习题答案

习题1

已知某班级40名学生进行完全随机的排序，试求“张明排名在第十名之后”的信息量是多少？“张明排名在第十六名到第二十名之间”的信息量又是多少？

解：根据式（1-1），可得 1．1

Ilog(1)logP(x)

P(x)因为张明排名10名后的概率为3/4，张明排名16~20之间的概率为1/8，故两者的信息量分别为（对数以2为底，得出的信息量单位为比特）。

I1log2P(x1)＝log20.750.415(bit)

I2log2P(x2)＝log20.125＝3(bit)1．2

已知某信源以不同概率发送四种符号ABCD，其中符号A出现概率为60%，B出现概率为25％，C为10％，D为5％。试计算四种符号

出现的信息量分别是多少，整个信源的平均信息量是多少？

解：由式（1-1），可知四种符号出现的信息量分别为

IAlog20.60.737bitIBlog20.252bitIClog20.13.322bitIDlog20.054.322bit由式（1-3），信源的平均信息量为

m

[P(x)logH(x)= ii1(1)]P(xi)

＝0.7370.6＋20.25＋3.3220.1＋4.3220.051.4905bit1．3

某信源用每秒3000个的速率发送十六进制的码元。如果要保持其传输比特速率不变，改用八进制的码元，则其码元速率应达到多少？

解：因为，故每一个16进制的码元，其平均信息量为4比特。这样，信源的信息速率为4×3000＝12000比特/秒。改用八进制码元，每个8进制码元信息量为3比特，因此需要每秒钟传输12000/3=4000个码元。 1．4 某信源每秒发送2500个码元。若要求其误码元率不超过百万之分一，试求在一小时内，该信源发送的码元错误不能超过多少个？ 解：每小时信源发送的码元为2500×3600＝900万个。要求误码率不超过百万分之一，故一小时中的码元错误不能超过9个。 1．5 以下两个信号，哪一个更接近基带信号，哪一个更接近带通信号？

1624sin20ktcos2Mt （2）sin90tsin100t

解：sin20ktcos2Mt，其最高角频率为2M，最低角频率为20k（1）

为1010kπ。显然，中心频率与带宽的数量级相当，这是一个基带信号。 率是带宽的接近10倍，相比前一个信号，更接近于带通信号。 1.6

已

知

某

LTI

系

统

的

频

率

响

应

函

数

，因此其单边带宽为1980kπ，而中心频率

sin90tsin100t，其最高角频率为100kπ，最低角频率为90kπ，因此其单边带宽为10kπ，而中心频率为95kπ。中心频

H(f)1f10002，求当输入信号为

x(t)cos200tsin300tcos500t时，输出信号为多少？

1f2是以周期频率为单位的。输入信号x(t)的三个分量，其周期频率分别为100，150和250解：本题须注意，频率响应函数H(f)1000赫兹。故而输出信号为

y(t)cos200tH(100)sin300tH(150)cos500tH(250)＝

100215022502cos200tsin300tcos500t100010001000

＝10cos200t22.5sin300t62.5cos500tˆ(t)和f(t)对应的解析信号z(t)。

1.7 已知实信号f(t)= cos(t)，求f(t)的希尔伯特变换fm解：可以采用式（1-29）和（1-30）来进行计算。但也可以直接通过定义来求解 因为f(t)=

cos(mt)

11exp[j(mt)]exp[j(mt)]Re{exp[j(mt)]} 22ˆ因此，f(t)的解析信号即为exp[j(t)]，而其希尔伯特变换f(t)＝sin(t)]

=

mm1.8 已知某通信系统中，信号功率为1W，信噪比为60dB，求噪声功率为多大？ 解：信噪比60dB，即信号功率为噪声的

106倍。因此，噪声功率为1/106106瓦特，也就是1微瓦。

1

习题2

2.1 抛一骰子，出现1～6概率均等，定义随机变量X=骰子点数，试画出概率分布函数解：如图。

FX(x)的图形。

2.2 求出2.1题中变量X的概率密度函数fX(x)。

解：对习题2.1的图示概率分布函数进行微分，显然在1，2，3，4，5，6六个点处各有一个高度为1/6的冲激函数。因此其概率密度函数应

为

111111fX(x)(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)(x6)

