龙凤区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

龙凤区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|A．﹣1 B．1

C．﹣

D．

|=

，则

•

=（ ）



2． 已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），若f（1）＝1，f（b）＝－3，则f（5－b）＝（ ） 1

log，x＞1x＋1

a

ax－1，x≤1

1A．－

43C．－

4有（ ）

1B．－

25D．－

4

D．0条

）=（ ）

3． 过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8，这样的直线l一共A．3条 B．2条 C．1条

4． 如图，正六边形ABCDEF中，AB=2，则（﹣）•（

A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6

5． 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是 A、2865 B、3065

C、56125 D、 60125

6． 已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,6，B1,3,5,7，则A7． 下列命题的说法错误的是（ ）

A．若复合命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题 B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件

C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”

8． 若函数y=x2+（2a﹣1）x+1在区间（﹣∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）

+

(ðUB)（ ）

A．2,4,6 B．1,3,5 C．2,4,5 D．2,5

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精选高中模拟试卷

A．[﹣，+∞） B．（﹣∞，﹣] C．[，+∞） D．（﹣∞，]

9． 已知全集为R，集合Ax|x2或x3，B2,0,2,4，则(ðRA)10．函数y=ax+1（a＞0且a≠1）图象恒过定点（ ） A．（0，1） 11．复数z=A．第一象限 12．为得到函数A．向左平移C．向左平移

个长度单位 个长度单位

B．（2，1）

C．（2，0）

B（ ）

A．2,0,2 B．2,2,4 C．2,0,3 D．0,2,4

D．（0，2）

在复平面上对应的点位于（ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）

B．向右平移D．向右平移

个长度单位 个长度单位

二、填空题

x13．【2017-2018学年度第一学期如皋市高三年级第一次联考】已知函数fxe2的底数，则不等式fx2fx40的解集为________．

1，其中e为自然对数xe14．若复数z1,z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z12i，则复数（ ）

z1在复平面内对应的点在2|z1|z2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力． 15．在△ABC中，已知

=2，b=2a，那么cosB的值是 ．

16．对于映射f：A→B，若A中的不同元素有不同的象，且B中的每一个元素都有原象，则称f：A→B为一一映射，若存在对应关系Φ，使A到B成为一一映射，则称A到B具有相同的势，给出下列命题： ①A是奇数集，B是偶数集，则A和B具有相同的势；

②A是平面直角坐标系内所有点形成的集合，B是复数集，则A和B不具有相同的势； ③若区间A=（﹣1，1），B=R，则A和B具有相同的势． 其中正确命题的序号是 ．

17．在等差数列{an}中，a12016，其前n项和为Sn，若

S10S82，则S2016的值等于 . 108【命题意图】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式，对等差数列性质也有较高要求，属于中等难度.

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18．已知sinα+cosα=，且＜α＜，则sinα﹣cosα的值为 ．

三、解答题

19．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，AD=1，A1A=1， （1）求证：直线BC1∥平面D1AC； （2）求直线BC1到平面D1AC的距离．

20．已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3n（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列． （1）求p的值及数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足bn=

21．设0＜a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B． （1）求集合D（用区间表示）

32

（2）求函数f（x）=2x﹣3（1+a）x+6ax在D内的极值点．

，证明bn≤．

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22．从5名女同学和4名男同学中选出4人参加演讲比赛， （1）男、女同学各2名，有多少种不同选法？

（2）男、女同学分别至少有1名，且男同学甲与女同学乙不能同时选出，有多少种不同选法？

23．（本小题满分12分）已知A2,1,B0,2且过点P1,1的直线与线段AB有公共点, 求直 线的斜率的取值范围.

24．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AB的中点．

（I）求证：平面BCE⊥平面A1ABB1； （II）求证：EF∥平面B1BCC1； （III）求四棱锥B﹣A1ACC1的体积．

，E，F分别是A1C1，

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龙凤区第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由A，B是以O为圆心的单位圆上的动点，且|即有|则即有

，•|2+|

|2=|

|2，

可得△OAB为等腰直角三角形，

的夹角为45°， =|

|•|

|•cos45°=1×

×

=1．

|=

，

故选：B．

【点评】本题考查向量的数量积的定义，运用勾股定理的逆定理得到向量的夹角是解题的关键．

2． 【答案】

【解析】解析：选C.由题意得a－1＝1，∴a＝2. 若b≤1，则2b－1＝－3，即2b＝－2，无解．

111

∴b＞1，即有log2＝－3，∴＝，∴b＝7.

b＋1b＋18

3

∴f（5－b）＝f（－2）＝2－2－1＝－，故选C.

