南澳县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

南澳县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． “互联网”时代，倡导读书称为一种生活方式，调查机构为了解某小区老、中、青三个年龄阶 段的阅读情况，拟采用分层抽样的方法从该小区三个年龄阶段的人群中抽取一个容量为50的样本进行调 查，已知该小区有老年人600人，中年人600人，青年人800人，则应从青年人抽取的人数为（ ） A．10 B．20 C．30 D．40 2． 一个椭圆的半焦距为2，离心率e=，则它的短轴长是（ ） A．3

B．

C．2

D．6

有如下的问题：问积几何？”意底面宽AD＝3ABCD的距离为

3． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。思为：“今有底面为矩形的屋脊形状的多面体（如图）”，下丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF∥平面ABCD.EF与平面1丈，问它的体积是（ ） A．4立方丈 C．6立方丈

2B．5立方丈 D．8立方丈

4． 方程x11y1表示的曲线是（ ）

A．一个圆 B． 两个半圆 C．两个圆 D．半圆 5． 已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98

6． 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=3，个数为（ ） A．0

B．1

C．2

D．以上都不对

7． 已知集合A{2,1,0,1,2,3}，B{y|y|x|3,xA}，则A【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．

8． 若函数f（x）=ax2+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，则该函数的最大值为（ ） A．5

B．4

C．3

D．2

，A=60°，则满足条件的三角形

B（ ）

A．{2,1,0} B．{1,0,1,2} C．{2,1,0} D．{1,,0,1}

→→→

9． 已知点A（0，1），B（3，2），C（2，0），若AD＝2DB，则|CD|为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．1 5C. 3

10．下列关系正确的是（ ） A．1∉{0，1}

4B. 3D．2

B．1∈{0，1} C．1⊆{0，1} D．{1}∈{0，1}

11

11．设f（x）＝（e－x－ex）（x－），则不等式f（x）＜f（1＋x）的解集为（ ）

2＋12

1

A．（0，＋∞） B．（－∞，－）

2

11

C．（－，＋∞） D．（－，0）

2212．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量

，若

A．

B．

C．

，则角B的大小为（ ） D．

，

二、填空题

13．函数

的单调递增区间是 ．

，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程

14．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（﹣2是 ． 15．在（2x+

6

）的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．

22216．已知△ABC的面积为S，三内角A，B，C的对边分别为，，．若4Sabc， 则sinCcos(B4)取最大值时C ．

1，其中e为自然对数xex17．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数fxe2的底数，则不等式fx2fx40的解集为________．

18．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为 ．

三、解答题

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精选高中模拟试卷

19．已知椭圆E的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2分别在x轴上，离心率为，在其上有一动点A，A到点F1距离的最小值是1，过A、F1作一个平行四边形，顶点A、B、C、D都在椭圆E上，如图所示． （Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）判断▱ABCD能否为菱形，并说明理由．

（Ⅲ）当▱ABCD的面积取到最大值时，判断▱ABCD的形状，并求出其最大值．

20．已知复数z的共轭复数是，且复数z满足：|z﹣1|=1，z≠0，且z在复平面上对应的点在直线y=x上．

求z及z的值．

21．双曲线C：x2﹣y2=2右支上的弦AB过右焦点F． （1）求弦AB的中点M的轨迹方程

（2）是否存在以AB为直径的圆过原点O？若存在，求出直线AB的斜率K的值．若不存在，则说明理由．

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精选高中模拟试卷

22．已知函数fxa（1）求fx的定义域.

1 x21（2）是否存在实数a，使fx是奇函数？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。 （3）在（2）的条件下，令g(x)xf(x)，求证：g(x)0

23．【南通中学2018届高三10月月考】设，线

在点

（Ⅱ）求证：函数（Ⅲ）若

24．（本小题满分12分）已知圆C:x1y225,直线

223，函数.

，其中是自然对数的底数，曲

处的切线方程为

存在极小值； ，使得不等式

（Ⅰ）求实数、的值；

成立，求实数的取值范围.

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精选高中模拟试卷

L:2m1xm1y7m40mR.

（1）证明: 无论m取什么实数,L与圆恒交于两点; （2）求直线被圆C截得的弦长最小时L的方程.

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南澳县第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B 【解析】

试题分析：设从青年人抽取的人数为x,考点：分层抽样． 2． 【答案】C

【解析】解：∵椭圆的半焦距为2，离心率e=， ∴c=2，a=3， ∴b= ∴2b=2

．

故选：C．

x800,x20，故选B． 50600600800【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．属基础题．

3． 【答案】 【解析】解析：

选B.如图，设E、F在平面ABCD上的射影分别为P，Q，过P，Q分别作GH∥MN∥AD交AB于G，M，交DC于H，N，连接EH、GH、FN、MN，则平面EGH与平面FMN将原多面体分成四棱锥E-AGHD与四棱锥F-MBCN与直三棱柱EGH-FMN.