6666662.3 某连续随机变量的累积分布函数为

0， x<0

FX(x)= ， 0≤x≤10 B， x>10

试求：(1)求A和B的值，并画出概率密度函数fX(x)； (2)计算P(X>5)，P(X<4)和P(2Ax3FX()＝1。因此

B＝1。又因为是连续随机变量，因此有

FX(10)FX(10)，即

A103＝B＝1，因此A＝0.001

对FX(x)进行微分可得fX(x)，即：

fX(x)＝0.003x2 0≤x≤10

0 其他 据此可作出图（图略）

FX(5)=1-0.125=0.875

由于是连续分布，即P(X<4) P(X4)FX(4)0.064

P(2P（X>5）=1-P(X≤5)=1-

2.4 X的概率密度函数fX(x)= 0.1 |x|<5 0 其他 试计算X的均值、均方差。 解：由式（2-7）可知其均值为

E[X]=

由式（2-8）、（2-9）可知其均方差为

－xfX(x)dx0.1xdx0

55552XE(X2)[E(X)]2＝x2fX(x)dx020.1x2dx25 32.5 已知随机变量X(t)的某个样本x1(t)＝cosωmt,试求该样本的时间均值、时间方差和时间自相关函数。并求其直流功率和交流功率。 解：由式（2-12）、（2-14）、（2-17）可求这三个值。因为x1(t)是一个周期信号，故而对这三个值可以在一个周期T内求。显然，周期T＝

2/m

1T/21T/2x1(t)x1(t)dtcosmtdt0

TT/2TT/21T/21T/21T/21222[x1(t)x1(t)]dtx1(t)dtcos2mtdt x1TT/2TT/2TT/22 2

Rx1()1T/21T/21x(t)x(t)dtcostcos(t)dtcosm11mmT/2T/2TT2

显然，该样本的直流分量为0，其直流功率也为0。而交流功率则为1/2。这里可见，正弦波形的功率与其频率无关。

2.6 已知某随机变量X满足一维正态分布，其均值为10，方差为4，试写出其概率密度函数表达式，并计算X<5的概率。 解：根据式（2-18），正态分布的随机变量X，其概率密度函数为

fX(x)=

(xa)2exp[]

2221代入均值和方差，可得

(x10)2fX(x)= exp[]

8221又根据式（2-21），可得

P(X<5)=1-P(X>5)= 1－Q[(5-a)/σ]=1－Q（-2.5）＝Q(2.5) 查表可得Q(2.5)＝0.00621。故X<5的概率约为0.00621。

2.7 已知某高斯白噪声，功率谱密度为n0/2，均值为0。将该噪声通过下列滤波器： |H(ω)|=1， ωL<|ω|<ωH

0， 其他

试求：（1）输出窄带噪声的功率；（2）输出窄带噪声的一维概率密度函数；（3）自相关函数。

n0/2，单边带宽为H－L，因此噪声功率为(H－L)n0

（2）输出窄带噪声依然为一维正态分布，其均值为0，方差即噪声功率为(H－L)n0，故可得其概率密度函数为

解：（1）噪声功率谱密度为

x2exp[]

（2)n2（HL)n0HL01（3）窄带噪声自相关函数为0。

2.8 某各态历经平稳随机过程X(t)，其均值为m，功率谱密度函数为P(ω)，有

P(ω)=0.5ω, |ω|<200π

0 ， 其他

而通过一个线性时不变系统，其频率响应函数为H(ω)，有

|H(ω)|＝0.5cosω， |ω|<100π

0 ， 其他

试求输出随机过程Y(t)的均值和功率谱密度。 解：根据式（2-25），可知输出随机过程Y(t)的均值为 E[Y(t)]=H(0)E[X(t)]=0.5m

根据式（2-26，可知输出随机过程Y(t)的功率谱密度函数为

Py()P()|H()|20.25cos2 |ω|<100π

0 其他

2.9 同时抛大中小三个骰子，每个骰子点数为1～6。求（1）三个骰子点数相同的概率（2）三个骰子点数之和为6的概率（3）大骰子点

数比中骰子大，中骰子点数比小骰子大的概率。

解：（1）设大骰子点数为任意值，则中骰子取到这个点数的概率为1/6，小骰子取到这个点数的概率也是1/6。三个骰子又彼此独立，故有 P（中＝小＝大）＝P（中＝大）×P（小＝大）＝(1/6)×(1/6)＝1/36

（2）三个骰子，每个骰子有6种可能取值，故三个骰子的结果共有216种可能。这其中满足三个骰子和为6的只有411，321，312，231，213，141，114，132，123九种，因此三个骰子点数和为6的概率为9/216=1/24。 （3）显然，当大骰子取a时（3≤a≤6），则中骰子取值为b（2≤b≤a-1），小骰子取值为c(1≤c≤b-1)。又由于三个骰子彼此独立，故而满足的总概率为