43． 【答案】C 设直线l的方程为：则

．

【解析】解：假设存在过点P（﹣2，2）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为8，

，

即2a﹣2b=ab

直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积S=﹣ab=8， 即ab=﹣16， 联立

，

，

解得：a=﹣4，b=4． ∴直线l的方程为：即x﹣y+4=0， 故选：C

即这样的直线有且只有一条，

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【点评】本题考查了直线的截距式、三角形的面积计算公式，属于基础题．

4． 【答案】D

【解析】解：根据正六边形的边的关系及内角的大小便得：

=

2+2=6． 故选：D．

=

=2+4﹣

【点评】考查正六边形的内角大小，以及对边的关系，相等向量，以及数量积的运算公式．

5． 【答案】B

【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥， 所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。 利用垂直关系和三角形面积公式，可得：

S底10,S后10,S右10,S左65，

因此该几何体表面积S3065，故选B． 6． 【答案】A

考点：集合交集，并集和补集．

【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.

7． 【答案】A

【解析】解：A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确； B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确； C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确． 故选：A．

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8． 【答案】B

2

【解析】解：∵函数y=x+（2a﹣1）x+1的图象是方向朝上，以直线x=

为对称轴的抛物线

又∵函数在区间（﹣∞，2]上是减函数， 故2≤解得a≤﹣ 故选B．

9． 【答案】A 【解析】

考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 10．【答案】D

0

【解析】解：令x=0，则函数f（0）=a+3=1+1=2． x

∴函数f（x）=a+1的图象必过定点（0，2）．

故选：D．

0

【点评】本题考查了指数函数的性质和a=1（a＞0且a≠1），属于基础题．

11．【答案】A

【解析】解：∵z===+i，

∴复数z在复平面上对应的点位于第一象限． 故选A．

【点评】本题考查复数的乘除运算，考查复数与复平面上的点的对应，是一个基础题，在解题过程中，注意复数是数形结合的典型工具．

12．【答案】A

【解析】解：∵

，

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只需将函数y=sin2x的图象向左平移故选A．

个单位得到函数

的图象．

【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．

二、填空题

13．【答案】3，2

x【解析】∵fxexx又∵fxee11x1x,xR，∴fxeexfx，即函数fx为奇函数，xexee0恒成立，故函数fx在R上单调递增，不等式fx2fx240可转化为

fx2f4x2，即x24x2，解得：3x2，即不等式fx2fx240的解集为

2，故答案为3，2. 3，14．【答案】D 【

解

析

】

15．【答案】

【解析】解：∵b=2a， ∴

∴cosB=． 故答案为：．

【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

16．【答案】 ①③ ．

【解析】解：根据一一映射的定义，集合A={奇数}→B={偶数}，不妨给出对应法则加1．则A→B是一一映射，故①正确；

对②设Z点的坐标（a，b），则Z点对应复数a+bi，a、b∈R，复合一一映射的定义，故②不正确；

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．

=2，由正弦定理可得：

，即c=2a．

==．

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对③，给出对应法则y=tan③正确． 故选：①③

x，对于A，B两集合可形成f：A→B的一一映射，则A、B具有相同的势；∴

【点评】本题借助考查命题的真假判断，考查一一映射的定义，属于基础题型，考查考生对新定义题的理解与应用能力．

17．【答案】2016

18．【答案】

【解析】解：∵sinα+cosα=

22

∴sinα+2sinαcosα+cosα=

．

，， ，

＜α＜

，

∴2sinαcosα=且sinα＞cosα， ∴sinα﹣cosα==

故答案为：

．

=

﹣1=

．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）因为ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，故AB∥C1D1，AB=C1D1， 故ABC1D1为平行四边形，故BC1∥AD1，显然B不在平面D1AC上， 故 直线BC1平行于平面DA1C；

（2）直线BC1到平面D1AC的距离即为点B到平面D1AC的距离（设为h） 以△ABC为底面的三棱锥D1﹣ABC的体积V，可得而△AD1C中，

，故

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所以以△AD1C为底面的三棱锥B﹣﹣AD1C的体积即直线BC1到平面D1AC的距离为．

