2019年3月
机械设计与制造
MachineryDesign＆Manufacture
135
压电陶瓷驱动器建模与控制技术的研究
于保军，司苏美，林洁琼，靖贤
（长春工业大学机电工程学院，吉林长春130012）
摘要：由于压电致动器（PA）具有高带宽、高纳米位移分辨率和零机械摩擦等优点，其广泛应用于微/纳米操作、微/纳米
定位和光学系统。然而，压电致动器的迟滞非线性却严重影响了其跟踪定位精度，甚至引起闭环系统失稳。为了模拟具有不对称特性的压电致动器的滞后特性和频率相关性，使用广义Bouc-Wen模型来描述压电致动器的滞后性并对该模型进行了参数辨识。然后，使用基于该模型的线性化反馈滑模控制器来改善压电致动器的迟滞非线性，最后采用MATLAB对压电致动器的位移与速度进行跟踪控制仿真，并对其位移误差进行仿真，以验证该模型的有效性，其显著提高了压电致动器的位移控制精度，有效提高了系统的鲁棒性，进而可显著提高双光子聚合加工系统的定位精度。关键词：压电致动器；广义Bouc-Wen模型；迟滞非线性；滑模控制；位移控制中图分类号：TH16
文献标识码：A
文章编号：1001-3997（2019）03-0135-05
DOI:10.19356/j.cnki.1001-3997.2019.03.034
ResearchonModelingandControlofPiezoelectricActuator
YUBao-jun，SISu-mei，LINJie-qiong，JINGXian
（SchoolofMechanicalEngineering，ChangchunUniversityofTechnology，JilinChangchun130012，China）Abstract：Becauseofitshighbandwidth，highnanometerdisplacementresolutionandzeromechanicalfriction，piezoelectricactuators（PA）arewidelyusedinmicro/nanooperation，micro/nanopositioningandopticalsystems.However，thehysteresisnonlinearityofpiezoelectricactuatorshasseriouslyaffectedthetrackingandpositioningaccuracy，andevencausedtheinstabilityoftheclosed-loopsystem.Inordertosimulatethehysteresisandfrequencydependenceofthepiezoelectricactuatorwithasymmetriccharacteristics，IthegeneralizedBouc-Wenmodelwasusedtodescribethehysteresisofthepiezoelectricactuatorandtheparameterswereidentified.Then，Thelinearizedfeedbackslidingmodecontrollerofthemodelisusedtoimprovethehysteresisnonlinearityofthepiezoelectricactuator.Finally，thedisplacementandvelocityofthepiezoelectricactuatoraresimulatedandsimulatedbyusingMATLAB，andthedisplacementerrorissimulated.Whichgreatlyimprovesthedisplacementcontrolprecisionofthepiezoelectricactuatorandimprovestherobustnessofthesystem，andthepositioningaccuracyofthetwo-photonpolymerizationprocessingsystemcanbeimprovedremarkably.