16P＝216l3m21n1l1m1

用编程可以很容易解决让计算机运算出结果。或者用数列知识，也可算出结果为20/216。

2.10 已知某通信系统，其信道带宽为1MHz，请问当传输信噪比为30dB的时候，该信道理论上每分钟最多能传输多少个四进制的码元而不

发生错误？

解：根据香农式（2-23，信道容量为

CBlog2(1S) N代入B＝1M，S/N=1000，可得信道容量C≈9.967M（比特/秒）

而每个四进制码元对应2比特的信息，故而该信道每分钟理论上无误传输四进制码元的上限为

60×9.967M/2＝2.9901 (个）

习题3

3.1．AM调制信号，已知载波为余弦波，其ωc＝20πKHz，调制信号f(t)为余弦波，ω0＝2πKHz，幅度为2。 （1） 写出当调幅指数分别为0.5，1，2三种情况的已调信号表达式。 （2） 试画出其已调信号波形图。 （3） 试画出其已调信号频谱图。 （4） 计算三种情况下，对应1

解：（1）β＝0.5时，

108电阻的边带功率、载波功率和调制效率。

sAM(t)(2cos2kt)cos20kt β＝1时，sAM(t)(22cos2kt)cos20kt

3

sAM(t)(24cos2kt)cos20kt

12121122AAPf(t)＝Am，三种情况下分别为1/4，1和4。对应的调（4）载波功率为P＝2，边带功率为c00f2224β＝2时，

制效率分别为1/9，1/3和2/3。

3.2．有一调幅信号s(t)= (Acosωmt+1) cosωct，其中A＝10，调制信号频率fm=1KHz，载波频率fc=1MHz。画出该信号的相干解调模型框图。并说明该信号能否采用包络检波器解调？

解：图略。该信号不能采用包络检波器解调。因其调幅指数大于1。

3.3．一单边带调幅信号，已知其载波幅度A＝1，载波频率fc=2MHz，基带调制信号f(t)= cosωmt+sinωmt。其中fm＝5KHz。 （1）写出f(t)的希尔伯特变换

ˆ(t)的时域表达式。 f（2）写出该单边带调幅信号上边带和下边带的时域表达式。 （3）画出用相移法得到上边带和下边带调幅信号的框图 解：(1)

ˆ(t)＝sin10kπt－cos10kπt f(2)

11Amcos(cm)t＋Amsin(cm)t 2211sLSB(t)Amcos(cm)t＋Amsin(cm)t

22sUSB(t)3.5．已知基带信号频率范围为100～1000Hz，欲用载波频率fc＝1GHz进行单边带调制，并保留调制信号的下边带。试设计采用滤波器的调制方法，

并画出方框图。

解：基带信号最低频率100Hz，故需要进行单边带滤波时其上下边带间隔为200Hz。而工作频率为1GHz，其归一化值为

210－7，远远小于

10－3。此时滤波器实现难度较大。为此采用多次滤波。经过观察选择三次滤波。

第一次混频、滤波，边带频率间隔200Hz，选择工作频率f1=100KHz。此时归一化值为0.002>带。

10－3，滤波器容易实现。用上边带滤波器保留上边

10－3第二次混频、滤波，边带频率间隔约为200kHz，选择工作频率f2=100MHz。此时归一化值为0.002>，滤波器容易实现。用上边带滤波器保留上边带。

第三次混频、滤波，边带频率间隔约为200MHz，选择工作频率f3=1GHz。此时归一化值为0.2，滤波器容易实现。用下边带滤波器保留下边带即可。 方框图略

3.6.设信号的发射功率相同，抑制载波双边带调幅信号和指数为1的完全调幅信号，两者的边带功率之比为多少？ 解：由式（3-10），完全调幅信号的调制效率为

代入β＝1可知其效率为1/3。而抑制载波双边带调幅信号的调制效率为1。故在信号发射功率相同时，两者的边带功率之比为3：1。

习题4

4.1 考虑一种情况，当基带信号f(t)为一直流信号f(t)=A时，用该信号去对载波c(t)=cosωct进行频率调制。其中频率偏移常数为K1。

试写出此时的已调制信号s1(t)的时域表达式，并计算其瞬时频率偏移和瞬时相位偏移的表达式。

解：根据式（4-2），有 s(t)=cos[ωct+ KFMf(t)t]= cos[ωct+ AK1t]= cos(ωc+ AK1)t 其瞬时相位偏移为AK1t，瞬时频率偏移为AK1。

