一类三次多项式系统的定性分析

第２６卷第１期　２０１３年２月　四川理工学院学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｓｉｃｈｕａｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ＆Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．２６　Ｎｏ．１　Ｆｅｂ．２０１３　文章编号：１６７３－１５４９（２０１３）０１－００７１－０５　ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３－１５４９．２０１３．０１．０１７　一类三次多项式系统的定性分析　蒋自国　（阿坝师范高等专科学校数学与财经系，四川汶川６２３００２）　摘要：研究一类具有二实不变直线的三次多项式微分系统　＝Ｙ（１一　），ｙ　＝一　＋　＋ｎｘ　＋ｍｘｙ　＋　＋ｂｘｙ　，分析了奇点的性态，并运用形式级数法对原点Ｏ进行了中心一焦点判定。利用旋转向量场　的理论和Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ判据得出了系统不存在极限环的充分条件，利用Ｈｏｐｆ分支问题的Ｌｉａｐｕｎｏｖ第二方法　得到了该系统极限环存在性和稳定性的若干充分条件。　关键词：多项式系统；奇点；极限环；存在性；唯一性　中图分类号：Ｏ１７５．１２　文献标志码：Ａ　引言　对平面二次系统的定性分析已经形成了一些成熟　东　完整地讨论了一类三次系统　ｘ：ｙ，Ｙ＝一　＋　＋ｒｂｘ　＋ｍｘｙ＋ｚｙ２＋６戈），　２００９年，郑燕花和谢向东　讨论了该三次系统的具有　二虚不变直线的一类相伴系统　ｄｘ　扒　的方法，并且有着广泛的应用¨引。随着系统次数的增　加，对系统的定性分析的困难程度也会随之增大。近年　来，对于平面三次系统的研究越来越多　引。但仍有许　多类型的三次系统有待深入讨论。２００４年，谢向东和张　剑峰ｎ们引入了相伴系统的概念。对于多项式微分系统　ｘ＝Ｐ（　，Ｙ），　＝Ｑ（　，Ｙ）　＝【　＝一　＋　＋　２＋　＋　＋６　（３）　其中，ｂ，ｌ，ｍ，ｎ均为实常数。对系统（３）进行了定性分　析，给出了该系统极限环不存在性、唯一性的充分条件。　本文考虑与其相对应的具有二实不变直线的另一　类相伴系统　（１）　（２）　Ｐ（　，Ｙ），　＝Ｑ（　，Ｙ）Ｒ（Ｙ）　其中Ｐ，Ｑ，Ｒ为多项式，ｎ（ｙ）＝０的根　＝Ｙｏ是系统（２）　的不变直线，系统（２）称为系统（１）的相伴系统，亦称系　统（１）、（２）为一对相伴系统。而部分三次系统可以看　成是二次或三次系统的相伴系统。２００５年，谢向东和陈　凤德　讨论了两类三次系统　』警　一　【鲁＝一　＋　＋ｎＸ２＋　，，　，，　㈩　其中，ｂ，ｌ，ｍ，ｎ均为实常数。与系统（３）比较，系统（４）　中的Ｐ（　，Ｙ）变为Ｙ（１一　），系统（４）的奇点情况将比系　统（３）复杂。同时，在讨论系统（４）的极限环的存在性　，　＝　（１＋Ｙ　）　ｘ＝一Ｙ＋融＋Ｉｘ　＋ｍｘｙ＋ｎｙ　，　＝　（１一ｙ２）　互＝一Ｙ＋舐＋Ｉｘ　＋ｍｘｙ＋　它们是二次系统Ｉ类方程　＝一Ｙ十舐十ｌｘ　十ｍｘｙ＋ｎｙ　，　＝　时，由于在文献［１４］中１＋　恒不为零，而在系统（４）中　１～　可能为零，则文献［１４］中的方法将失效。本文在　讨论极限环存在性的时候，利用无切直线，将包含原点　的分别具有二实、虚不变直线的相伴系统。