KeyWords：PiezoelectricActuator；GeneralizedBouc-WenModel；HysteresisNonlinearity；SlidingModeControl；DisplacementControl
1引言
宏微双重驱动技术主要应用于微电子制造，实现高加速度，高速度和纳米定位运动。飞秒激光双光子聚合加工系统采用串联型宏/微两级驱动精密定位系统，将微动台安装在宏动台上，宏动台由电机直接驱动实现大行程定位，微动台则由压电致动器[1]驱动实现纳米级定位。由于PA具有高带宽、高纳米位移分辨率和零机械摩擦等优点，其广泛应用于微/纳米操作、微/纳米定位[1]、可PA的迟滞非线性严重影响了其变性反射镜[2]及光学系统。然而，
在微纳米定位系统中的精度，甚至能够引起闭环系统失稳，限制了其进一步的应用。为了提高系统的定位精度，已经提出了许多补偿方法来缓解滞后效应[3]及各种滞后模型[4-5]来描述PA的滞后
性。针对迟滞特性，国内外学者提出了诸多建模和控制的方法，如Preisach模型，Prandtl-Ishlinskii模型和Bouc-Wen模型等。文献[6]提出一种不对称Bouc-Wen模型，通过在Bouc-Wen磁滞运算器中引入不对称公式来建立PA的不对称磁滞模型。为了减少建模错误，文献[7]使用Bouc-Wen模型以单输入频率建立其模型。文献[8]提出了利用混乱自适应差分演化算法进行辨识的对称磁滞模型。为了表示频率相关性，文献[9]提出了在线参数辨识的方法，实时辨识不对称Bouc-Wen模型的参数，需要进一步研究的是如何利用辨识的参数实现对PA的控制。
为了模拟具有不对称特性PA的滞后特性和频率相关性，采用广义Bouc-Wen模型来描述压电致动器的滞后性并对该模型
来稿日期：2018-09-07
基金项目：国家自然科学基金项目（51375060）作者简介：于保军，（1970-），男，吉林永吉人，博士研究生，副教授，主要研究方向：图像处理、精密加工与检测方面的研究
136于保军等：压电陶瓷驱动器建模与控制技术的研究
第3期
进行了参数辨识。然后，使用基于该模型的线性化反馈滑模控制器进而改善压电致动器的迟滞非线性，最后采用MATLAB对压电致动器的位移与速度进行跟踪控制仿真，并对其位移误差进行仿真，
以验证该模型的有效性，其显著提高了压电致动器的位移控制精度，有效提高了系统的鲁棒性，进而可显著提高双光子聚合加工系统的定位精度。
2广义的Bouc-Wen模型
迟滞非线性主要表现为输入电压与输出位移之间的环形关系，
如图1所示。相同的输入可以有不同的输出，相同的输出可以有不同的输入。这种多对多的映射是迟滞非线性建模的一个难点。滞后曲线各种输入频率变化较大，如图2所示。若使用传统Bouc-Wen模型来表示该现象，则会产生较大的建模误差，故使用广义Bouc-Wen模型。
108m）6μ移（位420
0
50
电压（V）
100
150
图11Hz正弦输入电压时测量的PA磁滞曲线
Fig.11HzSinusoidalInputVoltageMeasured
whenthePAHysteresisCurve
108m）6移（μ位41Hz20Hz40Hz260Hz100Hz
0
0
20
406080
100
电压（V）
图2各种输入频率时PA的滞后曲线
Fig.2HysteresisCurveofPAatVariousInputFrequencies
Bouc-Wen模型可以统一表示为：m0x咬+c0x觶+k（0x-x0）=k1u+d（1）
d觶=Au觶+β觶dn-1
u
d-γu
觶dn
（2）
式中：x—PA的输出位移；x0—其初始位移；m0、c0、k0—质量、阻尼
系数和弹性系数；u—输入电压；k1—线性力与输入电压之间的常数比；d—滞后力；A、η、n—形成滞环的形式。然而传统的Bouc-Wen模型是对称的，其不随输入频率的变化而变化。Zhu和Wang提出了一种不对称的Bouc-Wen磁滞算子，用于提高其建模精度，但也不能描述频率的相关性。因此，为了最小化建模误差，
采用广义Bouc-Wen模型可以表示为：mk1-t/0x咬+c0x觶+k（0x-x0）=τ
ueτ
+d（3）d觶=Au觶+β觶dn-1
