线性代数期末试题A

2004--2005学年第一学期期末考试《线性代数》试卷A

（考试时间为120分钟）

学院_________ 班级 ___________ 姓名__________ 学号__________

题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 总分 合分人 注意：请将所有试题的答案均写在答题纸上！

一.判断题（2分×5=10分）

1.若AnnBnnO，且AO，则B奇异.（ ）

2.若AnnBnnCnnIn，则A,B,C均可逆，且A1BC,B1AC,C1AB.（ ） 3.若向量组1,2,,s线性无关，且可由向量组1,2,,s线性表出，则1,2,,s也线性无关.（ ）

4.若方程组Axb(b0)有唯一解，则方程组Ax0仅有零解.（ ） 5.若向量与任意同维的向量均正交，则0.（ ） 二.单项选择题（2分×5=10分）

1.若r(Ann)0，n2，则r(A)不可能是（ ） （注：r(A)表示矩阵A的秩，下．．．同.）

A．0； B．1； C．n2； D．n1.

2.若Ann为对称矩阵，Bnn为反对称矩阵，则下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ） ．．．A．ABBA； B．ABBA； C．AB； D．BAB. 3.若A,B分别为mn,nm矩阵，则（ ）

A.当mn时，AB0； B.当mn时，AB0； C.当nm时，AB0； D.当nm时，AB0. 4.若矩阵Amn(mn)的行向量组线性无关，则（ ）

A.方程组Ax0仅有零解； B.方程组Axb有唯一解； C.方程组Axb有无穷多解； D.方程组Axb无解.

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5.下列矩阵中可相似于对角矩阵的是（ ） ．

1A.00210010； B.002020210； C.001220010； D.00111010. 2三.填空题（3分×5=15分） 1.设Ann2,Bnn3，则2AB1_________.

2.若A,B,C均为n阶方阵，且ABBCCAIn，则A2B2C2________. 3.若矩阵Ann~Bnn，A的特征值为

11111，则|BIn|________,,,,,23nn1.

x1x22x304.若齐次线性方程组x12x2x30存在基础解系，则a的取值为___________．

2x1x2ax305.若,,abc为单位正交向量组，_____________．

a,b,c为实常数，则

四.计算题（10分×5=50分）

a1x1a2a3an1an11x1x2000T0x2x300000xn10T000xn1xn1.计算行列式Dn的值．

2.设向量(,0,)，AI3，BI32，求AB．

223.设矩阵A(aij)nn，n3，a110，Aij为aij的代数余子式，且Aijaij，

i,j1,2,,n，求A的值．

4.求a为何值时，向量组1(1,1,1,3)，2(1,3,5,1)，3(3,2,1,a2)，

4(2,6,10,a)线性相关？当1,2,3,4线性相关时，求其秩和一个极大无关组，

并将其余向量用此极大无关组线性表出．

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15.设实对称矩阵A20222012，（1）求一个可逆矩阵P，使得PAP为对角矩3阵；（2）求一个正交矩阵Q，使得Q1AQ为对角矩阵． 五.证明题（5分×3=15分）（任选三题即可） ．1.求证：若AnnBnnO，则r(A)r(B)n.

2.求证：若r(Amn)r，则存在可逆矩阵Pmm,Qnn，使得PAQOIrO. O3.求证：若向量可由向量组1,2,,s线性表出，则表出方式唯一的充要条件是．．1,2,,s线性无关．

4.求证：齐次线性方程组Annx0仅有零解的充要条件是矩阵A无零特征值. ．．

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