4.2 同上题，用同一基带信号f(t)去对同一载波进行相位调制，相位偏移常数为K2。试写出此时的已调制信号s2（t）的表达式，并计算

瞬时频率偏移和瞬时相位偏移。

解：根据式（4-6），有 s(t)= cos[ωct+ KPMf(t)]＝cos[ωct+ AK2] 其瞬时相位偏移为AK2，瞬时频率偏移为0。

4.3 已知某FM信号，其载波功率为20W，载波频率为50Hz。基带信号f(t)为正弦波，其频率为5Hz，调制指数为5，求其已调制信号的表

达式。

解：载波功率为20W，可知载波的幅度为

，调频指数为 210。由式（4-5）

βFM= KFMAm/ωm＝5，可知KFMAm=5ωm=50π。故可得

s(t)=Acos[ωct+ KFMf(t)t]=

4.5 用10KHz的正弦信号调制10MHz的载波，最大频偏为200kHz。试确定此时FM波的近似带宽。如果在载波和频率偏移常数都不变的情况

下，信号f(t)频率加倍，此时FM信号近似带宽为多少？如果f(t)信号的振幅再加倍，近似带宽又是多少？

解：根据卡森公式（4-19），

210cos(10050cos10t)tBFM=2(1+βFM)fm。其中fm10k

由于最大周期频率偏移为200kHz，故而最大角频率偏移为而 βFM= KFMAm/ωm＝可计算出

ωmax＝400π

m=20

ωmax/ω

BFM=420kHz

载波和KFM都不变时，f(t)频率加倍，则βFM= KFMAm/ωm减半变成10，而

fm加倍为20k，故而近似带宽BFM=2(1+

4

βFM)fm为440kHz。

如果在此基础上信号振幅再加倍，则βFM= KFMAm/ωm加倍成为20，此时近似带宽为840kHz。 4.6已知有一窄带调频信号，其载频为1MHz，调制信号为1kHz的单频余弦信号，其最大频率偏移

（1）试求其调制指数βfmax为10Hz。

FM ；(2)若要得到一最大频率偏移为200KHz的调频信号，试求需要使用多少倍的倍频器？此时的载波频率为多少？

解：由式（4-5），调频指数βFM= ωmax/ωm＝0.01

N=200kHz/10Hz=20000倍，故须用20000倍的倍频器。 此时载波频率为20GHz。

4.7在题4.6中，若欲保持载波频率不变，可以采用怎样的一次混频器？

解：经过倍频之后，载波由1MHz变成了20000MHz。若欲通过混频将载波恢复到1MHz，则可以通过用19999MHz的频率进行下变频。 4.8 已知一调频信号，其载波平均功率为1瓦特，调频指数为0.01，求其FM信号各次边带的平均功率分别约为多少？ 解：由贝塞尔函数的第三条性质，当指数β<<1时，

J0()1；J1()/2，J1()/2。其余各阶函

2=0.000025瓦特，而载波功率为0,99995瓦特。 （/2）数近似0。由此可得调频信号1次和－1次边带的平均功率近似值都是

习题5

5.1 已知某通信系统，输出的信号为单频正弦信号，其最大瞬时电平为2伏特。输出的噪声功率为0.1mW，试计算其输出信噪比为多大？如果将信号的电平扩大为原先的10倍，此时输出信噪比为多大？ 解：输出信号为单频正弦信号，故其平均功率为

S12A0=2瓦特。 2输出信噪比为

SNRS22000043dB N0.0001如果信号电平扩大为10倍，则信号功率扩大为100倍，而噪声功率不变，此时输出信噪比为2000000，约等于63dB

5.2 已知某通信系统中的接收机，输入信号功率为3mW，噪声功率为0.001mW；输出信号功率为50mW，噪声功率为0.015mW，求该接收机的信噪比增益为多大？ 解：G=

SNRoSo/No500.0011.1111

SNRiSi/Ni30.0155.3 某通信系统，发射功率为20W，在信道传输的功率衰减为80dB，接收机接收到的噪声功率为0.01uW（uW＝微瓦，瓦特的百万分之一），求此时

接收机的输入信噪比为多大？

S2010－820。输入信噪比为20，或大约13dB 解：SNRN0.011065.4 某接收机，当接收基带信号f(t)进行的双边带调制信号时，其输出噪声功率为0.001uW，为了有效通信，要求输出信噪比为30dB。已知从发射机到接收机的功率损耗为90dB，若分别采用双边带和单边带调幅系统进行调制－解调，问发射的功率分别应为多少？ 解：对双边带调幅系统，由式（5-15）调系统的输入噪声功率）为