u
d-γu觶dn
+δusgn（u
觶）（4）
式中：τ—频率因子；δ—不对称因子。
式（4）是不对称Bouc-Wen迟滞算子。为了使用广义Bouc-Wen模型来模拟PA的滞后性，需要确定参数m0，c0，k0，k1，A，β，γ，τ，δ，n。
广义Bouc-Wen模型参数辨识方法：
为了辨识广义Bouc-Wen模型的参数，需要将该模型的线性分量与滞后分量分离，
并且线性和滞后分量的参数可以通过利用拉普拉斯变换的终值定理和最小二乘法确定。
线性分量的参数辨识方法：
当施加电压不高于额定电压的1/20时，PA可近似认为是线性系统，
即d=0。在此基础上，根据式（3）和式（4），零初始条件下的广义Bouc-Wen模型的传递函数可简化为：
G（s）=X
（s）U（s）=k1
1τs+1ms2+cs+k
（5）
0
0
0
故有单位阶跃响应的拉普拉斯变换为：
G（k11ss）=1sG（s）=1sτs+1ms2
+cs（6）
0
0
+k
0
令g（t）是单位阶跃响应，由式（5），利用拉普拉斯变换的终值定理可得：
Kk0
0=limt→∞
g（t）=limt→∞
sG（s）=
k（7）
1
t
式中：K0—g（t）稳态值。定义：g1（t）=［K0-g（ζ）］dζ
（8）
0
乙由式（6）和式（8）得：L［g1（t）］=1s
2［K0-G（s）］=G1（s）（9）
由等式（6）和式（9）得：K1=limt→∞
g1（t）=K0（k0τ+m0）（10）
同理，可得到一组方程：K2=K1（k0τ+c0）-K0（c0τ+m0）（11）K3=K2（k0τ+c0）-K1（c0τ+m0）+K0m0τ（12）
由以上可得方程组：
0000Kk1
0=
0k00
000K01=K0（k0τ+m0）
（13）
000K（k02=K10τ+c0）-K0（c0τ+m0）000
K3=K2（k0τ+c0）-K1（c0τ+m0）+K0m0τ
其中k1是g（i）t
（i=0，1，2，3）稳态值，可以通过PA的阶跃响应获得。等式（12）中包含需要辨识的五个参数（m0，c0，k0，k1和τ）。如果通过实验获得PA的阶跃响应，即可通过计算获得Ki（i=
0，1，2，3），则通过求解方程（13）可得参数m0，c0，k0，k1和τ。
在足够低的输入频率下，可认为是PA的准静态条件，且PA输出位移的变化较慢。因此，式（3）中的速度项和加速度-t项很小，τ
可忽略不计。同时频率因子对PA的影响也很小，即eτ
≈1，则
广义Bouc-Wen模型可写为：
k0（x-x0）=k1u+d（14）
d觶=Au觶-β觶dn-1
u
d-γu
觶dn
（15）
No.3Mar.2019
机械设计与制造
觶-δudi
N2Σi=1lndilnA-i
觶N2
137
当输入电压为0时，可认为是PA的零初始条件。根据逆压电效应，当输入电压消失足够的时间时，PA将返回零初始状态，22这对于不同的PA是不同的。在零初始条件下，当施加小于1Hz频率的电压u（t）时，有x0=0，令d=0，则有：
x-k1
ku（t）=0（16）
0
假设（u+，x+）和（u-，x-）是式（16）的解。当在第（ii=1，2，…，N1）周期中u>0或u<0时，由式（14）和（16），得：
x觶=（Ak1+i+k）u觶++δiu+（17）0x觶-=（Aki+1k）u觶-+δiu-（18）
0其中Ai和δi是用来表示用第i个周期中的实验数据辨识的
A和δ的值。由式（17）和式（18），可得：
Ax觶+u-+x觶-u+
i＝
-k1
（19）
u
觶u+u觶-uk+-+
0δx+u-+x觶-u+
i-
觶（20）
u
觶+u-+u觶-u+根据最小二乘法可得到参数A和δ：N1
A=1
NΣA（21）1i=1
i
Nδ=1NΣ1
δ
（22）
1
i=1
i
当u觶（t）>0时，考虑一组点u1，…，ui，…，uN（2
t）（i=1，2，…，N2）
中相应的滞后力，确保相应的滞后力d1，…，di，…，dN（2
i=1，2，
…，N2）大于零。等式（14）可写为：
Σ
ΣΣd觶Σ1-δu1
Σ=A-（β+γ）dnΣΣΣu
觶1
1
ΣΣΣ…
ΣΣΣΣΣd觶Σi-δui
Σ=A-（β+γ）dnu
觶i
（23）
ΣΣΣi
