陕西省西安市中考数学一模试卷
一、选择题
1．下列各数中，最小的数是（ ） A．﹣2 B．﹣0.1
C．0
D．|﹣1|
2．图中的几何体是由7个大小相同的小正方体组成的，该几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a3﹣a2=a C．a3•a2=a6 D．a3÷a2=a
4．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示： 用电量（度） 120 140 16
0
户数
2
3
6
7
2
180 200
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ） A．180，160
B．160，180
C．160，160
D．180，180
5．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E．若∠1=68°，则∠2=（ ）
A．112° B．124° C．128° D．140°
6．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ） A．平行四边形 B．矩形
C．菱形
D．正方形
7．如图，在平面直角坐标系中，有一条通过点（﹣3，﹣2）的直线L，若四点（﹣2，a）、（0，b）、（c，0）、（d，﹣1）均在直线L上，则下列数值的判断哪个是正确的（ ）
////
////
A．a=3 B．b＞﹣2 C．c＜﹣3 D．d=2
8．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（ ）
A．h2=2h1 B．h2=1.5h1 C．h2=h1 9．如图，在半径为OP的长为（ ）
D．h2=h1
的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则
A．1 B． C．2 D．2
10．B两点，二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）
A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2 C．△ABC是等腰直角三角形
二、填空题
11．分解因式：mn2+6mn+9m= ．
14．如图，在直角坐标系中，直线y=6﹣x与y=（x＞0）的图象相交于点A，B，设点A的坐标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长分别为 、 ．
D．当x＞0时，y随x增大而增大
////
////
15．如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是 ．
请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=120°，则∠AOE= ．
13．用科学计算器计算：12×tan13°= （结果精确到0.01）．
三、解答题
16．计算：（）﹣2﹣（π﹣17．先化简，再求值：
）0+|
﹣2|+4sin60°．
，其中
．
18．如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
////
////
19．为了了解青少年形体情况，现随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况．我们对测评数据作了适当处理（如果一个学生有一种以上不良姿势，以他最突出的一种作
记载），并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：
（1）请将两幅统计图补充完整；
（2）请问这次被抽查形体测评的学生一共是多少人？
（3）如果全市有5万名初中生，那么全市初中生中，坐姿和站姿不良的学生有多少人？ 20．已知：如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F． 求证：AB=AF．
21．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平CD的厚度为0.5m，sin28°≈0.47，行的，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
////
////
22．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量）
23．一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度．
棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率．（用列表或画树状图的方法求解）
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．
25．如图，抛物线y=x2﹣x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=﹣2x上．
（1）求a的值； （2）求A，B的坐标；
（3）以AC，CB为一组邻边作▱ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明
////
////
理由．
26．如图，正三角形ABC的边长为3+．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
////
////
陕西省西安市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列各数中，最小的数是（ ） A．﹣2 B．﹣0.1
C．0
D．|﹣1|
【考点】有理数大小比较．
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，进行比较．
【解答】解：因为正实数都大于0， 所以
＞0，
又因为正实数大于一切负实数， 所以所以所以
＞﹣2， ＞﹣0.1 最大，
故D不对；
又因为负实数都小于0， 所以0＞﹣2，0＞﹣0.1， 故C不对；
因为两个负实数绝对值大的反而小， 所以﹣2＜﹣0.1， 故B不对； 故选A．
2．图中的几何体是由7个大小相同的小正方体组成的，该几何体的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
////
////
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面所看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中． 【解答】解：从上面看，这个几何体有三行四列，且第一列有3个小正方形，二、四列有1个小正方形、第三列有2个小正方形； 故选C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2=a5 B．a3﹣a2=a C．a3•a2=a6 D．a3÷a2=a
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误； C、应为a3•a2=a5，故本选项错误； D、a3÷a2=a，正确． 故选D．
4．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如表所示： 用电量（度） 120 140 16
0
户数
2
3
6
7
2
180 200
