圆系方程及其应用

中学生数学·２０１０年９月上·第４０１期（高中）　寸圆系方程及其应用　湖南省浏阳市第六中学高一３１３班（４１０３２４）　潘星星　指导教师人教社出版的晋通鬲中课程标准试验教　潘日明　程（　≠１，不含圆Ｃ。）．　科书Ａ版必修二第１３３页Ａ组第１０题：求经　过点Ｍ（２，一２）以及圆　。十　。一６ｘ＝Ｏ与ｚ。＋　一４交点的圆的方程．　解　联立方程　＋Ｙ　一６ｘ＝０和　。＋Ｙ。　一４得方程组．￣２＠ｙ２－－６ｘ　。’解此方程组，得　特殊化：设圆Ｃ：ｚ　十３７。十Ｄ工十Ｅ３Ｊ＋Ｆ＝　０，Ａ线ｚ：Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ一０，则过圆Ｃ与直线ｚ　交点的圆的方程为　（Ａ　＋Ｂ　＋Ｃ）一０．　＋　。＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＋　圆系方程的应用体现了“设而不求”的　思想．　』　一＇詈＿’　或』ｚ一詈，　两圆交点为　以上题目采用圆系方程来解，则有如下解　法：设经过圆　十Ｙ　一６ｘ一０与ｚ。＋　一４交　点的圆的方程为：ｚ　＋　。一６ｘ＋　（ｚ　＋Ｙ　一４）　一０，将点Ｍ的坐标（２，一２）代入上式，得２。＋　Ａ（詈，扣）或Ｂ（吾，一　）．　（一２）。一６×２＋　［２。＋（一２）　一４］＝０，解方　程，得　一１．　线段ＢＭ的中点坐标为（　，一号　一１１，　将　一１代入方程，并化简得　直线ＢＭ的斜率志　：—－—３＋　２￣／２线段ＢＭ的　ｚ’。＋　。一３ｚ一２—０．　所以，经过圆ｚ　＋．ｙ　～６　一０与ｚ　＋Ｙ。一　垂直平分线的方程为Ｙ一２（３＋２√　）·　４交点的圆的方程为：ｚ。＋　一３ｚ一２—０。　方程为ｙ—ｏ．因此，把ｙ一０代入　＝２（３＋　从以上解答过程可看出，采用圆系方程解　ｆｚ一号）一号　一１，线段ＡＢ的垂直平分线的　决，简捷、舒畅！　下面举例说明圆系力‘稗的应用．　例１　已知圆Ｃ１：　＋　一　＋　一２—０和　２　）（ｚ一号）一号　一１，得　一　３．圆心的坐　所求圆的方程为３Ｃ－　３　１。＋　。一　，即　标为（寻，。），半径ｒ一√（ｚ～吾）　＋（一２）。一　Ｂ两点且圆心在直线３　＋４　一１：０上的圆的　方程．　圆Ｃ。：ｚ　＋　一５的交点分别为Ａ、Ｂ．求过Ａ、　解　圆Ｃ　、Ｃ：交点Ａ、Ｂ所在的直线方程　为ｚ—　一３—０．设所求圆的方程为：　。＋　。一５　ｚ　＋　一３ｘ－－２—０．　解完这道题后，我进行了反思，有没有更　简捷、更一般的方法？下面向大家介绍解决此　类问题的一般方法：圆系方程．　设圆ｃ１：ｚ。＋Ｙ　＋Ｄ１ｚ＋Ｅ１．ｙ＋Ｆｌ一０，圆　Ｃ２：　＋　。＋Ｄ２　＋Ｅ２Ｙ＋Ｆ２—０，则方程Ｃ：ｚ　＋　（　～Ｙ一３）一。，其圆心坐标为ｆ一舍，令）．　因圆心在直线３ｌｚ＋４　一１—０上，　所以有３Ｘ（一睾１＋４×　一１—０，　解得　一２．　●　◆　●　＋３，　＋Ｄ１ａｚ＋Ｅ１　＋Ｆ１＋Ａ（ｚ。＋３Ｉ　＋Ｄ２ｚ＋Ｅ２　＋Ｆ　）一０表示过两圆Ｃ　、Ｃ，的交点的圆系方　（下转第３７页）　网ｈｌ：：ｚｘ　ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａ１．