ΣΣΣ…ΣΣΣΣd觶N2
-δuN
n
Σ2
Σ=A-（β+γ）dΣΣΣ
u觶N
2
N
2
令β+γ>0，则有：
Σ
ΣΣΣd觶1-δu1
Σln=nlndΣ1=ln（β+γ）Σ2A-Σu
觶1
2ΣΣΣ…
ΣΣΣΣΣd觶2ΣlnA-i-δui
=nlndu
觶i=ln（β+γ）（24）
ΣΣ2Σi
2ΣΣΣ…
ΣΣΣΣΣΣlnA-
d觶N2
-δuN
2
nlnd（β+γ）
Σu觶N2
+lnΣΣ
2N
2=2
同理，可得：
n=
u
i
-
NΣN2
2
N2
（lnd2
2i=1（lndi）-（Σi=1i））
ΣN2N2
i=1lndiΣi=1ln2A-d觶i-δui
u
觶i
2（25）
NN2
d2
N2
2
2Σi=1（lni）-（Σi=1（lndi））
（ΣN2
i=1ln（A-（觶di-δu）i/觶uβ+γ=e
i）/N2
（26）
当u觶（t）<0时，考虑一组点uN2
+1，…，uN2
+i，…，u2N（2
i=1，…，i，…，N2）中相应的滞后力，确保相应滞后力dN2
+1，…，dN2
+i，…，d2N
2
i=1，…，i，…，N2）大于零。
令-β+γ>0，同理，可得：（-β+γ=e
ΣN2
i=1ln（A-（（觶dN2
+δuN2+i）/觶uN2+i））-nlndN2+i）/N2（27）
联立等式（26）和式（27）可得：（N2
β=1［e
Σi=1ln（A-（（di+δui）/觶u）i-nlndi）
/N22
-（ΣN2
Ne
i=1ln（A-（（觶d2+δuN2+i）/觶uN2+i）
）-nlndN2+i）/N2］（28）
（-nlndγ=1ΣN2
i=1ln（A-（（di+δui）/觶u）ii）
/N22
［e+（ΣN2
2
i=1ln（A-（（觶dN2+δuN2+i）/觶uN2+i）
）-ne
ΣNi=1nlndN2+i）/N2］
（29）
根据式（21），式（22），式（25），式（28）和式（29），可以辨识出参数A，δ，β，γ，n。
3基于线性化反馈的滑模控制
滑模变结构控制是非线性系统中普遍采用的一种分析方法，其显著优点是对于不确定参数和外界干扰具有强鲁棒性，因此在航空航天、机器人控制以及化工控制等领域具有广泛的应
用。
对于传统的滑模控制器，切换函数中的参数通常被设计成特定的常数。但是，对于非线性、不确定系统来说，如何选择这些
参数显得十分重要，因为参数选择的好坏直接影响着机构的轨迹追踪精度[10]。双光子聚合加工系统为二阶非线性不确定系统：
x咬=（fx，t）+g（x，t）+d（t）
（30）
其中，（fx，t）=-（c-t/τ
0+k0x）/m0，g（x，t）=（k1/m0τ）e，d（t）为干
扰，d（t）燮D。
理想角度信号为xd，则误差为e=x-xd，取滑模函数为：
s（x，t）=ce+e觶（31）
其中，c>0。
根据线性化反馈理论，设计滑模控制器为：
u=v-f
（x，t）g（x，t）
（32）v咬=x咬d
-ce觶-ηsgn（s），η>D（33）
（138
机械设计与制造
No.3
Mar.2019
定义Lyapunov函数为：V=12
2
s
（34）则有：V觶=ss觶=s（（fx，t）+g（x，t）u+d（t）-x咬d+ce）（35）
将控制律式（33）代入上式可得：V觶=s（-ηsgn（s）+d（t））=-ηs+d（t）燮0
（36）
4广义Bouc-Wen模型的模型验证
4.1参数的辨识结果
PA的基本技术参数，如表1所示。根据2.2节中提出的参数辨识方法及图3的实验数据，可以得到广义Bouc-Wen模型的参数如下：
m0=0.064kg，k0=6.92N/μm，k1=1.26N/V，c-1
-1
0=61.45N·s·m，τ=0.0002，A=-0.65，δ=-0.024，n=1.045，β=0.075，γ=-0.035
表1PA技术参数
Tab.1PATechnicalParameters
PA参数尺寸5×5×12mm型号40VS12应用电压（0~200）V输出位移（0~36）μm等效电容
3.6μF
2.7
1.8
m）μ移（位0.9
0
00.5
时间（s）
1
×101.5
-3
（a）在施加10V电压时的阶跃响应
108m）6移（μ位4200
50