同年，谢向　收稿日期：２０１２—１２－０３　基金项目：四川省教育厅自然科学基金项目（１２ＺＢ１６８）；阿坝师专重点科研课题项目（ＡＳＡ１１－２７，ＡＳＡ１２－２２）　作者简介：蒋自国（１９７４一），男，四川巴中人，教授，主要从事微分方程定性和稳定性方面的研究，（Ｅ—ｍａｉｌ）ｊｚｇｎｌ＠１６３．１３ｏｍ　７２　四川理工学院学报（自然科学版）　２０１３年２月　的极限环的存在区域缩小为ｆ　Ｉ＜１，从而避免了零作为　分母的情况发生。同时，利用Ｈｏｐｆ分支问题的Ｌｉａｐｕｎｏｖ　第二方法得到了该系统极限环存在性和稳定性的若干　充分条件。　作变换（　，ｔ）一（一　，一ｔ）可改变ｎ的符号，但不改　变ｍ的符号，又令（ｙ，ｔ）一（一ｙ，一ｔ），可改变ｍ的符号，　但不改变ｎ的符号，所以不妨假设ｎ１＞Ｏ，ｍ≤０。　ｌ奇点的性态　系统（４）的奇点即为方程组　ｆ　（　一　）＝ｏ　（５）　【一　＋６＇，＋　＋ｍ　＋ｚ　＋ｂ　ｙ　＝０　的解。令△一１＝（６一ｔＴ／，）　＋４（ｂ一２）（ｔｌ，＋１），△ｌ＝　（８＋，ｎ）　＋４（６＋Ｚ）（１—１７，），当ｂ≠Ｚ且△一　≥０时，令　ｙ。＝二　ｙ－　—　，　＝，　二＿—　．　一；ｊ　；当６≠一ｚ　且△。≥０时，令），，＝　，　：　；当ｍ一　≠０时，令ｙ５＝　；当　ｍ＋８≠０时，令　＝　，于是，当ｎ≠０时，有　ｍ十０　（ｉ）当Ｉ　ｂＩ≠…时，若△一。≥０，△　≥０，则方程组　（５）有６组解：（０，０），（１／ｎ，０），（一１，Ｙ。），（一１，　），　（１，），　），（１，　）；若△一。＜０，△。≥０，则方程组（５）有４　组解：（０，０），（１／ｎ，０），（１，ｙ　），（１，Ｙ４）；若△一。≥０，　△　＜０，则方程组（５）有４组解：（０，０），（１／ｎ，０），（一１，　ｙ。），（一１，，，　）；若Ａ一。＜０，△　＜０，则方程组（５）有２组　解：（０，０），（１／ｎ，０）。　（ｉｉ）当ｂ—Ｚ＝０，６＋ｚ≠０时，若ｒｌｚ一６≠０，△　ｌ≥０，　则方程组（５）有５组解：（０，０），（１／ｌｚ，０），（１，Ｙ　），（１，　Ｙ４），（一１，），，）；若ｍ一６≠０，Ａ。＜０，则方程组（５）有３　组解：（０，０），（１／ｎ，０），（一１，），　）；若ｍ一　＝０，则直线　＝一１上的所有点都是方程组（５）的解。　（ｉｉｉ）当６一ｚ≠０，ｂ＋ｚ＝０时，若ｍ一艿≠０，△一　≥０，　则方程组（５）有５组解：（０，０），（１／ｎ，０），（一１，Ｙ　），　（一１，，，：），（１，ｙ６）；若ｍ一６≠０，△　＜０，则方程组（５）有　３组解：（０，０），（１／ｎ，０），（１，Ｙ６）；若ｍ一　＝０，则直线　＝１上的所有点都是方程组（５）的解。　（ｉｖ）当６一ｚ＝０，ｂ＋ｚ＝０时，若ｍ一占≠０，则方程组　（５）有４组解：（０，０），（１／ｎ，０），（一１，），　），（１，ｙ　）；若　ｍ一６＝０，则方程组（５）有２组解：（０，０），（１／ｎ，０）。　系统（４）的雅可比矩阵为：　＝（＼一　一＋一　１　＋　２ｎｘ　ｍ＋　ｙ　＋６　…　－６＋，船＋　－２１，　２１ｙ＋２ｂｘ　＋　ｙｌ　则　．，　。＝．，ｃ。，。　＝（　）　０　１一　１　ｎ　Ｊ　Ｉ　，０）＝　１　６＋旦　ｎ　．，Ｊ　＝Ｊ（一１，Ｙ　）＝　（一…　２＋Ｙｌ　㈠　０　，…，２　．，Ｉ（＿Ａ＝（，，Ｊ１＿１　Ｙ　　）＝　２　㈠　０＋１　４　‘，ｆ　＝．，（（一１）‘，Ｙ　）＝　（＼一　一　一１　　＋２　ｎ　ｍ：　＋‘＋１２ｙ　ｂｙ　‘＋　＋ｙ　一　０（一　１　）　ｍ）／　，　＝５，６　首先讨论当６≠０时的情况，根据上面的分析以及　奇点类型判定的经典理论，有下面两个定理：　定理１　当８≠０，ｎ＝０时，系统（４）可能的有限处　实奇点为：０（０，０），Ａ　（一１，Ｙ。），Ａ　（一１，ｙ２），Ａ，（１，　Ｙ，），Ａ　（１，ｙ４），Ａ　（一１，Ｙ　），Ａ　（１，ｙ６）。