线性代数测试试卷及答案

一﹑选择题每小题3分,共15分

1. 设A﹑B是任意n阶方阵,那么下列等式必成立的是 AABBA B(AB)2A2B2 C(AB)2A22ABB2 DABBA

2. 如果n元齐次线性方程组AX0有基础解系并且基础解系含有s(sn)个解向量,那么矩阵A的秩为

A n B s C ns D 以上答案都不正确

3.如果三阶方阵A(aij)33的特征值为1,2,5,那么a11a22a33及A分别等于 A 10, 8 B 8, 10 C 10, 8 D 10, 8

22x14. 设实二次型f(x1,x2)(x1,x2)x的矩阵为A,那么

41223222110 A A B C D AAA 013141215. 若方阵A的行列式A0,则 A A的行向量组和列向量组均线性相关 BA的行向量组线性相关,列向量组线性无关 C A的行向量组和列向量组均线性无关 DA的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题每小题3分,共30分

1 如果行列式D有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ；

1002. 设A210,A*是A的伴随矩阵,则(A*)1 ；

3413. 设,是非齐次线性方程组AXb的解,若也是它的解, 那么 ； 4. 设向量(1,1,1)T与向量(2,5,t)T正交,则t ； 5. 设A为正交矩阵,则A ；

11bb21c ； c26. 设a,b,c是互不相同的三个数,则行列式aa27. 要使向量组1(1,,1)T,2(1,2,3)T,3(1,0,1)T线性相关,则 ； 8. 三阶可逆矩阵A的特征值分别为1,2,3,那么A1的特征值分别为 ；

9. 若二次型f(x1,x2,x3)x21x225x232tx1x2-2x1x34x2x3是正定的,则t的取值范围为 ；

10. 设A为n阶方阵,且满足A22A4I0,这里I为n阶单位矩阵,那么A1 . 三﹑计算题每小题9分,共27分

102101. 已知A121,B01,求矩阵X使之满足AXXB.

00012123423412. 求行列式的值.

341241233 求向量组1(1,0,1,0),2(2,1,3,7),3(3,1,0,3,),4(4,3,1,3,)的一个最大无关组和秩.

四﹑10分设有齐次线性方程组

x1(1)x2x30,(1)x1x2x30, xx(1)x0.312问当取何值时, 上述方程组1有唯一的零解﹔2有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑12分求一个正交变换XPY,把下列二次型化成标准形:

f(x1,x2,x3)x21x22x234x1x24x1x34x2x3.

六﹑6分已知平面上三条不同直线的方程分别为

l1: ax2by3c0,l2: bx2cy3a0, l3: cx2ay3b0.试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为abc0.

线性代数A卷答案

一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A

二﹑1. 0 2. (A*)1A 3. 1 4. 3 5. 1或-1

114116. (ca)(cb)(ba) 7. 0 8. 1,, 9. t0 10. AI

23542三﹑1. 解 由AXXB得X(AI)1B. 2分

下面求(AI)1. 由于

110AI111 4分

011而

011(AI)1111. 7分

110所以

0111001X(AI)1B1110111. 9分

1100011122. 解

34234134124102110321043101101000341241111021312341341241 4分 23234113 8分 160 9分 .

0440043. 解 由于

412312341234r5r01130113011332 rr

3113010533r47r200212004240733073312340113r42r3 6分 002120000故向量组的秩是 3 ,1,2,3是它的一个最大无关组;9分 四﹑解 方程组的系数行列式

111A111(1)(2)2 2分

111①当A(1)(2)20,即1且2时,方程组有唯一的零解; 4分 ②当1时, A(1)(2)20,方程组的系数矩阵为

121 A211 ,

112 它有一个二阶子式

1230,因此秩A2n这里n3,故方程组有无穷多个解.对A施行初

21等行变换,可得到方程组的一般解为

x1x3,x2x3, 其中x3可取任意数; 7分 xx,33③当2时, A(1)(2)20,方程组的系数矩阵为

111 A111 ,

111 显然,秩A1n这里n3,所以方程组也有无穷多个解.对A施行初等行变换

可得方程组的一般解为

x1x2x3, 其中x2,x3可取任意数. 10分 x2x2,xx,33五﹑ 解 二次型的矩阵为

122 A212 , 2分

221 因为特征多项式为

1IA2222 12 (1)2(5), 21 所以特征值是1二重和5. 4分

把特征值1代入齐次线性方程组(IA)X0得

2x12x22x30,2x12x22x30, 2x2x2x0,231解此方程组可得矩阵A的对应于特征值1的特征向量为

1(1,0,1)T,2(0,1,1)T.

利用施密特正交化方法将1,2正交化:

1111(1,0,1)T, 2(,1,)T,

22再将1,2单位化得 1(22T666,0,),2(,,)T, 8分 22636把特征值5代入齐次线性方程组(IA)X0得

4x12x22x30,2x14x22x30, 2x2x4x0,231解此方程组可得矩阵A的对应于特征值5的特征向量为

3(1,1,1)T.

再将3单位化得

3(令

333T,,). 10分 3333 33  33 322P(1,2,3)022666366则P是一个正交矩阵,且满足

100P1APPTAP010.

