导数与解析几何大题解题技巧

参考资料一： 不等式恒成立问题中的参数求法

已知含参数不等式恒成立求其中参数取值范围问题是高考热点，这里汇集了这类问题的通法和巧法，包括直接求导法、二次求导法、特值压缩法、分离lnx法、重构函数法、解不等式法、设而不求法等，都是高考压轴题最常用到的方法.

一、

直接求导法

1xaxe1恒成立，求a的取值范围. 1x题目：当x(0,1)时，f(x)分析：注意exf(x)型函数不分离最好,这里f(x)是有理函数,它的导数为

[exf(x)]exf(x)exf(x)ex[f(x)f(x)]，这里f(x)f(x)是有理函数，容易

讨论其性质.

解：f(x)(1xax1xax21xaxax)e(e)ee(a) 21x1x(1x)1xeax2a(1x2)ax22aax2a(1x)ax[]e[]e， 2222(1x)1x(1x)(1x)(1x)2由ax2a可知，我们可以按照二次函数的讨论要求处理，比较复杂，

于是可以考虑分离参数a，

222即ax2aa(x1)2(x1)(a222)(x1)(a)， 22x11x注意到当x(0,1)时，

2(2,)，所以当a2时，f(x)0，f(x)是增函数，1x2所以f(x)f(0)1，

a2a2ax22aax当a2时，f(x)可解得，即当时，0x0xe0aa(1x)2f(x)是减函数，所以f(x)f(0)1，不合题意.

综上，a的取值范围(,2].

二、二次求导法

题目：当x0时，f(x)ex1xax20恒成立，求a的取值范围.

分析：f(x)kexax2bxc型函数一般用到二次求导法.

解:f(x)ex12ax，

xf(x)e2，a

因为x0，所以ex1，

当2a1即a1时，f(x)0，f(x)是增函数，所以f(x)f(0)0，所以f(x)是2增函数，所以f(x)f(0)0；

当2a1即a1时，则当0xln(2a)时，f(x)0，f(x)是减函数，所以2f(x)f(0)0，所以f(x)是减函数，所以f(x)f(0)0.

所以a的取值范围(,].

12三、特值压缩法

题目：当x2时，f(x)2ke(x1)x4x20恒成立，求k的取值范围. 分析：特值法先压缩参数范围，可以大大减少讨论步骤，但是这是一个特殊方法，不被重视.

x2f(2)2ke2(21)(2)24(2)20解：由得 02f(0)2ke(01)040202ke220得1ke2， 2k20f(x)2k[ex(x1)ex]2x42(x2)(kex1)，

x当1ke2时，由f(x)2(x2)(kex1)0得e11[e2,1]xln[2,0]， kk2当ke时，显然当x2时，f(x)0，f(x)为增函数，从而f(x)f(2)0，

2当1ke时，则ln1(2,0]，所以 k当x(2,ln)时，f(x)0，f(x)为减函数，

1k当x(ln1,)时，f(x)0，f(x)为增函数， k1ln11121所以f(x)的最小值为f(ln)2kek(ln1)(ln)4(ln)2

kkkk2(ln111111)(ln)24(ln)2(ln)22ln kkkkk11(ln)22ln(lnk)22lnk(2lnk)(lnk)0，

kk2所以求k的取值范围是1ke.

四、分离lnx法

题目：当x0且x1时，

lnx1lnxk恒成立，求k的取值范围. x1xx1x分析：把lnx分离出来可以使导数非常简单. 解：

lnxlnxk111k1()()lxn2x1x1xxx1x1xx2k1xln 1x

1k1112[2lnx(x1)][2lnx(k1)(x)] 22x1xx1x11

lnx，分离出，由于的符号不确定，所以分类讨论

x21x21

（这一步的目的是提取因式如下）

令设g(x)2lnx(k1)(x)，于是原题等价于

1xg(x)0,x(1,) g(x)0,x(0,1)21g(x)(k1)(12)，若是通分，分子是一个关于x的二次函数，讨论比较复杂，

xx不如再次提取(11)，分离参数k，这样会转化为对号函数，可谓一举两得： x2于是g(x)21121(k1)(12)(12)[(k1)] xxxx11x21212(12)[(k1)](12)(k1)11xxxxxx 令h(x)21xx，由对号函数的单调性，h(x)在(1,)单调递减，

当x1时，x12，从而h(x)(0,1)，所以当(k1)1， x即k0时，g(x)0恒成立，从而g(x)为增函数，所以g(x)g(1)0恒成立；

当k0时，(k1)1，所以存在x01，使得当x(1,x0)时，g(x)0，从而g(x)为减函数，所以g(x)g(1)0，不合题意. 同理可讨论当0x1时，

仍然是k0时，g(x)0恒成立，从而g(x)为增函数，所以g(x)g(1)0恒成立；

当k0时，(k1)1，所以存在x0(0,1)，使得当x(x0,1)时，g(x)0，从而g(x)为减函数，所以g(x)g(1)0，不合题意. 综上，k0

五、重构函数法

题目：ex(a1)xb0恒成立,求(a1)b的最大值. 分析：构造以参数为自变量的函数是经常考的常规题型. 解:令f(x)ex(a1)xb,则f(x)ex(a1)

（1）当a10时,f(x)0,f(x)在R上单调递增，当x时，f(x)，不合题意.