当以上奇点存　在时：　（１）若６＜一２时，０为稳定的结点；若一２＜８＜０　时，０是稳定的粗焦点；若０＜艿＜２时，０为不稳定的粗　焦点，若　＞２时，０为不稳定的结点。　（２）若ｂ—ｌ＞０时，Ａ。，Ａ２为鞍点；若６一ｌ＜０，　８一ｍ＞０时，Ａ　为鞍点，Ａ　为不稳定的结点；若ｂ—ｌ＜　０，６一ｍ＜０时，Ａ。为不稳定的结点，Ａ　为鞍点。　（３）若ｂ＋ｌ＞０时，Ａ３，Ａ　为鞍点；若ｂ＋ｌ＜０，６＋　ｍ＞０时，Ａ　为不稳定的结点，Ａ　为鞍点；若６＋Ｚ＜０，　８一ｍ＜０时，Ａ　为鞍点，Ａ　为不稳定的结点。　（４）若ｍ一６＜一√　或０＜ｍ一８＜，／ｆ－时，　为不稳　定的结点；若一√　＜ｍ一８＜０或ｍ一６＞√　时，Ａ　为稳　定的结点。　（５）Ａ　为鞍点。　定理２当６≠Ｄ，ｎ≠Ｄ时，系统（４）可能的有限处实　奇点为：ｏ（ｏ，０），Ｎ（１／ｎ，０），Ａ。（一１，Ｙ　），Ａ　（一１，Ｙ２），　第２６卷第１期　蒋自国：一类三次多项式系统的定性分析　７３　Ａ，（１，Ｙ３），Ａ　（１，Ｙ４），Ａ　（一１，Ｙｓ），Ａ　（１，Ｙ　）。当以上奇　即　点存　：　（　，ｙ）＝一　（２ｚ＋ｎ）　３—２ｚ　＋　ｍ　（），，，１　０　Ａ　Ａ　　的　的性态同定理性太同．皇柙　１　。　ｊ　（２）若０＜ｎ＜１时，Ａ　，Ａ　，Ａ　的性态同定理１，Ｎ为　令（６）式右端的４次项为０，有　焦点或结点。　８一　：一ｖ　ａ％　２（１＋２ｎ１）　。　＋２ｍ（ｎ一２１）Ｊ　、　　，Ｊ　，　＋　（３）若ｎ＞１时，Ｎ为鞍点，Ａ　为不稳定的结点，若　ｂ＋ｚ＞０，６＋ｍ＞０，则Ａ３为鞍点，Ａ　为不稳定的结点；　２（ｂ一２ｌ　＋ｍ　）　ｙ　＋２ｌｍｙ＂　若ｂ＋Ｚ＞Ｏ，６＋ｍ＜０或ｂ＋Ｚ＜０，则Ａ３为稳定的结点，　式中取极坐标　＝ＴｃｏｓＯ，Ｙ＝ｒｓｉｎＯ，并消去厂４后化简得　Ａ　为鞍点。　ｄ：一ｔ　２（１＋２ｎ１）ｃｏｓ３０ｓｉ　＋　（４）若ｍ一６＜一，／２（１＋／７，）或０＜ｍ一６＜　２ｍ（ｎ～２１）ＣＯＳ　Ｏｓｉｎ　０＋　ｉ＿．　时，Ａ　为不稳定的结点；当一　『＿　２（ｂ一２ｌ。＋ｍ。）ｃｏｓＯｓｉｎ　０＋　＜ｍ一艿＜０或ｍ一　＞　（１＋　）时，Ａ　为稳定的结　２１ｍｓｉｎ　０　点。　因为　其次，当６＝０时，０（０，０）是系统（４）所对应线性系　ｆ２　＿ｄＦ４（ｃｏｓ—０，ｓｉｎ０）ｄ　＝　统的中心，需要对奇点进行中心一焦点判定，采用形式　Ｊｏ　ｄｔ　２　ｍ（ｎ＋ｚ）仃　～　级数法来研究当６＝０时奇点０（０，０）的性态。　改取　满足方程　定理３当艿＝０时，有　ｄＦ４（ｃｏ　ｓ　０，ｓｉｎ０）——————～＝一２（１＋２ｎｚ）ｃ。ｓ　ｓｉｎ　＋　（１）若ｍ（ｎ＋Ｚ）＞０时，０（０，０）为系统（４）的一阶　不稳定细焦点。　２ｍ（／７，一２１）ＣＯＳ　Ｏｓｉｎ　０＋　（２）若ｍ（　＋ｚ）＜０时，０（０，０）为系统（４）的一阶　２（ｂ一２ｌ　＋ｍ　）ｃｏｓ０ｓｉｎ　０＋　稳定细焦点。　２／ｍｓｉｎ　０一Ｃ４　（３）若ｍ＝０或／７，：　０时，０（０，０）为系统（４）的中　其中，Ｃ４＝　１　ｍ（ｎ＋ｆ）。设４５（　，ｙ）：Ｘ２＋Ｙ　＋Ｆ３＋　，　心。　、证明当６＝０时，令Ｆ（　，Ｙ）＝　＋Ｙ　＋　＋　＋　则有　ｆｄｔ　Ｉ　（４　：ｃ４ｒ４＋。（ｒ４），于是，由基于Ｌｉ印　。‘　　思想　…，其中　是　与Ｙ的ｍ次齐次多项式（ｍ＝３，４，…），　的形式级数法可知，当ｍ（ｎ＋ｚ）＞０时，０为一阶不稳定　则有　细焦点；当ｍ（／７，＋ｚ）＜０时，０为一阶稳定细焦点。