GDSB2。输出信噪比为30dB，故输入信噪比应为5×102。再根据接收机的输出噪声功率（即解

109W，可知接收机得到的信号功率应为。再由发射到接收机的功率损耗为90dB即109，因此发射功率应为500W。

3对于单边带调幅系统，GSSB＝1，因此要求解调系统的输入信噪比也是10。同时，由于同样的信号f(t)，其单边带调制信号占用带宽只及双边带

7信号带宽的一半，因此其接收机输出的噪声功率也只有0.0005uW。可知接收机得到的信号功率也是5×10W。故而发射功率为500W。

5.5 采用相干解调法，分别解调双边带调幅信号和单边带调幅信号。已知基带信号f(t)最高频率fm=1KHz，载波频率fc为1MHz。接收到的已调制信号功率为0.01W，信道噪声的双边功率谱密度为5×解：基带信号单边带宽为1kHz。

W/Hz。试计算并比较对两种调制信号解调器的输入信噪比、输出信噪比和信噪比增益。

n0/2＝5109W/Hz

对双边带调幅而言，s(t)单边带宽为2kHz，因此有： 解调器输入噪声为

NiBsn0＝2kHz25109W/Hz＝2105W

Si102解调器输入信噪比为SNRi500

5Ni210因为GDSB2，故输出信噪比为1000（30dB）。

对单边带调幅而言，s(t)的单边带宽为1kHz，因此有

NiBsn0＝1kHz25109W/Hz＝105W Si102SNRi1000

Ni105因为GSSB1，故输出信噪比为1000（30dB）。

可见两者的输出信噪比是一样的。

5.6 一调频接收机，当采用单频正弦信号f(t)进行调制，输入信噪比为30dB。设调制指数为10，求输出信噪比为多少？ 解：由式（5-52），在大信噪比情况下，对于调制指数

GFM=3FM3

FM＝10，信噪比增益为3000。故输出信噪比为3106（约65dB）

5

5.7 已知调频信号发射的载波幅度为10，频偏常数为5000，调制信号f(t)=sin100000πt，信道噪声功率谱密度为输信道衰减40dB，求解调系统的输入和输出信噪比分别为多少？

n01010W/Hz，传2解：调制信号f(t)为单频时，由式（4-5），βFM= K

FMAm/ωm，即

βFM=

发射信号功率为50，接收的信号功率（即解调系统的输入信号功率）为

50001/1000000.0159Si50×1045103

由于此时属于窄带调频，信号近似单边带宽为

Bs2fm105Hz，因此解调系统的输入噪声功率为

NiBsn0＝2105Hz1010W/Hz＝2105W 由此可得输入信噪比为SNRiSi/Ni250（约24dB）

此时在门限阀值之上，因此有

GFM=3FM0.0121。由此可得输出信噪比约为3.024（约6.8dB）

35.8 对于需要同时传输256路信号的频分复用系统而言，若直接进行调制，需要产生多少种频率的载波？若是进行二级和四级调制，各自需要多少种频率的载波？

解：直接对256路信号进行频分复用的调制，产生256路中心频率不同的带通信号，需要256路不同的载波； 采用二级调制，即16×16的调制，每一级需要16路载波，故总计需要32路不同的载波。 采用四级调制，即4×4×4×4的调制，每一级需要4路载波，总计需要16路不同的载波。

习题6

6.1 设信号f(t)的带宽为250kHz，请问用下列哪些频率对它进行采样，可以从采样信号中无误差地恢复出原信号？（1）125kHz（2）200kHz（3）

400kHz（4）550kHz（5）1000kHz

解：无频谱混叠的采样要求采样频率大于信号带宽的2倍，因此（4）（5）的采样可以无误差的恢复原信号。

6.2 设有带通信号f(t)，其最高频率分量为1000Hz，最低频率分量为850Hz，请问用哪些频率可以对它进行无混叠的带通采样？

解：该式中，

样频率

，令M为任意满足M≤fH/B的正整数，选择采fH＝1000，fL＝850，B＝150。根据带通采样定律和式（6-5）

fs=2fH/M即可对信号进行无混叠的带通采样。显然在本例中，M可能的取值为1，2，3，4，5，6。由此可得：

M=1，fs＝2000 Hz； M=2，fs＝1000 Hz； M=3，fs＝2000/3 Hz M=4，fs＝500Hz M=5，fs＝400Hz M=6，fs＝1000/3 Hz