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ） A．180，160
B．160，180
C．160，160
D．180，180
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数和中位数的定义就可以解决．
【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是160，160，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是÷2=160． 故选：A．
5．如图，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于点E．若∠1=68°，则∠2=（ ）
////
////
A．112° B．124° C．128° D．140° 【考点】平行线的性质．
【分析】根据邻补角的定义求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠3，然后利用两直线平行，同旁内角互补列式求解即可． 【解答】解：∵∠1=68°，
∴∠BAC=180°﹣∠1=180°﹣68°=112°， ∵AE平分∠BAC，
∴∠3=∠BAC=×112°=56°， ∵AC∥BD，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣56°=124°． 故选B．
6．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 【考点】旋转对称图形．
【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件，结合选项即可得出答案． 【解答】解：由题意可得，此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形．
C．菱形 D．正方形
故选D．
7．如图，在平面直角坐标系中，有一条通过点（﹣3，﹣2）的直线L，若四点（﹣2，a）、（0，b）、（c，0）、（d，﹣1）均在直线L上，则下列数值的判断哪个是正确的（ ）
////
////
A．a=3 B．b＞﹣2 C．c＜﹣3 D．d=2 【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，根据此函数为减函数，利用增减性分析解答即可．
【解答】解：如图，可得此一次函数是减函数， 因为﹣2＜0，所以可得a＞b， 因为﹣3＜﹣1＜0，可得c＜d＜﹣2， 故选C．
8．如图是跷跷板示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设B点的最大高度为h1．若将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则下列结论正确的是（ ）
A．h2=2h1 B．h2=1.5h1 C．h2=h1 【考点】三角形中位线定理．
D．h2=h1
【分析】直接根据三角形中位线定理进行解答即可． 【解答】解：如图所示：
∵O为AB的中点，OC⊥AD，BD⊥AD， ∴OC∥BD，
∴OC是△ABD的中位线， ∴h1=2OC，
同理，当将横板AB换成横板A′B′，且A′B′=2AB，O仍为A′B′的中点，设B′点的最大高度为h2，则h2=2OC，
////
////
∴h1=h2． 故选C．
9．如图，在半径为OP的长为（ ）
的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=4，则
A．1 B． C．2 D．2
【考点】垂径定理；勾股定理．
OF⊥CD于F，OB，【分析】作OE⊥AB于E，连结OD、如图，根据垂径定理得到AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2，根据勾股定理在Rt△OBE中计算出OE=1，同理可得OF=1，接着证明四边形OEPF为正方形，于是得到OP=
OE=
．
【解答】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连结OD、OB，如图， 则AE=BE=AB=2，DF=CF=CD=2， 在Rt△OBE中，∵OB=∴OE=
=1，
，BE=2，
同理可得OF=1， ∵AB⊥CD，
∴四边形OEPF为矩形，
////
////
而OE=OF=1，
∴四边形OEPF为正方形， ∴OP=
OE=
．
故选B．
10．B两点，二次函数y=﹣x2+1的图象与x轴交于A、与y轴交于点C，下列说法错误的是（ ）
A．点C的坐标是（0，1） B．线段AB的长为2 C．△ABC是等腰直角三角形
D．当x＞0时，y随x增大而增大
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【分析】判断各选项，点C的坐标可以令x=0，得到的y值即为点C的纵坐标；令y=0，得到的两个x值即为与x轴的交点坐标A、B；且AB的长也有两点坐标求得，对函数的增减性可借助函数图象进行判断．
【解答】解：A，令x=0，y=1，则C点的坐标为（0，1），正确； B，令y=0，x=±1，则A（﹣1，0），B（1，0），|AB|=2，正确；
C，由A、B、C三点坐标可以得出AC=BC，且AC2+BC2=AB2，则△ABC是等腰直角三角形，正确；
D，当x＞0时，y随x增大而减小，错误． 故选D．
二、填空题
11．分解因式：mn2+6mn+9m= m（n+3）2 ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】先提取公因式m，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：mn2+6mn+9m =m（n2+6n+9） =m（n+3）2．
故答案为：m（n+3）2．
14．如图，在直角坐标系中，直线y=6﹣x与y=（x＞0）的图象相交于点A，B，设点A的坐
////
////
标为（x1，y1），那么长为x1，宽为y1的矩形面积和周长分别为 4 、 12 ．
【考点】反比例函数系数k的几何意义；一次函数的图象． 【分析】先求出两图象的交点坐标，从而得出矩形面积和周长． 【解答】解：把y=6﹣x与y=联立到一个方程组中， 解得x=3+
和3﹣
，y=3﹣，y1=3+
，
和3+
．
在本题中x1=3﹣
所以矩形面积=x1y1=4，周长=2（x1+y1）=12． 故矩形面积和周长分别为4和12． 故答案为：4、12．
15．如图，在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C且与边AB相切的动圆与CB、CA分别相交于点E、F，则线段EF长度的最小值是 7.2 ．
【考点】切线的性质；垂线段最短．
【分析】三角形ABC中，利用勾股定理的逆定理判断得到∠C为直角，利用90度的圆周角所对的弦为直径，得到EF为圆的直径，设圆与AB的切点为D，连接CD，当CD垂直于AB时，即CD是圆的直径的时，EF长度最小，求出即可． 【解答】解：∵在△ABC中，AB=15，AC=12，BC=9， ∴AB2=AC2+BC2，
∴△ABC为RT△，∠C=90°，即知EF为圆的直径， 设圆与AB的切点为D，连接CD，
当CD垂直于AB，即CD是圆的直径时，EF长度最小，最小值是
////
=7.2．
////
故答案为：7.2．
请从以下两个小题中任选一个作答，若多选，则按所选的第一题计分．
12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=120°，则∠AOE= 60° ．