当　ｄＦ　２ＯＦ３ｘ＋　＋鲁＋．．・（ｙ－ｘ２ｙ）＋　ｍ＝ｏｕ，ｄ，有Ｐ（　，一Ｙ）＝一Ｐ（　，Ｙ），Ｑ（　，一Ｙ）＝Ｑ（　，　），则０为系统（２）的中心。当ｚ＝　＝０时，有ｐ（一　，　（　＋　＋　＋．．・）　＋ｔｌｘ２＋ｍｘｙ＋驴＋　）　Ｙ）：Ｐ（　，Ｙ），Ｑ（一　，Ｙ）＝一Ｑ（　，Ｙ），则０为系统（２）的　中心。　（６）　令（６）式右端的３次项为０，有　２极限环的存在性　，，　一　等　。＋ｍｘｙ＋ｌｙ２　引理１系统（４）的包围奇点０（０，０）的闭轨必在　取极坐标　：ｒＣＯＳＯ，　＝ｒｓｉｎ０，并消去，３后可得　区域肼＜１中。　ｄＦ——————　————一３（ｃｏｓ０，ｓｉｎ０）ｘ　Ｉ　＝　———＿＿——一＝２ｎｃＯＳ　Ｕ　ｎＣ　ｓ・ｍ０　＋　＋　证明对系统（４）而言，当ｎ≠０时，有Ｔｄｍ　ｌ：１—０　２ｍＣＯＳ０ｓｉｎ　０＋２／ｓｉｎ　０　（、　，１一　１，于是，ｚ，　直线１一ｎｘ＝０被系统（４）的奇点Ｎ　从而，　（１／ｎ，０）所分割成的两段是无切的，故系统（４）的包围　Ｆ３（ｃｏｓＯ，ｓｉｎＯ）＝一÷（２ｚ＋ｎ）ＣＯＳ。０—　奇点ｏ（ｏ，０）的闭轨不能与直线１一础＝０相交，所以，　包围点ｏ（ｏ，０）的闭轨若存在，必在区域　＜１中。当　２ｌｃｏｓＯｓｉｎ　０＋　ｍｓｉｎ　０　ｎ＝０时结论自然成立。　７４　四川理工学院学报（自然科学版）　２０１３年２月　引理２系统（４）的包围奇点０（０，０）的闭轨必在　区域ｌ　ｌ＜１中。　证明对系统（４）而言，易知直线　＝±１是系统　（４）的两条不变直线，于是，系统（４）的包围奇点０（０，　０）的闭轨不能与直线　＝－Ｉ－１相交，所以系统（４）的包围　奇点ｏ（ｏ，０）的闭轨必在区域Ｉ　ｌ＜１中。　注由引理１、２可知，系统（４）在０外围的极限环　必在区域Ｄ＝｛（　，Ｙ）Ｉ　＜１，ｌ∞ｌ＜１中。　为了后面讨论问题的方便，采用文［１］的方法将系　统（４）化为Ｌｉ６ｎａｒｄ方程　』告　ｙ—　（　）　（７）　【　ｄｔ＝＿ｇ（　）　其中　）　）＝－（１一　）孚（　）　（　）＝　＿（１　（　）　（ｎｘ　定理４当下列条件之一成立时，系统（４）在Ｏ外　围无极限环。　（１）ｍ：０。　（２）ｍ＜０且６≤ｍ。　（３）ｍ＜０且８≥一ｍ。　证明（１）当８＝０时，由定理３可知，奇点０（０，０）　为系统（４）　；。的中心，从而系统（４）　：。无极限环。当艿　≠０时，因为包围奇点０的闭轨只能在区域Ｄ中，而在　区域Ｄ内有，当６在实数域Ｒ上变动时，系统（４）　：。的　奇点不变，且对任意固定的点Ｐ（　，Ｙ）和任意实数６　＜６　有　ｌ　ｙ（１一　）一　＋　＋ｎ　。＋矿＋６　ｙ　ｌ　１　ｙ（１一　）　一　＋８１Ｙ＋ｎ　＋ｌｙ　＋６　ｙ　ｌ　ｙ２（８　一　）（１一　。）≤０　且等号不在系统（４）　：。的任意整条轨线上成立。则系　统（４）　：。关于８构成广义旋转向量场　，又　＝０时，０　为系统（４）　：。的中心，所以，由旋转向量场的性质可知，　当８＃０时，系统（４）在０外围无极限环。于是，当ｍ＝０　时，系统（４）在Ｏ外围无极限环。　（２）当ｍ＜０时，由引理２可知，系统（４）的包含Ｏ　的极限环必在区域　＜１中，从而１一　＞０。当６≤ｍ　时，　≥１，于是，ｍ　＋６＝ｍ（　十鱼）＜０，ｍ　ｍ　从而Ｆ　（　）　Ｉ厂（　）＞０。根据Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ判据（文献［１］定理１．１０），　有　≤ｍ时，系统（４）在０外围无极限环。