以上6个频率可以对信号f(t)进行无频谱混叠的带通采样。

6.3 已知信号f(t)的幅度取值范围为（－2V，6V），欲对其进行均匀量化，量化电平数为8，请设计量化电平和分层电平。 解：信号幅度取值范围共计为8V，量化电平数为8，故量化间隔△＝1V。即

yi=-1.5，-0.5，0.5，1.5，2.5，3.5，4.5，5.5 xi=－2，－1，0，1，2，3，4，5，6

6.4 如6.3题，试计算这时的量化噪声平均功率为多大？ 解：由式（6-11），在不过载的情况下，量化噪声平均功率为P＝

12。在本题中，其功率为P=1/12 126.5 设有均匀量化器，其编码位数为12位。当输入信号为正弦波，且其最大幅度恰好保证系统不过载，计算此时的信噪比是多少dB？如果输入

的正弦波其最大幅度减小为先前的1/4，此时信噪比又是多少？ 解：设量化间隔为△，由于采取12位的编码，可知信号的峰-峰值为

212，即单峰值为2048△。由此可得

1(2048)2S2＝SNR1222174dB

1N212或者直接将n=12代入6-14式也可得到同样的结果。

如果输入正弦波最大幅度减小为先前的1/4，则信号功率减小为原先的1/16，而噪声功率不变。此时信噪比为 6.6 某数字音频处理器，针对的音频信号，其模拟信号的动态范围为60dB。若要求量化后的最小信噪比不低于32dB，试计算大约需要多少位编码？

如果对音频采样率是10kHz，此时量化后信号的码元速率为多少？ 解：

要求量化后最小信噪比不低于32dB，而音频信号的动态范围为60dB，故音频信号幅度最大时的信噪比为92dB。 再根据式6-14，设采用n位编码，则当音频信号幅度最大时，其信噪比为

1221762dB 6

SNR＝1.76+6.02n，代入可得n≥14.99。因为n必须为整数，故n取值为15。由此可知大约需要15位编码。

对音频信号的采样率为10kHz，每一个采样样本用15位进行编码，因此量化后的码元速率为150kHz 6.7 试用四位的自然码、折叠码和格雷码分别表示下列电平：5△，-5△，-2△。设△为量化台阶。 解：由表6-1，表示电平如下

自然码：5△＝1100，-5△＝0011，-2△＝0110 折叠码：5△＝1100，-5△＝0100，-2△＝0001 格雷码：5△＝1010，-5△＝0010，-2△＝0101

6.8 试用A律折叠码分别对以下电平进行编码，并计算解码后产生的误差。（1）1799△（2）-2000△（3）555△。其中△为最小量化台阶。 解：（1）1799△。根据表6-2，选择起始电平为正向第八段，即前四位1111。 1799－1024＝775>512，故第五位取1 775-512=263>256，故第六位取1 263-256=7<128，故第七位取0

7<64，故第八位取0。因此最终编码为11111100

解码后的电平值为1024+512+256+32=1824△，误差为25△

（2）-2000△。根据表6-2，选择起始电平为负向第八段，即前四位0111。 2000－1024＝976>512，故第五位取1 976－512＝464>256，故第六位取1 464－256＝208>128，故第七位取1

208-128=80>64，故第八位取1。因此最终编码为01111111

解码后的电平为－[1024+512+256+128+64+32]=2016△，误差为16△

（3）555△。根据表6-2，选择起始电平为正向第七段，即前四位为1110 555－512＝43<256，故第五位为0 43<128，故第六位为0 43<64，故第七位为0

43>32，故第八位为1。因此最终编码为11100001 解码后的电平为512＋32＋16＝560△，误差为5△

习题7

7.3 已知双极性非归零二进制信号，其“1”用电平1表示，“0”用电平－1表示。两者出现的概率分别为0.6和0.4。试写出该数字信号的功率谱密度，并计算出其总的平均功率、直流功率和基波功率。 解：由式（7-2）可得

222

sb12b1b2bbm其中P＝0.6，G1(f)为时域方波信号的频谱函数，G2(f)=－G1(f)。代入化简可得

222

sb1b1bbm92dBP(f)fP(1P)|G(f)G(f)|f|PG(mf)(1P)G(mf)||0.2G(mf)|(fmf)(fmf)P(f)f0.24|2G(f)|f由于G1(f)=