【考点】菱形的性质．
【分析】先根据菱形的邻角互补求出∠BAD的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAO的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解． 【解答】解：在菱形ABCD中，∠ADC=120°， ∴∠BAD=180°﹣120°=60°， ∴∠BAO=∠BAD=×60°=30°， ∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°﹣∠BAO=90°﹣30°=60°． 故答案为：60°．
13．用科学计算器计算：12×tan13°= 2.77 （结果精确到0.01）． 【考点】计算器—三角函数；近似数和有效数字． 【分析】正确使用计算器计算即可，注意运算顺序． 【解答】解：12×tan13°≈12×0.231≈2.77． 故答案为：2.77．
三、解答题
16．计算：（）﹣2﹣（π﹣
）0+|
﹣2|+4sin60°．
////
////
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果． 【解答】解：原式=4﹣1+2﹣
17．先化简，再求值：
，其中
．
+4×
=5+
．
【考点】分式的化简求值；二次根式的化简求值．
【分析】先将括号内通分，合并；再将除法问题转化为乘法问题；约分化简后，在原式有意义的条件下，代入计算即可 【解答】解：===当原式=
18．如图，在图中求作⊙P，使⊙P满足以线段MN为弦且圆心P到∠AOB两边的距离相等．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑）
，
时，
=
=
．
【考点】作图—复杂作图；角平分线的性质；垂径定理．
【分析】作∠AOB的角平分线，作MN的垂直平分线，以角平分线与垂直平分线的交点为圆心，以圆心到M点（或N点）的距离为半径作圆． 【解答】解：如图所示．
////
////
圆P即为所作的圆．
19．为了了解青少年形体情况，现随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况．我们对测评数据作了适当处理（如果一个学生有一种以上不良姿势，以他最突出的一种作
记载），并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：
（1）请将两幅统计图补充完整；
（2）请问这次被抽查形体测评的学生一共是多少人？
（3）如果全市有5万名初中生，那么全市初中生中，坐姿和站姿不良的学生有多少人？ 【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据各部分所占的百分比的和等于1求出坐姿不良所占的百分比，然后求出被抽查的学生总人数，然后求出站姿不良与三姿良好的学生人数，最后补全统计图即可； （2）根据（1）的计算即可；
（3）用总人数乘以坐姿和站姿不良的学生所占的百分比，列式计算即可得解． 【解答】解：（1）坐姿不良所占的百分比为：1﹣30%﹣35%﹣15%=20%， 被抽查的学生总人数为：100÷20%=500名， 站姿不良的学生人数：500×30%=150名， 三姿良好的学生人数：500×15%=75名， 补全统计图如图所示；
（2）100÷20%=500（名），
答：这次被抽查形体测评的学生一共是500名；
////
////
（3）5万×（20%+30%）=2.5万，
答：全市初中生中，坐姿和站姿不良的学生有2.5万人．
20．已知：如图，▱ABCD中，点E是AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F． 求证：AB=AF．
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】本题考查平行四边形性质的应用，要证AB=AF，由AB=CD，可以转换为求AF=CD，只要证明△AEF≌△DEC即可．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD且AB=CD． ∴∠F=∠2，∠1=∠D． ∵E为AD中点， ∴AE=ED．
在△AEF和△DEC中∴△AEF≌△DEC． ∴AF=CD． ∴AB=AF．
////
////
21．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平CD的厚度为0.5m，sin28°≈0.47，行的，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】首先根据AC∥ME，可得∠CAB=∠AE28°，再根据三角函数计算出BC的长，进而得到BD的长，进而求出DF即可．
【解答】解：∵AC∥ME，∴∠CAB=∠AEM， 在Rt△ABC中，∠CAB=28°，AC=9m， ∴BC=ACtan28°≈9×0.53=4.77（m）， ∴BD=BC﹣CD=4.77﹣0.5=4.27（m）， 在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD=90°， 在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC=90°， ∴∠BDF=∠CAB=28°，
∴DF=BDcos28°≈4.27×0.88=3.7576≈3.8 （m）， 答：坡道口的限高DF的长是3.8m．
22．某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量）
////
////
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域；
（2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可． 【解答】解：（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b， 将（10，10）（50，6）代入解析式得：
，
解得：，
y=﹣
x+11（10≤x≤50）
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时， x（﹣
x+11）=280，
解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）， 故该产品的生产数量为40吨．
23．一枚棋子放在边长为1个单位长度的正六边形ABCDEF的顶点A处，通过摸球来确定该棋子的走法，其规则是：在一只不透明的袋子中，装有3个标号分别为1、2、3的相同小球，搅匀后从中任意摸出1个，记下标号后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出1个，摸出的两个小球标号之和是几棋子就沿边按顺时针方向走几个单位长度．
棋子走到哪一点的可能性最大？求出棋子走到该点的概率．（用列表或画树状图的方法求解）
////
////
【考点】列表法与树状图法．
【分析】先画树形图：共有9种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和是2的占1种，摸出的两个小球标号之和是3的占2种，摸出的两个小球标号之和是4的占3种，摸出的两个小球标号之和是5的占两种，摸出的两个小球标号之和是6的占一种；即可知道棋子走到哪一点的可能性最大，根据概率的概念也可求出棋子走到该点的概率． 【解答】解：画树形图：