同理可证，当　条件（３）成立时，系统（４）在０外围无极限环。　以下的讨论均假设ｍ＜Ｏ。　定理５下列条件之一成立时，系统（４）在０外围　至少存在一个极限环，且　＜０时所产生的极限环不稳　定，占＞０时所产成的极限环稳定。　（１）ｎ＋ｆ＜０，一１＜＜６＜０。　（２）ｎ＋Ｚ＞０，０＜６＜＜１。　证明在定理５条件（１）下，由定理１、３可知，系统　（４）Ｉ　：。以０（０，０）为不稳定细焦点，而当一１＜＜占＜０　时，系统（４）以０（０，０）为稳定粗焦点，由Ｈｏｐｆ分支问　题的Ｌｉａｐｕｎｏｖ第二方法（文献［１６］第８章定理１．１）可　知在此两种参数条件下系统（４）在点０（０，０）外围至少　产生一个不稳定的极限环。　在定理的条件（２）下，由定理１、３可知，系统（４）　　１以０（０，０）为稳定细焦点，而当０＜６《１时，系统　（４）以０（０，０）为不稳定粗焦点，由Ｈｏｐｆ分支问题的　Ｌｉａｐｕｎｏｖ第二方法（见文献［１６］第８章定理１．１）可知在　此两种参数条件下系统（４）在点０（０，０）外围至少产生　一个稳定的极限环。　参考文献：　［１］叶彦谦．极限环论［Ｍ］．上海：上海科学技术出版社，　１９８４．　［２］叶彦谦．多项式微分系统定性理论［Ｍ］．上海：上海科　学技术出版社，１９９５．　［３］Ｄｅｖｌｉｎ　Ｊ，Ｌｌｏｙｄ　Ｎ　Ｇ，Ｐｅａｍｏｎ　Ｊ　Ｍ．Ｃｕｂｉｃ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ａｎｄ　ａｂｅｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｊ］．Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，１９９８，１４７：４３５—　４５４．　［４］刘一戎，陈海波．奇点量公式的机器推导与一类三　次系统的前１Ｏ个鞍点量［Ｊ］．应用数学学报２００２，２５　ｆ２）：２９５－３０２．　［５】韩茂安．一类三次系统极限环的个数与分布［Ｊ】．数　学年刊，２００２＇２３Ａ（２）：１４３－１５２．　［６】尚德生．一类三次系统的大同宿轨分支［Ｊ］．数学进　展，２００９’３８（６）：７５５＿７６Ｏ．　［７】杨宇俊，张剑峰．一类三次系统的极限环与分支问　题［Ｊ】．高校应用数学学报＇２００６’２１（４）：４０５－４ｌ２．　［８］Ｚｈａｎｇ　Ｗｅｉｎｉａｎ，Ｈｏｕ　Ｘｉａｏｒｏｎｇ，ＺｅＩ１ｇ　Ｚｈｅｎｂｉｎｇ．Ｗｅａｋ　ｃｅｎ－　ｔｅｒｓ　ａｎｄ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｐｅｒｉｏｄｓ　ｉｎ　ｒｅｖｅｒｓｉｂｌｅ　ｃｕｂｉｃ　第２６卷第１期　蒋自国：一类三次多项式系统的定性分析　５３８－５４５．　７５　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ　ａｎｄ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｗｉｈ　Ａｐｐｌｔｉｃａ－　ｔｉｏｎｓ２０００，４０：７７１－７８２．　［１３】谢向东．一类Ｅ　１－Ｉ３系统极限环的唯一性［Ｊ】．高校　［９】桑波，朱思明．一类可逆三次系统的等时中心［Ｊ］．系　统科学与数学２００８，２８（２）：１２９．１３５．　应用数学学报Ａ辑，２００４，１９（１）：２３－３０．　【ｌ４］郑燕花，谢向东．一类具有二虚不变直线的三次系　统的极限环［Ｊ］．高校应用数学学报，２００９，２４（１）：４７－　５２．　［１０］谢向东，张剑峰．