，

【点评】本题考查了线面平行的判定定理，考查线面的距离以及数形结合思想，是一道中档题．

20．【答案】

n*

【解析】（1）解：∵数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3（n∈N，p为常数），

∴a2=3+3p，a3=3+12p，

∵a1，a2+6，a3成等差数列．∴2a2+12=a1+a3，即18+6p=6+12p 解得p=2．

n

∵an+1=an+p•3，

2n1

∴a2﹣a1=2•3，a3﹣a2=2•3，…，an﹣an﹣1=2•3﹣，

将这些式子全加起来 得 an﹣a1=3n﹣3，

n

∴an=3．

（2）证明：∵{bn}满足bn=设f（x）=

，则f′（x）=

，∴bn=．

，x∈N，

*

令f′（x）=0，得x=当x∈（0，

∈（1，2）

，+∞）时，f′（x）＜0，

）时，f′（x）＞0；当x∈（

且f（1）=，f（2）=，

*

∴f（x）max=f（2）=，x∈N．

∴bn≤．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．

21．【答案】

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【解析】解：（1）令g（x）=2x﹣3（1+a）x+6a，△=9（1+a）﹣48a=9a﹣30a+9=3（3a﹣1）（a﹣3）．

2

2

2

①当时，△≥0，

，

方程g（x）=0的两个根分别为所以g（x）＞0的解集为因为x1，x2＞0，所以D=A∩B=②当综上所述，当当

时，△＜0，则g（x）＞0恒成立，所以D=A∩B=（0，+∞）

时，D=

；

时，D=（0，+∞）．

2

（2）f′（x）=6x﹣6（1+a）x+6a=6（x﹣a）（x﹣1）， 令f′（x）=0，得x=a或x=1， ①当

时，由（1）知D=（0，x1）∪（x2，+∞）

2

因为g（a）=2a﹣3（1+a）a+6a=a（3﹣a）＞0，g（1）=2﹣3（1+a）+6a=3a﹣1≤0

所以0＜a＜x1＜1≤x2，

所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表： x a （0，a） （a，x1） （x2，+∞） + 0 + f′（x） ﹣ f（x） ↗ 极大值 ↘ ↗ 所以f（x）的极大值点为x=a，没有极小值点． ②当

时，由（1）知D=（0，+∞）

1 0 极小值 （1，+∞） + ↗ 所以f′（x），f（x）随x的变化情况如下表： x a （0，a） （a，1） f′（x） f（x） 综上所述，当当

+ ↗ 0 极大值 ﹣ ↘ 所以f（x）的极大值点为x=a，极小值点为x=1 时，f（x）有一个极大值点x=a，没有极小值点；

时，f（x）有一个极大值点x=a，一个极小值点x=1．

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22．【答案】

22

【解析】解：（1）男、女同学各2名的选法有C4×C5=6×10=60种；

（2）“男、女同学分别至少有1名”包括有“一男三女”，“二男二女”，“三男一女”，

132231

故选人种数为C4×C5+C4×C5+C4×C5=40+60+20=120．

男同学甲与女同学乙同时选出的种数，由于已有两人，故再选两人即可，此两人可能是两男，一男一女，两女，

2112

故总的选法有C3+C4×C3+C4=21，

故有120﹣21=99．

23．【答案】k3或k2. 【解析】

试题分析：根据两点的斜率公式，求得kPA2，kPB3，结合图形，即可求解直线的斜率的取值范围.

11122，kPB3 1210所以，由图可知，过点P1,1的直线与线段AB有公共点,

试题解析：由已知，kPA所以直线的斜率的取值范围是:k3或k2.

考点：直线的斜率公式. 24．【答案】 所以，BB1⊥BC．

【解析】（I）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

又因为AB⊥BC且AB∩BB1=B， 所以，BC⊥平面A1ABB1． 因为BC⊂平面BCE，

所以，平面BCE⊥平面A1ABB1．

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（II）证明：取BC的中点D，连接C1D，FD． 因为E，F分别是A1C1，AB的中点， 所以，FD∥AC且

．

，AB⊥BC

．

．

因为AC∥A1C1且AC=A1C1， 所以，FD∥EC1且 FD=EC1． 所以，四边形FDC1E是平行四边形． 所以，EF∥C1D．

又因为C1D⊂平面B1BCC1，EF⊄平面B1BCC1， 所以，EF∥平面B1BCC1． （III）解：因为所以，

过点B作BG⊥AC于点G，则

因为，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AA1⊂平面A1ACC1 所以，平面A1ACC1⊥底面ABC． 所以，BG⊥平面A1ACC1． 所以，四棱锥B﹣A1ACC1的体积

．

【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．

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