005所以,正交变换XPY为所求,它把二次型化成标准形

f(x1,x2,x3)y21y225y23. 12分

六﹑证明:必要性

由l1,l2,l3交于一点得方程组

ax2by3c0bx2cy3a0 cx2ay3b0有解,可知

a2b3c R(A)R(A)b1bc1ab2c3a0(abc)1ca0 2分

c2a3b1bc由于1c222a12[(ba)(cb)(ac)]0,所以abc0 3分

1ab充分性：abc0b(ac)

a2b2(acb2)2[ac(ac)2][a2c2(ac)2]0b2ca2b3cabc1bc

又因为b2c3a6bca6(abc)1ca0c2a3bcab1abR(A)R(A)2, 5分 因此方程组

ax2by3c0bx2cy3a0 cx2ay3b0有唯一解,即l1,l2,l3交于一点. 6分

线性代数习题和答案

第一部分 选择题 共28分

一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题

目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分; 1.设行列式 A. m+n C. n-m

a11a21a12a=m,13a22a23a11a=n,则行列式11a21a21a12a13等于

a22a23 B. -m+n D. m-n

1002.设矩阵A=020,则A-1等于

00313 A. 00012000 100 12

1B. 0012D. 000120000 13103 C. 0100

010 3013123.设矩阵A=101,A是A的伴随矩阵,则A 中位于1,2的元素是

214 A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有 A. A =0 B. BC时A=0 C. A0时B=C D. |A|0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩AT等于 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则

A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0 C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0

D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β

1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r,则A中

A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是 A.η1+η2是Ax=0的一个解

B.

11η1+η2是Ax=b的一个解 22 C.η1-η2是Ax=0的一个解 η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆,则必有 A.秩AA.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量 B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,

则α1,α2,α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有 A. k≤3 B. k<3 C. k=3 D. k>3 12.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是 A.|A|2必为1 B.|A|必为1 =AT 的行列向量组是正交单位向量组 13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC.则 与B相似

B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为 A.23 34 B.34 26100 C.023

035

111D.120 102第二部分 非选择题共72分

二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;

错填或不填均无分;

11115.356 .

92536111123,B=.则A+2B= . 11112416.设A=17.设

A=aij3

×

3,|A|=2,Aij表示|A|中元素aij的代数余子式i,j=1,2,3,则

a11A21+a12A22+a13A232+a21A21+a22A22+a23A232+a31A21+a32A22+a33A232= . 18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a线性相关,则a= . 19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .

20.设A是m×n矩阵,A的秩为r21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= . 22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 . 2010623.设矩阵A=133,已知α=1是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .

2210824.设实二次型fx1,x2,x3,x4,x5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .

三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分

12023125.设A=340,B=.求1ABT；2|4A|.

2401213112513426.试计算行列式.

2011153342327.设矩阵A=110,求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.

1231302130,α=,α=,α=1. 28.给定向量组α1=234

22404193试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数; 12124229.设矩阵A=2103330266. 2334求：1秩A；

2A的列向量组的一个最大线性无关组;

02230.设矩阵A=234的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D,使T-1AT=D.

24331.试用配方法化下列二次型为标准形

222x2 fx1,x2,x3=x123x34x1x24x1x34x2x3,

并写出所用的满秩线性变换;

四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分

32.设方阵A满足A3=0,试证明E-A可逆,且E-A-1=E+A+A2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b的解； 2η0,η1,η2线性无关;

答案：

一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分

二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337

13717. 4 18. –10

19. η1+cη2-η1或η2+cη2-η1,c为任意常数 20. n-r 21. –5 22. –2 23. 1

222z224. z12z3z4

三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分

1202225.解1ABT=34034

1211086=1810. 3102|4A|=43|A|=64|A|,而

120|A|=3402. 121所以|4A|=64·-2=-128

3112511151341113126.解

2011001015335530511=115511 501210=655062301040.

5527.解 AB=A+2B即A-2EB=A,而

223A-2E-1=1101211143153. 164143423所以 B=A-2E-1A=153110

164123386=296. 2129213005321301130128.解一  011202243419013112100010000351112000880141400100001021, 100100311052 10所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1. 解二 考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3,

2x1x23x30x3x12即 1

2x2x4323x14x2x39.方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.

29.解 对矩阵A施行初等行变换

121000A0320960262

82322121012103283032000000620002170000283=B. 31001秩B=3,所以秩A=秩B=3.

2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量

组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组; A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是

30.解 A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为

ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.

25/1525/5经正交标准化,得η1=5/5,η2=45/15.

5/30λ=-8的一个特征向量为

11/3ξ3=2,经单位化得η3=2/3.

22/325/5215/151/3所求正交矩阵为 T=5/545/152/3.

05/32/3100对角矩阵 D=010.

00825/5215/151/3也可取T=05/32/3.

5/545/152/331.解 fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32 =x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.

y1x12x22x3x1y12y2x2x3, 即x2y2y3设y2xy33yx33,

120因其系数矩阵C=011可逆,故此线性变换满秩;

001经此变换即得fx1,x2,x3的标准形 y12-2y22-5y32 .

四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分 32.证 由于E-AE+A+A2=E-A3=E,

所以E-A可逆,且 E-A-1= E+A+A2 .

33.证 由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.

1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b, 所以η1,η2是Ax=b的2个解; 2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,

即 l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.

则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以 l1ξ1+l2ξ2=0.

又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而所以η0,η1,η2线性无关;

l0=0 .