电压（V）
100
150
（b）1Hz时的磁滞曲线
图3用于辨识模型参数的PA的实验数据
Fig.3ExperimentalDataforthePAUsedtoIdentifyModelParameters
4.2结果与讨论
利用得到的广义Bouc-Wen模型所辨识的参数如下：m0=0.064kg，k0=6.92N/μm，k1=1.26N/V，c-1
-1
0=61.45N·s·m，τ=0.0002，A=-0.65，δ=-0.024，n=1.045，β=0.075，γ=-0.035
建立PA较为准确的驱动器模型，其中电压是输入，位移是输出。由于原模型的跟踪误差比较大，而对根据上述基于线性化反馈
滑模控制理论，在所辨识参数的条件下对PA的广义Bouc-Wen模型所建立的控制器进行仿真，其仿真结果，如图4所示。（20~100）Hz的各种输入频率下，正弦变化的输入电压及其相应的建模误差，如图5所示。最大绝对控制误差，如表2所示。这些曲线显示，该模型可在相对高的驱动电压下预测PA高达100Hz的频率相关性，但是传统的Bouc-Wen模型不具有这种能力，且与基于传统的控制结果相比，使用广义Bouc-Wen模型的控制系统可以显著提高PA的位移控制精度。仿真结果表明将滑模变结构的控制算法用于PA的控制具有可行性且具有很强的鲁棒性和自适应能力。
2m）理想位移信号
μ跟踪信号
移（0
位-2010
时间（ms）
2030
2s）m理想速度信号
/m0
跟踪信号
度（μ速-2
010
时间（ms）
2030
（a）20Hz
2m）理想位移信号
μ跟踪信号
移（0
位-2
010
时间（ms）
2030
s）2m理想速度信号
/mμ0
跟踪信号
度（速-2
010
时间（ms）
2030
（b）60Hz
2m）理想位移信号
跟踪信号
移（μ0位-2010
时间（ms）
2030
2s）m理想速度信号
/m跟踪信号
μ0
度（速-20
10
时间（ms）
2030
（c）100Hz
图4位移和速度跟踪
Fig.4PositionandVelocityTracking
表2最大绝对控制误差
Tab.2MaximumAbsoluteControlError
期望最大绝对控制误差（μm）位移传统Bouc-Wen模型广义Bouc-Wen模型
20Hz1.040.09100Hz
1.250.21
No.3Mar.2019
0.6
传统Bounc-Wen模型
0.4位移误差（μm）0.20
广义Bounc-Wen模型
机械设计与制造139
采用广义Bouc-Wen模型对PA进行建模，并使用相应的参数辨识方法对广义Bouc-Wen模型进行参数辨识，以获得PA的特定以此为基础，采用基于线性化反馈的滑模控制器对模型。然后，
PA进行实时控制，以改善PA的滞后性，最后采用MATLAB进行仿真。其结果验证了模型的有效性，表明该控制方法能够实时准确地控制PA的位移且显著提高了PA的位移控制精度。说明该控制器具有良好的表现且有很强的鲁棒性和自适应能力，系统无明显的抖振现象，运动趋于稳定，进而可显著提高了双光子聚合加工系统的定位精度。
-0.2-0.4
020
4060
电压（V）
80100
（a）20Hz
5
传统Bounc-Wen模型广义Bounc-Wen模型
位移误差（μm）参考文献
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）200.
0
-5
020
4060
（V）电压
80100
（b）60Hz
32位移误差（μm）10-1-2-3-40
20
传统Bounc-Wen模型广义Bounc-Wen模型4060（V）电压
80
100
（c）100Hz
图5模拟结果的位移误差
Fig.5DisplacementErrorofSimulationResults
5结论
为了模拟具有不对称性PA的滞后特性和频率相关性，主要
（上接第134页）
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!计与制造，2012（7）：159-161.
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