=20，因尽快减少库存，∴取x=20 ∴每件应降价20元。答：略

2、利息问题

利息此类问题的等量关系是：利率=本金，利息=本金×利率×期数，本息和=本金＋利息=本金×

（1＋利率）。

例：某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率（本题不计利息税）

分析：假设这种存款方式的年利率为支取1000元后，还剩[2000（1＋

x，2000元存一年后本息和为2000（1＋

x）元，

x）－1000]元，将所剩[2000（1＋

x）－1000]元再存入银

行一年，到期后本息共1320元，根据本息和=本金×（1＋利率）等量关系可列出方程。

解：设这种存款方式的年利率为

x。

根据题意得，[2000（1＋

x）－1000]（1＋

x）=1320

∴(x1)－0.5(

2x＋1)－0.06=0

∴（

x＋1＋0.6）（

x＋1－1.1）=0

∴

x1=－1.6（舍去）x2=0.1=10%

，

答：略

3、与几何图形的面积问题

① 几何图形的面积问题

面积公式是此类问题的等量关系。

例：如图1—1所示，某小区规划在一个长为40m，宽为26m的矩矩形场地ABCD上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若使每一块草坪的面积都是144㎡，则道路的宽是多少米?

分析：（1）设路的宽为

xm，那么道路所在的面积（40

x＋26

x×2－2

x2）㎡，于是六

块草坪的面积为[40×26－（40×2－2

x＋26

x×2－2

x2）]㎡，根据题意，得40×26－（40

x＋26

xx）=144×6

xm，

2（2）将图1—1所示中的三条道路分别向上和向左、向右平移图1—2的位置，若设宽为则草坪的总面积为（40－2

x）（26－

x）㎡所列方程为（40－2

x）（26－

x）=144×6

解法1：设道路的宽为

xm，则根据题意，得40×26－（40

x＋26

x×2－2x）=144×

2

6整理，得x－46

2x＋88=0，解得

x1=44（舍去）x，2=2

x）（26－

解法2：设道路的宽为

xm，则根据题意，得（40－2

x）=144×6

解得，

x1=44（舍去）x，2=2

答：略

② 勾股定理问题：

勾股定理是此类问题的等量关系。

例：如图2—1 两只蚂蚁从A点出发，分别沿正北，正东方向爬，甲的速度为每分钟6cm，乙的速度为每分钟8cm，几分钟后，两只蚂蚁相距20cm?

分析：假设t分钟后相距20cm，那么甲所爬的距离为6tcm，乙所爬的距离为8tcm，甲乙所爬的距离正好是两个直角边，相距20cm正好是两直角边所对的斜边，此题可用勾股定理作等量关系列方程。

解：设t分钟后，相距20cm，由题意得：

(6t)2＋(8t)2﹦20

2整理，得 100t﹦400，t1﹦2，t2﹦－2（不合题意，舍去）

2答：略

4、平均增长（降低）率问题

此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到的新的数据。常见的等量关系是：a(1x)=b，其中b为增长（或降低）后的数量，a为增长（或降低）前的基数，（降低率）。

2x为增长率

例：某印刷厂元月份印刷课本30万册，第一季度共印了150万册，问2、3月份平均每月的增长率是多少？

分析：本题的关键是应用形如a(1x)=b形式的问题，但要注意不能盲目套公式，此题没有直接给出增长后的数据，而是直接给出了第一季度印刷的总数量，所以使用的等量关系是：元月份印刷数量30万册＋2月份印刷数量30(1x)＋3月份印刷数量30(1x)=150万册

22解：设2、3月份平均增长率为

x，则

30＋30(1x)＋30(1x)=150

2解得，

x1=3.56（舍去）x2=0.56=56%

答：略

5、动点问题

此类问题是一般几何题的延伸，要学会用运动的观点看问题，根据条件设出未知数，应想办法把图中变化的线段用未知数表示出来，再根据题中给出的等量关系（可以是图形的面积、勾股定理等）列出方程。

例：如图3—1所示，在△ABC中，∠B=90°，点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A，B同时出发，经过几秒钟，使△PQB的面积等于8cm2？

分析：设经过

xs，点P在AB上移动后所剩的距离PB为（6－

x）cm

点Q在BC上移动的距离BQ为2

xcm

因此，可根据三角形面积公式列方程来求解

解：设经过

xs，点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ

面积为8cm

2根据题意，得 （6－

x）×2

x=8

x－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4

2经2s，点P在离A点1×2=2（cm）处；点Q在离B点2×2=4（cm）处。经4s点P在离A点1×4=4（cm）处，点Q在离B点2×4=8（cm）处，所以它们都符合要求。

答：略

6、数字问题

根据数字问题列方程，只要根据题目中给出的相等关系列出方程即可，但要注意两位数或三位数的表示方式。

两位数=（十位数字）×10＋（个位数字）

三位数=（百位数字）×100＋（十位数字）×10＋（个位数字）

例：一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积是736，求原来的两位数。

分析：题中等量关系比较明显，所以两位数与原来的两位数的乘积是736,正确列出方程的关键是熟练掌握用字母表示两位数的方法。两位数=（十位数字）×10＋（个位数字）。

解：设原来两位数的十位数字为

x，则个位数字为（5－

x）。

根据题意，得[10

x＋（5－

x）][10（5－

x）＋

x]=736

整理，得x－5

2x＋6=0，

x1=2，x2=3。

当

xx=2时，5－

xx=3符合题意，原来的两位数是23；

当=3时，5－=2符合题意，原来的两位数是32。

答：原来的两位数是23或32。

注意：用一元二次方程解决实际问题时，一定要注意检验所得的解是否符合实际意义，不合题意的解一定要舍去。