九龙县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2） A．有最大值

B． D．上是减函数，那么b+c（ ）

C．有最小值

D．有最小值﹣

B．有最大值﹣

2． 已知命题p：2≤2，命题q：∃x0∈R，使得x02+2x0+2=0，则下列命题是真命题的是（ ） A．￢p B．￢p∨q

C．p∧q D．p∨q

3． 已知α∈（0，π），且sinα+cosα=，则tanα=（ ） A．

B．

C．

D．

4． 在如图5×5的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z的值为（ ） 1 2 0.5 1 x y z A．1 B．2 C．3 D．4

5． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若面积的最大值为4A．等腰三角形

，则此时△ABC的形状为（ ） B．正三角形 C．直角三角形

D．钝角三角形

（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=8，且△ABC的

6． 已知f（x）在R上是奇函数，且f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（7）=（ ） A．﹣2 B．2 C．﹣98 D．98

7． sin（﹣510°）=（ ） A．

B．

C．﹣ D．﹣

8． 设函数yf(x)对一切实数x都满足f(3x)f(3x)，且方程f(x)0恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为（ ）

A.18 B.12 C.9

D.0

【命题意图】本题考查抽象函数的对称性与函数和方程等基础知识，意在考查运算求解能力. 9． 已知全集为R，集合Ax|x2或x3，B2,0,2,4，则(ðRA)B（ ）

A．2,0,2 B．2,2,4 C．2,0,3 D．0,2,4

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10．函数f（x）=（）x2﹣9的单调递减区间为（ ） A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） 11．点A是椭圆

C．（﹣9，+∞） D．（﹣∞，﹣9）

上一点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，I是△AF1F2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）

A．

B．

C．

D．

12．下列哪组中的两个函数是相等函数（ ） A．fx=x，gx44x44x24,gxx2 B．fx=x2C．fx1,gx1,x033 D．fx=x，gxx 1,x0二、填空题

2213．已知x，y为实数，代数式1(y2)9(3x)x2y2的最小值是 .

【命题意图】本题考查两点之间距离公式的运用基础知识，意在考查构造的数学思想与运算求解能力. 14．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边CD上，若在平行四边形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率是 ．

15．在△ABC中，若角A为锐角，且=（2，3），=（3，m），则实数m的取值范围是 ．

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）

①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC的最小值为3

③tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数 ④若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45° ⑤当

tanB﹣1=

2

时，则sinC≥sinA•sinB．

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yxy22xy3x217．已知x,y满足xy4，则的取值范围为____________. 2xx122

18．0） 已知一个动圆与圆C：（x+4）+y=100相内切，且过点A（4，，则动圆圆心的轨迹方程 ．

三、解答题

19．2008年奥运会在中国举行，某商场预计2008年从1日起前x个月，顾客对某种奥运商品的需求总量p（x）件与月份x的近似关系是

月份x的近似关系是q（x）=150+2x，（x∈N*且x≤12）． （1）写出今年第x月的需求量f（x）件与月份x的函数关系式； 利润预计最大是多少元？

20．（本题满分15分）

如图，已知长方形ABCD中，将ADM沿AM折起，使得平面ADMM为DC的中点，AB2，AD1，平面ABCM．

（1）求证：ADBM；

（2）若DEDB(01)，当二面角EAMD大小为

且x≤12），该商品的进价q（x）元与

（2）该商品每件的售价为185元，若不计其他费用且每月都能满足市场需求，则此商场今年销售该商品的月

时，求的值． 3第 3 页，共 19 页

【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．

21．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

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22．已知：函数f（x）=log2

，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．

（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点； （2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．

23．（本小题满分12分）一直线被两直线l1:4xy60,l2:3x5y60截得线段的中点是P 点, 当P点为0,0时, 求此直线方程.