ｎｅｔ．ｃｎ　●　４４　◆电子邮箱：ｚｘｓｓ（ａ）ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａ１．ｎｅｔ．ｃｈ　中学生数学·２０１０年９月上·第４０１期（高中）　２．３利用函数求离心率的范围　则从而ＩＡＢ　Ｊ一旦例８　已知椭圆Ｃ．－Ｘ　２　ｙ２ｃｏｓＯ，　Ｔ　—１（口＞６＞Ｏ），　　ＩＡ￣＇Ｉ一　一　，　Ｆ为椭圆Ｃ的右焦点，若存在倾斜角为０，０∈　高　煮　［詈，号］的直线ＡＢ过Ｆ且交椭圆Ｃ于Ａ，Ｂ　两点，使得ＡＦ＝＠ＡＢ，求椭圆Ｃ的离心率ｅ的　故椭圆ｃ的离心率　ｅ一篇一　．　又ｃ。ｓ　∈［　１／ｇ］，　池　范围．　故椭圆ｃ的离心率　￣Ｅ２，／　ｇ２］解　如图５，过点　Ｊ　ｌＶ　Ａ，Ｂ分别作椭圆Ｃ的右　方法的提炼与总结　通过上述三个例子，　准线的垂线，垂足为Ａ　，　我们可以看出求离心率范围大致可以分为两　Ｂ　，直线ＡＢ交右准线于　个方向，一个方向是通过题设中的不等关系或　Ｍ，设ＩＡＡ　ｉ—ｍ，由题设　图５　圆锥曲线上点的横（纵）坐标的有界性建立其　条件和椭圆的性质有　关于ａ，ｂ，ｃ的齐次不等式，再进一步化归为ｅ　ＢＢ　Ｉ一　·Ｉ　ＡＡ　ｌ＝２ｍ，　的不等式，从而确定出　的范围；另一个方向是　根据题设将　表示成某个变量的表达式，即　一　　ＩＡＭＩ＝　，Ｉ　ＢＭＩ－　２ｍ＿厂（　），借助函数厂（　）的值域来确定出Ｐ的范围．　（责审　张．思明）　（上接第４４页）　例３　已知圆Ｃ：　＋　一２　＋４ｙ一４—０，　所以，所求圆的方程为　是否存在斜率为１的直线ｚ，使以ｌ被圆Ｃ截得　ｚ　＋　一５＋２（ｘ－－ｙ－－３）一０，　的弦ＡＢ的长为直径的圆过原点？若存在，求　即　＋Ｙ　＋２ｘ－－２ｙ－－１１—０．　出直线ｌ的方程；若不存在，请说明理由．　例２　求经过直线２ｚ＋Ｙ＋４—０和圆ｚ　解设存在直线ｚ的方程为ｚ—Ｙ＋６：０，　＋　＋２Ｌｚ一４　＋１—０的交点且面积最小的圆　则以ＡＢ为直径的圆的方程为ｚ　＋Ｙ　一２ｘ＋　的方程．　４　一４＋　（　～　＋６）一０，化简得　解设所求圆的方程为　。＋Ｙ　＋（　一２）３Ｃ＋（４一　）ｖ一４＋ｂＡ一０，　。＋Ｙ　＋２ｘ－－４　＋１＋　（２ｘ＋．）’＋４）一０，　即ｚ　＋．ｙ　＋２（１＋　）　＋（Ａ－－４）　＋４　＋１一Ｏ．　圆心坐标为（一（１十　），　）．　一　）在直线算４ｚ—　＋÷　一。上，　’菩　由题意知，当圆心在直线２ｚ十　十４—０上　所以　～，丁ｔ－－２＋　＋　４—０．时，半径最小，所以一２（１＋　）十　＋４—０，解　解得Ａ一４或　＝一１，　所以６—１或６一一４．　得　—　８所以，所求圆的方程为　所以存在直线Ｚ的方程为ｚ—　＋１—０或　ｚ　＋ｙ２十萼ｚ—Ｙ＋詈＿０．　ｚ～　一４—０．　（责审　余炯沛）　网址：ＺＸＳＳ．ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａ１．ｎｅｔ．ｃｎ　●　３７　●电子邮箱：ｚｘｓｓ＠ｃｈｉｎａｊｏｕｒｎａ１．ｎｅｔ．ｃｎ　鲞　学　◇