TbsinTbfTbf，对于所有的f=mfb，当m不等于0时有G1(f)=0，又因为fbTb=1，故上式可化简为

sinTbfTbPs(f)=0.24Tbf20.04(f)

由于每个码元的平均功率为1，故而信号总的平均功率为1；由于信号传输码元1（电平1）的概率为0.6，传输码元0（电平－1）概率为0.4，因此信号的均值电平为0.6-0.4=0.2。直流功率即为0.04。又由于信号功率谱的基波分量为0，故基波功率也为0。

7.4 假设数字基带系统的传输滤波器为一低通滤波器，其截止频率为10KHz。今有几个数字码元序列，其码速分别为5000，8000，10000，20000，25000（单位：波特），问哪些码速的信号可以实现无码间串扰的传输？ 解：对截止频率为W的低通滤波器，其满足无码间串扰传输的码元速率须满足的码元速率须满足

fb=2W/M。其中M为正整数。代入W＝10kHz，可知无误码传输

，10000（M＝2）和20000（M＝1）三个。 fb=20kHz/M。题目中给出的几个码速中，符合要求的有5000（M＝4）

7.5 某滤波器的频谱特性如图所示。若输入速率等于2fb的脉冲序列，问该传输滤波器是否能保证无码间串扰的传输？若序列的码速为fb呢？码速为0.5fb呢？

解：要对输入速率为2fb的脉冲序列进行无码间串扰的传输，则滤波器须经频谱搬移后等效为截止频率为Mfb的理想低通滤波器。显然图示的滤波器不满足。

fb的脉冲序列进行无串扰传输，滤波器经搬移后须等效为截止频率为Mfb/2的理想低通滤波器。显然图示的滤波器可以等效

为截止频率0.5fb的理想的容滤波器，故能满足无误码传输条件。 同理，对码速0.5fb的脉冲序列也能进行无误码传输。

要对输入速率为

7.6 已知四元码数据的信息速率为64kbit/s，试按照以下几种滚降系数设计余弦滤波器，并求相应的信道最小带宽和频带利用率。(1)α=0.2；（2）α＝0.3 ；(3) α=0.4 ；(4) α=0.5 ；(5) α=1。 解：四元码，每一个码元的信息量为2bit，因此其码元速率为波器的带宽为B=(1+α)W，而频带利用率为η＝(1)B＝19.2kHz，η＝5/3≈1.67 (2)B＝20.8kHz，η＝20/13≈1.54 (3)B＝22.4kHz，η＝10/7≈1.43 (1)B＝24kHz，η＝4/3≈1.33 (1)B＝32kHz，η＝1

7.7 设二进制基带系统的传输特性为

fb＝32kHz。此时对应的理想低通滤波器传输，截止频率为W=16kHz。余弦滚降滤

fb/B。由此可得五种情况下的最小带宽和频带利用率分别为：

7

H(f)=T(1+cos2πfT) |f|<1/2T

0 |f|>1/2T

试确定系统最高的传输速率fb与码元周期Tb。

解：从表达式可知H(f)等效于截止频率为1/2T的低通滤波器。因此其最高的传输速率为1/T，此时码元周期为T。

7.8 请自行推导第II类部分响应系统（参见表7-1）的码间串扰公式。设信号码元序列为x[n]，经过叠加码间串扰后的序列串为y[n]，试推导出y[n]的一般表达式，以及从y[n]恢复x[n]的计算式（假设传输无误）。 略

7.9 设有横向滤波器，其抽头系数为C-1=-0.1，C0＝0.95，C1=-0.05。输入序列x[0]=0.2,x[1]=0.4,x[2]=1,x[3]=0.5,x[4]=0.1，试求其通过横向滤波器之后的输出y[n] 解：由式（7-18，y[n]=

kNCNnx[kn]。计算y[n]为

y[-1]=C[-1]x[-1+1]=-0.1×0.2=-0.02

y[0]=C[-1]x[0+1]+C[0]x[0-0]=-0.1×0.4＋0.95×0.2=0.15

y[1]=C[-1]x[1+1]+C[0]x[1-0]+C[1]x[1-1]=－0.1×1＋0.95×0.4＋(-0.05)×0.2＝0.27 y[2]=C[-1]x[2+1]+C[0]x[2-0]+C[1]x[2-1]=-0.1×0.5＋0.95×1＋(-0.05)×0.4＝0.88 y[3]=C[-1]x[3+1]+C[0]x[3-0]+C[1]x[3-1]=-0.1×0.1＋0.95×0.5＋(-0.05)×1＝0.415 y[4]=C[0]x[4-0]+C[1]x[4-1]=0.95×0.1+(-0.05)×0.5＝0.925 y[5]=C[1]x[5-1]=(-0.05)×0.1=-0.005