24．已知函数f（x）=lnx﹣ax+（a∈R）．

（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，求a的取值范围．

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九龙县第二高级中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：由f（x）在上是减函数，知 f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈， 则

⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣故选B．

2． 【答案】D

【解析】解：命题p：2≤2是真命题，

2

方程x+2x+2=0无实根，

2

故命题q：∃x0∈R，使得x0+2x0+2=0是假命题，

．

故命题￢p，￢p∨q，p∧q是假命题， 命题p∨q是真命题， 故选：D

3． 【答案】D

2

【解析】解：将sinα+cosα=①两边平方得：（sinα+cosα）=1+2sinαcosα=

，即2sinαcosα=﹣＜0，

∵0＜α＜π，∴＜α＜π，

∴sinα﹣cosα＞0，

2

∴（sinα﹣cosα）=1﹣2sinαcosα=

，即sinα﹣cosα=②，

联立①②解得：sinα=，cosα=﹣， 则tanα=﹣． 故选：D．

4． 【答案】A

【解析】解：因为每一纵列成等比数列， 所以第一列的第3，4，5个数分别是，，

．

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第三列的第3，4，5个数分别是，，．

又因为每一横行成等差数列，第四行的第1、3个数分别为，， 所以y=

，

，．

第5行的第1、3个数分别为所以z=

．

+

=1．

所以x+y+z=+故选：A．

【点评】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力．

5． 【答案】A 【解析】解：∵∴∴

（acosB+bcosA）=2csinC，

2

（sinAcosB+sinBcosA）=2sinC，

sinC=2sin2C，且sinC＞0，

，

，解得：ab≤16，（当且仅当a=b=4成立）

=4

，

∴sinC=

∵a+b=8，可得：8≥2

∵△ABC的面积的最大值S△ABC=absinC≤∴a=b=4，

则此时△ABC的形状为等腰三角形． 故选：A．

6． 【答案】A

【解析】解：因为f（x+4）=f（x），故函数的周期是4 所以f（7）=f（3）=f（﹣1）， 又f（x）在R上是奇函数，

2

所以f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2×1=﹣2，

故选A．

【点评】本题考查函数的奇偶性与周期性．

7． 【答案】C

【解析】解：sin（﹣510°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣，

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故选：C．

8． 【答案】A.

【解析】f(3x)f(3x)f(x)f(6x)，∴f(x)的图象关于直线x3对称， ∴6个实根的和为3618，故选A. 9． 【答案】A 【解析】

考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集. 10．【答案】B

【解析】解：原函数是由t=x与y=（

2

）﹣9复合而成，

t

∵t=x2在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，+∞）为增函数； 又y=（

t

）﹣9其定义域上为减函数，

x2

∴f（x）=（）﹣9在（﹣∞，0）上是增函数，在（0，+∞）为减函数， ∴函数ff（x）=（）﹣9的单调递减区间是（0，+∞）．

x2

故选：B．

【点评】本题考查复合函数的单调性，讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断是关键．

11．【答案】B

【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则 S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r， ∵

∴|AF1|r=2

×|F1F2|r﹣|AF2|r，

|F1F2|．∴a=2=

．

， ，

整理，得|AF1|+|AF2|=2∴椭圆的离心率e==故选：B．

12．【答案】D111]

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【解析】

考

点：相等函数的概念.

二、填空题

13．【答案】41. 【

解

析

】

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14．【答案】

．

【解析】解：由题意△ABE的面积是平行四边形ABCD的一半， 由几何概型的计算方法，

可以得出所求事件的概率为P=， 故答案为：．

【点评】本题主要考查了几何概型，解决此类问题的关键是弄清几何测度，属于基础题．

15．【答案】

【解析】解：由于角A为锐角， ∴

且

不共线，

．

．

．

．

∴6+3m＞0且2m≠9，解得m＞﹣2且m∴实数m的取值范围是故答案为：

【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量共线的条件，是基础题．

16．【答案】 ①④⑤

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【解析】解：由题意知：A≠，B≠，C≠，且A+B+C=π

∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC， 又∵tan（A+B）=

，

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC， 即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确； 当A=

，B=C=

时，tanA+tanB+tanC=

＜3

，故②错误；

若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；

3

由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tanA=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；

当tanB﹣1=

，

时， tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC= ，C=60°，

2

此时sinC=

sinA•sinB=sinA•sin=sinA•（120°﹣A）（cos2A=

sin（2A﹣30°）

≤

，

cosA+sinA）=sinAcosA+

sin2A=

sin2A+﹣

2

则sinC≥sinA•sinB．故⑤正确；

故答案为：①④⑤

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．

17．【答案】2,6 【解析】

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考点：简单的线性规划．

【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数

22的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1）xy表示点

x,y与原点0,0的距离；（2）xaybyb22表示点x,y与点a,b间的距离；（3）

y可表示点xx,y与0,0点连线的斜率；（4）xa表示点x,y与点a,b连线的斜率.