共有9种等可能的结果，其中摸出的两个小球标号之和是2的占1种， 摸出的两个小球标号之和是3的占2种， 摸出的两个小球标号之和是4的占3种， 摸出的两个小球标号之和是5的占两种， 摸出的两个小球标号之和是6的占一种； 所以棋子走E点的可能性最大， 棋子走到E点的概率==．
24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD，垂足为E，DA平分∠BDE． （1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若∠DBC=30°，DE=1cm，求BD的长．
【考点】切线的判定；圆周角定理．
【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，故AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理，可得在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°，有AD=2DE；在Rt△ABD
////
////
中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，有BD=2AD=4DE，即可得出答案． 【解答】（1）证明：连接OA， ∵DA平分∠BDE， ∴∠BDA=∠EDA． ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠OAD， ∴∠OAD=∠EDA， ∴OA∥CE． ∵AE⊥CE， ∴AE⊥OA．
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：∵BD是直径， ∴∠BCD=∠BAD=90°． ∵∠DBC=30°，∠BDC=60°， ∴∠BDE=120°． ∵DA平分∠BDE， ∴∠BDA=∠EDA=60°． ∴∠ABD=∠EAD=30°．
∵在Rt△AED中，∠AED=90°，∠EAD=30°， ∴AD=2DE．
∵在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°， ∴BD=2AD=4DE． ∵DE的长是1cm， ∴BD的长是4cm．
25．如图，抛物线y=x2﹣x+a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y=﹣2x上．
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（1）求a的值； （2）求A，B的坐标；
（3）以AC，CB为一组邻边作▱ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；
（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；
（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上． ∴抛物线y=x2﹣x+a， =（x2﹣2x）+a， =（x﹣1）2﹣+a，
∴顶点坐标为：（1，﹣+a）， ∴y=﹣2x，﹣+a=﹣2×1， ∴a=﹣；
（2）二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣， ∵抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A，B， ∴0=x2﹣x﹣， 整理得：x2﹣2x﹣3=0， 解得：x=﹣1或3， A（﹣1，0），B（3，0）；
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（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB， 在△AOC和△BDE中 ∵
∴△AOC≌△BED（AAS）， ∵AO=1， ∴BE=1，
∵二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣， ∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣）， ∴CO=，∴DE=， D点的坐标为：（2，），
∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣）， 代入解析式y=x2﹣x﹣，
∵左边=﹣，右边=×4﹣2﹣=﹣， ∴D′点在函数图象上．
26．如图，正三角形ABC的边长为3+
．
（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）；
（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长；
（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，
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点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由．
【考点】位似变换；等边三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．
【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示；
（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长；
（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：S=+（m﹣n）2，可见S的大小只与m、n的差有关： ①当m=n时，S取得最小值；
②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问． 【解答】解：（1）如图①，正方形E′F′P′N′即为所求．
（2）设正方形E′F′P′N′的边长为x， ∵△ABC为正三角形， ∴AE′=BF′=
x．
∵E′F′+AE′+BF′=AB， ∴x+∴x=
x+x=3+，即x=3
，
﹣3，（x≈2.20也正确）
（3）如图②，连接NE、EP、PN，则∠NEP=90°．
设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n）， 它们的面积和为S，则NE=
，PE=
n．
∴PN2=NE2+PE2=2m2+2n2=2（m2+n2）． ∴S=m2+n2=PN2，
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延长PH交ND于点G，则PG⊥ND．
在Rt△PGN中，PN2=PG2+GN2=（m+n）2+（m﹣n）2． ∵AD+DE+EF+BF=AB，即
m+m+n+
n=
+3，化简得m+n=3．
∴S= [32+（m﹣n）2]= +（m﹣n）2 ①当（m﹣n）2=0时，即m=n时，S最小． ∴S最小=；
②当（m﹣n）2最大时，S最大． 即当m最大且n最小时，S最大． ∵m+n=3，
由（2）知，m最大=3
﹣3．
∴S最大= [9+（m最大﹣n最小）2] = [9+（3﹣3﹣6+3
）2]
=99﹣54
…．
（S最大≈5.47也正确） 综上所述，S最大=99﹣54
，S最小=．
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