由题意得GH＝MN＝AD＝3，GM＝EF＝2，

EP＝FQ＝1，AG＋MB＝AB－GM＝2，

111

所求的体积为V＝（S矩形AGHD＋S矩形MBCN）·EP＋S△EGH·EF＝×（2×3）×1＋×3×1×2＝5立方丈，故选B.

3324． 【答案】A 【解析】

试题分析：由方程x11y1，两边平方得x1(1y1)，即(x1)(y1)1，所

222222以方程表示的轨迹为一个圆，故选A. 考点：曲线的方程. 5． 【答案】A

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精选高中模拟试卷

【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4 所以f（7）=f（3）=f（﹣1）， 又f（x）在R上是奇函数，

2

所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×1=﹣2，

故选A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．

6． 【答案】B 【解析】解：∵a=3，∴由正弦定理可得：sinB=∴B=90°，

即满足条件的三角形个数为1个． 故选：B．

【点评】本题主要考查三角形个数的判断，利用正弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算能力，属于基础题．

7． 【答案】C

【解析】当x{2,1,0,1,2,3}时，y|x|3{3,2,1,0}，所以A8． 【答案】A

2

【解析】解：函数f（x）=ax+bx+1是定义在[﹣1﹣a，2a]上的偶函数，

，A=60°，

=

=1，

B{2,1,0}，故选C．

可得b=0，并且1+a=2a，解得a=1，

2

所以函数为：f（x）=x+1，x∈[﹣2，2]，

函数的最大值为：5． 故选：A．

【点评】本题考查函数的最大值的求法，二次函数的性质，考查计算能力．

9． 【答案】

【解析】解析：选C.设D点的坐标为D（x，y）， →→

∵A（0，1），B（3，2），AD＝2DB，

∴（x，y－1）＝2（3－x，2－y）＝（6－2x，4－2y），

x＝6－2x，5∴即x＝2，y＝，

3

y－1＝4－2y

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55→

∴CD＝（2，）－（2，0）＝（0，），

33

55→

∴|CD|＝02＋（）2＝，故选C.

3310．【答案】B

【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}， 故选：B

【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．

11．【答案】

【解析】选C.f（x）的定义域为x∈R，

11

由f（x）＝（e－x－ex）（x－）得

2＋1211

f（－x）＝（ex－e－x）（x－）

2－＋12－11

＝（ex－e－x）（x＋）

2＋1211

＝（e－x－ex）（x－）＝f（x），

2＋12∴f（x）在R上为偶函数，

∴不等式f（x）＜f（1＋x）等价于|x|＜|1＋x|，

1

即x2＜1＋2x＋x2，∴x＞－，

2

1

即不等式f（x）＜f（1＋x）的解集为{x|x＞－}，故选C.

212．【答案】B 【解析】解：若

，

a+c）=0，

a+c）=0，

则（a+b）（sinB﹣sinA）﹣sinC（

222

化为a+c﹣b=﹣

由正弦定理可得：（a+b）（b﹣a）﹣c（

ac，

=﹣

，

∴cosB=

∵B∈（0，π）， ∴B=故选：B．

，

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【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、向量数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，是一道基础题．

二、填空题

13．【答案】 [2，3） ．

【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x＞0，求得1＜x＜3，则y=

2

，

本题即求函数t在（1，3）上的减区间．

利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3）， 故答案为：[2，3）．

14．【答案】

【解析】解：已知

．

∴∴为所求；

故答案为：

【点评】本题主要考查椭圆的标准方程．属基础题．

15．【答案】 240

【解析】解：由（2x+

6

），得

=

由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于故答案为：240．

16．【答案】【解析】

．

．

 4第 9 页，共 15 页

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考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1

【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及

b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为

正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式

111abcabsinC,ah,(abc)r,. 2224R11x1x,xR，∴fxeexfx，即函数fx为奇函数，exexe0恒成立，故函数fx在R上单调递增，不等式fx2fx240可转化为