（2）当a10时，则当xln(a1)时，f(x)0，f(x)是减函数，

当xln(a1)时，f(x)0，f(x)是增函数，

所以当xln(a1)时，f(x)minf(ln(a1))a1(a1)ln(a1)b0，

22所以ba1(a1)ln(a1)，所以(a1)b(a1)(a1)ln(a1)，其中a10，

令g(x)x2x2lnx(x0)，则g(x)2x(2xlnxx)x(12lnx)，

当0xe时，g(x)0，g(x)是增函数，

当xe时，g(x)0，g(x)是减函数，

e时，g(x)maxg(e)ee1e， 22所以当x所以(a1)b的最大值是

e. 2六、解不等式法

题目：设函数

f(x)emxx2mx．

（1）证明：f(x)在(,0)单调递减，在(0,)单调递增；

（2）若对于任意x1,x2[1,1]，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围． 分析：求参数范围时，把参数看成未知数，解不等式． 解：（1）

f(x)memx2xm，f(x)m2emx2，

mx因为f(x)m2emx20，所以f(x)me到f(0)0，

2xm在R上是增函数，注意

所以当x0时，f(x)f(0)0，当x0时，f(x)f(0)0， 所以f(x)在(,0)单调递减，在(0,)单调递增.

（2）由（1）可知，f(x)在[1,1]上的最小值为f(0)1，f(x)的最大值是

f(1)em1m

和f(1)em1m，所以|f(x1)f(x2)|的最大值为emm 或 emm ，

所以只要 emme1 或 emme1 ， 令 g(m)emm ，则 g(m)em1 ， 当m0时，g(m)0，g(m)是减函数， 当m0时，g(m)0，g(m)是增函数，

1而g(1)e1，g(1)1，且g(1)g，所以存在m01，使得(1)e， g(m0)g(1)所以由emme1即g(m)g(1)可得

m0m1，其中m01 ①

而emme1即g(m)g(1)，所以m0m1，

即1mm0，其中m01，② 由①、②得1m1.

七、设而不求法

已知函数f(x)exex2x，

（1）设gxf(2x)4bf(x)，当x0时，g(x)0，求b的最大值，

（2）已知1.414221.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）

分析：设而不求那些不容易求出的极值点.

解：（1）g(x)e2xe2x4x4b(exex2x)，

gx2(e2xe2x2)4b(exex2)，

令exext，则e2xe2xt22，

所以g(x)2(t24)4b(t2)(t2)(t22b)(t2)[t(2b2)]，

注意到texex2exex2(x0)，

所以当2b22即b2时，g(x)0，g(x)为增函数，所以g(x)g(0)0，

当b2时，存在x00，当x0所以g(x)g(0)0，(,)x0时，g(x)0，g(x)为减函数，不合题意，所以b的最大值2.

（2）考虑g(ln2)e2ln2e2ln24ln24b(eln2eln22ln2)

212ln24b(22ln2)322b(4b2)ln2，

222由（1）知道，当b2时，g(ln2)3222(422)ln20，

2所以ln2421.541.41421.50.6928，

66那么，下一步如何再取b的值呢？这是不可以随意取的，我们不得不考虑第二问中的

xx0这个分界点满足的条件，可以考虑xln2满足exex(2b2)0，

321， 4考虑到满足等号成立的b的值，eln2eln2(2b2)0，解得b则由（1）知，

当b321时，g(ln2)322(321)[4(321)2]ln20，

2444182181.41430.6934，

2828所以ln2所以0.6928ln20.6934，所以ln20.693.

参考资料二：“一定二动斜率定值”问题的高等背景与初等解

法

以下四个例题，都有类似条件：A是圆锥曲线C上的定点，E,F是圆锥曲线C上的两个动点，求证直线EF的斜率为定值.我们把这类问题简称“一定二动斜率定值”问题，笔者经过仔细分析发现，这类问题的命题者利用了导数法研究曲线的切线斜率，也就是利用了导数产生的几何背景，本文利用极限与导数这一高等数学的方法先探求这个定值，然后利用初等方法给出证明.

x2y231上的两个动点，A(1,)是椭圆上例1、如图1，已知E,F是椭圆243的定点，如果直线AE与AF关于直线x1对称，证明直线EF的斜率为定值，

并求出这个定值.