平面多项式系统及相伴系统［Ｊ］．数　学研究，２００４，３７ｆ２）：１６１－１６６．　［１１］谢向东，陈凤德．一类三次系统的极限环个数与奇　［１５］张芷芬，丁同仁．微分方程定性理论［Ｍ］．北京：科学　出版社．１９８５．　点分支［Ｊ１．系统科学与数学，２００５’２５（４）：４１４４２２．　【１２】谢向东，陈凤德．一类具有二虚不变直线的三次系　统的极限环与分支［Ｊ］－数学物理学报，２００５，２５Ａ（４）：　［１６］张锦炎，冯贝叶．常微分方程几何理论与分支问题　［Ｍ］．北京：北京大学出￣２，ｏｏｏ，　Ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　ａ　Ｃｌａｓｓ　ｏｆ　Ｃｕｂｉｃ　Ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｓｙｓｔｅｍ　ＪＩＡＮＧ　Ｚｉ—－ｇｕｏ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃ，ＡＢａ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｗｅｎｃｈｕａｎ　６２３０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｃｕｂｉｃ　ｐｏｌｙｎｏｍｉｌａ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉｔｈ　ｔｗｏ　ｒｅａｌ　ｉｎｖａｒｉａｎｔ　ｌｉｎｅ　＋ｍｘｙ＋　＋ｂｘｙ２　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．ｙ（１一　），Ｙ　＝一　＋　＋　Ｔｈｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｐｏｉｎｔ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ　ａｎｄ　ｃｅｎｔｅｒ－ｆｏｃｕｓ　ｔｏ　ｃｒｉｔｉｃａｌ　ｐｏｉｎｔ　０　ｉｓ　ｊｕｄｇｅｄ　ｂｙ　ｆｏｒｍ　ｓｅｒｉｅｓ’ｍｅｔｈｏｄ．Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ａ　ｒｏｔａｔｉｎｇ　ｖｅｃｔｏｒ　ｆｉｅｌｄ　ａｎｄ　Ｂｅｎｄｉｘｓｏｎ’ｓ　ｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｎｏ—ｅｘｉｓｔ—　ｅｎｃｅ　ｏｆ　ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅｓ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｓｅｃｏｎｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｌｉａｐｕｎｏｖ　ｆｏｒ　Ｈｏｐｆ　ｂｉｆｕｒｃａｔｉｏｎ　ｐｒｏｂｌｅｍ，ｓｏｍｅ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉ－　ｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌ　ｓｙｓｔｅｍ；ｓｉｎｇｕｌａｒ　ｐｏｉｎｔ；ｌｉｍｉｔ　ｃｙｃｌｅ；ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