17．【答案】3，2

x【解析】∵fxe又∵fxeexxfx2f4x2，即x24x2，解得：3x2，即不等式fx2fx240的解集为

2，故答案为3，2. 3，18．【答案】 A ．

【解析】解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A．

但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，

【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．

三、解答题

19．【答案】

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【解析】解：（I）由题意可得：2

，解得c=1，a=2，b=3．

∴椭圆E的方程为=1．

（II）假设▱ABCD能为菱形，则OA⊥OB，kOA•kOB=﹣1． ①当AB⊥x轴时，把x=﹣1代入椭圆方程可得：取A

=1，解得y=

，

，则|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD不能为菱形．

②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立

2222

，化为：（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0，

∴x1+x2=﹣∴

，x1x2=．

kOA•kOB=====

，

假设

=﹣1，化为k2=﹣

，因此平行四边形ABCD不可能是菱形．

综上可得：平行四边形ABCD不可能是菱形．

（III）①当AB⊥x轴时，由（II）可得：|AD|=2，|AB|=3，此时▱ABCD为矩形，S矩形ABCD=6． ②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为：y=k（x+1），A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立

2222

，化为：（3+4k）x+8kx+4k﹣12=0，

∴x1+x2=﹣|AB|=

，x1x2=．

=

．

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点O到直线AB的距离d=∴S平行四边形ABCD=4×S△OAB==2×

×

=

．

．

2则S=

=＜36，

∴S＜6．

因此当平行四边形ABCD为矩形面积取得最大值6．

20．【答案】

【解析】解：∵z在复平面上对应的点在直线y=x上且z≠0， ∴设z=a+ai，（a≠0）， ∵|z﹣1|=1， ∴|a﹣1+ai|=1， 即

2

则2a﹣2a+1=1，

=1，

2

即a﹣a=0，解得a=0（舍）或a=1，

即z=1+i， =1﹣i， 则z=（1+i）（1﹣i）=2．

【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义利用待定系数法是解决本题的关键．

21．【答案】

2222

【解析】解：（1）设M（x，y），A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1﹣y1=2，x2﹣y2=2， 两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）﹣（y1+y2）（y1﹣y2）=0， ∴2x（x1﹣x2）﹣2y（y1﹣y2）=0， ∴

=，

22

∵双曲线C：x﹣y=2右支上的弦AB过右焦点F（2，0），

∴，

22

化简可得x﹣2x﹣y=0，（x≥2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

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（2）假设存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），lAB：y=k（x﹣2） 由已知OA⊥OB得：x1x2+y1y2=0， ∴

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣①

，

所以

2

联立①②得：k+1=0无解

2

（k≠1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②

所以这样的圆不存在．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

22．【答案】 【解析】

试

题解析：（1）由210得：x0

x∴fx的定义域为xx0------------------------------2分

（2）由于fx的定义域关于原点对称，要使fx是奇函数，则对于定义域xx0内任意一个x，都有

f(x)f(x)即：a解得：a11a xx21211 21，使fx是奇函数------------------------------------6分 2∴存在实数a第 13 页，共 15 页

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（3）在（2）的条件下，a1131，则g(x)x3f(x)xx 2221gx的定义域为xx0关于原点对称，且g(x)(x)3f(x)x3f(x)g(x)

则g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称。

xx3当x0时，21即210又210，x0

x132x131∴g(x)xgx0 xx2(21)221当x0时，由对称性得：g(x)0分

综上：g(x)0成立。--------------------------------------------10分. 考点：1.函数的定义域；2.函数的奇偶性。

23．【答案】（Ⅰ）【解析】试题分析：

（Ⅰ）利用导函数研究函数的切线，得到关于实数a,b的方程组，求解方程组可得在极小值；

；

（Ⅱ）结合（Ⅰ）中求得的函数的解析式首先求解导函数，然后利用导函数讨论函数的单调性即可确定函数存

；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）

.

试题解析： （Ⅰ）∵（Ⅱ）由（Ⅰ）得是增函数，∵

，结合函数

∴函数

存在极小值

； 递减 在

极小值 ，

，∴

，由题设得，∴

，且函数

是增函数有：

递增 ） ，∴

图像在

，∴

； ，∴函数上不间断，∴

在，使得

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（Ⅲ）（*），令则

∴结合（Ⅱ）得即∴

，∴，

，使得不等式

，，

，

成立，即，使得不等式成立……

，其中

，，∴

在

，∴

内单调递增，

，满足，

，

∴

结合（*）有【解析】

，

，即实数的取值范围为

．

24．【答案】（1）证明见解析；（2）2xy50．

试题分析：（1）L的方程整理为xy4m2xy70，列出方程组，得出直线过圆内一点，即可

证明；（2）由圆心M1,2,当截得弦长最小时, 则LAM，利用直线的点斜式方程，即可求解直线的方程.

（2）圆心M1,2,当截得弦长最小时, 则LAM, 由kAM1111]

1得L的方程y12x3即2xy50. 2考点：直线方程；直线与圆的位置关系.

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