高等背景：当AE与AF的倾斜角都趋近于90时，直线EF的斜率就趋向于过

x2y23A1(1,)的切线斜率. 在1中，两

243yA(1,32)OxF2x2yy30,把A1(1,)边对x求导有，3432EA1(1,-)232()y图1 1212代入有：0,解得y.

2431因此，可以确定所求的定值为.

2初等解法：因为直线AE与AF关于直线x1对称，所以直线AE的斜率与AF的

3斜率互为相反数.设直线AE的方程为yk(x1)，则直线AF的方程为

23yk(x1).

2x2y231得： 把yk(x1)代入2433(34k2)x24k(32k)x4(k)21202(1)，

设E(x1,y1),F(x2,y2)，注意到x1是方程(1)的一个根，由根与系数关系得，

34(k)212， x1234k234(k)212同理可求x22， 234k33k(x11)[k(x21)]yy22k(x1x2)2k， 12x1x2x1x2x1x2kEF1把x1，x2代入上式得kEF.

2x2y21上的两个动点，A(3,3)是椭圆上例2、如图2，已知E,F是椭圆124的定点，如果直线AE与AF关于直线y3对称，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

高等背景：当AE与AF的倾斜角一个趋近于180时，另一个趋近于0时，直线EF的斜率就趋向于过A1(3,3)的切线斜率. 在

xy1中，两边对x求12422A1(-3,3)FEyA(3,3)Oxxyy0,把A1(3,3)代入有：导有，62图2 133y0,解得y.

3621因此，可以确定所求的定值为.

3初等解法：设直线AE的方程为yk(x3)3，

x2y21得：(13k2)x263k(1k)x9k218k30代入124(1)，

9k218k3设E(x1,y1),F(x2,y2)，注意到x3是方程(1)的一个根，所以x1， 23(13k)9k218k3同理可求x2， 23(13k)ykEF1y1y2k(x1x2)23k，把x1，x2代入得kEF. 3x1x2x1x2F2例3、如图3，已知E,F是抛物线yx上的两个动点，A(1,1)是抛物线上的定点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证

明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

A1(-1,1)EOA(1,1)x图3 高等背景：当AE与AF的倾斜角一个趋近于0时，另一个趋近于180时，直线EF的斜率就趋向于过A1(1,1)的切线斜率. 而y2x，所以y|x12，

因此，可以确定所求的定值为2.

初等解法：设直线AE的方程为yk(x1)1， 代入yx2得：x2kxk10(1)，

设E(x1,y1),F(x2,y2)，注意到x1是方程(1)的一个根，所以x1k1，同理可求x2k1，

2y1y2x12x2x1x2，把x1，x2代入上式得kEF2. x1x2x1x2所以kEF例4、如图4，已知E,F是抛物线y2x上的两个动点，A(1,1)是抛物线上的定点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

高等背景：当AE与AF的倾斜角都趋近于90时，直线EF的斜率就趋向于过A1(1,1)的切线斜率. 由y2x解得

yA(1,1)yx，而在A1(1,1)附近导数y12x，

1所以y|x1，因此，可以确定所求的定值

21为.

2OEA1(1,-1)图4Fx初等解法：设直线AE的方程为

y1k0，x1， yk(x1)，显然1k代入y2x得：y2y110kk(1)，

设E(x1,y1),F(x2,y2)，注意到y1是方程(1)的一个根，所以

y1110k(1)，

11yy21k. 同理可求y21.而kEF1，把，代入得yyEF122k2y12y2y1y2解题规律总结：

1、注意利用导数法探求定值，作为选择题或者填空题时要利用导数法，作

为解答题时注意利用导数法进行检验；

2、题目条件的变化：“直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数”，等价于“直线AE与AF的倾斜角互补”，或者“直线AE与AF关于直线xxA对称”，或者“直线AE与AF关于直线yyA对称”.

3、直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的一个解为 (xA,yA)，消元后所

得方程有一个根为xA或yA，此时一定要利用根与系数的关系求另一个根.

4、注意以k替换k由E点坐标直接求得F点坐标. 5、对于直线与椭圆或者双曲线，kEFy1y2的进一步化简要利用直线方程，x1x2对于直线与抛物线，kEF更加简单.

y1y2的进一步化简利用抛物线方程比利用直线方程x1x2把握住以上几点，你也可以轻松地自己改编一些类似的题目，你当然更能准确快速的解答一下练习题：

1、已知E,F是抛物线y24x上的两个动点，A(1,2)是抛物线上的定点，直线AE与AF关于直线x1对称，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值. （答案：1）

2、如图5，已知E,F,E1,F1是椭圆

x2y21 433上的两个动点，A(1,)是椭圆上的定点，

2如直

OFE1E图5 A1(1,-32)yA(1,32)F1x线 AE与AF关于直线x1对称，且直线

AE1

与AF1也关于直线x1对称， 求证：EF∥E1F1.

（提示：由例1知，EF,E1F1的斜率相等）.