18．【答案】

+

=1 ．

【解析】解：设动圆圆心为B，半径为r，圆B与圆C的切点为D，

22

∵圆C：（x+4）+y=100的圆心为C（﹣4，0），半径R=10，

∴由动圆B与圆C相内切，可得|CB|=R﹣r=10﹣|BD|， ∵圆B经过点A（4，0），

∴|BD|=|BA|，得|CB|=10﹣|BA|，可得|BA|+|BC|=10， ∵|AC|=8＜10，

∴点B的轨迹是以A、C为焦点的椭圆， 设方程为

（a＞b＞0），可得2a=10，c=4，

+

=1．

222

∴a=5，b=a﹣c=9，得该椭圆的方程为

故答案为： +=1．

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三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）当x=1时，f（1）=p（1）=37. 当2≤x≤12时，

且x≤12）

（舍

22

验证x=1符合f（x）=﹣3x+40x，∴f（x）=﹣3x+40x（x∈N*且x≤12）．该商场预计销售该商品的月利润为

g（x）=（﹣3x2+40x）（185﹣150﹣2x）=6x3﹣185x2+1400x，（x∈N*且x≤12），

322

令h（x）=6x﹣185x+1400x（1≤x≤12），h'（x）=18x﹣370x+1400，令h'（x）=0，解得

去）．＞0；当5＜x≤12时，h'（x）＜0． 综上，5月份的月利润最大是3125元.

∴当x=5时，h（x）取最大值h（5）=3125．max=g（5）=3125（元）．

【点评】本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．

20．【答案】（1）详见解析；（2）233.

【解析】（1）由于AB2，AMBM2，则BMAM，

又∵平面ADM平面ABCM，平面ADM平面ABCM＝AM，BM平面ABCM， ∴BM平面ADM，…………3分

又∵AD平面ADM，∴有ADBM；……………6分

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21．【答案】

【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3， 第4组的频率为0.04×5=0.2， 第5组的频率为0.02×5=0.1； （2）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20， 第5组的人数为0.1×100=10； 因为第3，4，5组共有60名志愿者，

所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，

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每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；

应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．

（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6； 在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6）， （4，5），（4，6）， （5，6）；

共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种， 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

．

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．

22．【答案】 【解析】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2=log2（1﹣∵y=1﹣

）+2x；

在（1，+∞）上是增函数，

+2x，

故y=log2（1﹣

）在（1，+∞）上是增函数；

又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数； ∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增； 而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0， h（2）=﹣log23+4＞0；

同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；

故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，

同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点， 故函数h（x）有两个零点；

（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为 1﹣故a=

=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；

；

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结合函数a=

＜a＜0；

即﹣1＜a＜0．

的图象可得，

【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．

23．【答案】y【解析】

1x． 6试题分析：设所求直线与两直线l1,l2分别交于Ax1,y1,Bx2,y2,根据因为Ax1,y1,Bx2,y2分别在直线

l1,l2上，列出方程组，求解x1,y1的值，即可求解直线的方程. 1

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考点：直线方程的求解. 24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx﹣x+， ∴f（1）=1， ∴切点为（1，1） ∵f′（x）=﹣1﹣∴f′（1）=﹣2，

∴切线方程为y﹣1=﹣2（x﹣1）， 即2x+y﹣3=0；

（Ⅱ）f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=

， =

，

若函数y=f（x）在定义域内存在两个极值点，

2

则g（x）=ax﹣x+2在（0，+∞）2个解，

故，

解得：0＜a＜．

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