7.10 设有单极性非归零码，其0和1码元等概率出现，已知其信噪比为32，试求其误比特率为多少？ 解：单极性非归零码，设其表示码元1的电平为A，则信号平均功率为即

A2/2。又由信噪比32，知其噪声平均功率为2A2/64，

A/8

Q(A)，代入A/8，可得误比特率为2由式（7-19），单极性码的误码率为Pe=

8

习题8

fc，基带调制信号是单极性非归零方波脉冲，码元周期为2Tb，试求该2ASK信号的带宽。

解：基带方波脉冲的码元周期为2Tb，则其带宽为fb/2＝1/2Tb。而2ASK信号的带宽为基带信号带宽的2倍，即1/Tb

8.2 已知2ASK信号，载波频率为

8.3 四进制的ASK系统，以12000比特/秒的速度传输信息，求码元速率和信号带宽。

解：四进制ASK系统，每个码元携带信息为2比特，故其码元速率为6000码元/秒。由此可知其基带信号带宽为6000Hz，ASK信号的带宽为

基带信号的2倍，即12000Hz。

8.5 设一相位不连续的2FSK，发送1码时载频为100kHz，发送0码时载频为80kHz，码元速率为1000波特。试求系统的单边带宽为多少？ 解：基带信号的带宽为1000Hz，载频间距为20kHz，因此带宽为20k＋2×1k＝22kHz。

8.6 2DPSK中，对码元序列1采用传号差分编码，对序列2采用空号差分编码，都得到了差分码是0100,1010,1101,0001,1011。试计算原码元

序列1和序列2。

解：

b[n]= 0100,1010,1101,0001,1011，

b[n-1]＝0010，0101，0110，1000，1101

对码元序列1，由8-23，对码元序列2，由8-24，

a[n]bd[n]dd[n1]＝0110,1111,1011,1001,0110

ad[n]bd[n]dd[n1]＝1001，0000，0100，0110，1001

fb，则16ASK和16PSK信号的带宽均为2fb，而16FSK信号的带宽为32fb。因此三者的频带利用率

Tb=0.1毫秒，信道的白噪声双边功率谱密度为n0/2=0.01mW/Hz。采用相干方式解调，要求限定误

Q(8.7 试比较16ASK、16FSK和16PSK三种二进制通信系统的频带利用率。其中，16FSK的频率设置，刚好使得信号功率谱的主瓣不发生混叠。 解：设三种信号的码元速率均为

为16:1:16

8.9 已知2ASK传输系统，码元宽度为

码率约为万分之一，试求所需ASK接收信号的幅度A约为多少？

AA) ，要求该值约为万分之一，根据Q函数表可知，此时3.73 222码元宽度Tb=0.1毫秒，可知码元速率fb＝10000Hz，即2ASK信号单边带宽为20000Hz。因此噪声功率为＝Bn0.4W。s0即0.63。由此可计算得A3.7320.634.72

解：由式（8-30），2ASK相干解调的误码率为Pe=

8.10 同上题，若改用包络检波解调，接收信号幅度A不变，此时的误码率约为多少？

1A2exp(2)。代入A和2的值，可得此时的误码率约为9.472104，即约千分之一。 解：由式（8-40），Pe288.11 已知2PSK信号，发送信号的幅度为16V。信道衰减为40dB，接收端的输入噪声功率为0.5mW，试求此时相干解调的误码率。 解：由式（8-48），2PSK相干解调的误码为

故接收到的信号幅度A＝0.16V，代入可得

Pe= Q[A]。其中噪声功率2＝0.5mW，因发送信号幅度16V，信道衰减为40dB，

Pe= Q[0.165104]Q[7.15]

1Pe=er。其中输入信噪比r=10。代入可得误码率约为2.27105。又因为码元周期

28.12 2DPSK通信系统，设其码元周期为0.02毫秒，解调系统的输入端信噪比为10dB，试求一小时通信中，解调器输出的误码个数。 解：由式（8-49），2DPSK通信系统误码率为

为0.02毫秒，故码元速率为50kHz，一小时总计传输码元为180M个。则误码约为4086个。

习题9

9.2 设OQPSk用(I,Q)=（1，1）,（－1，1）,（－1，－1），（1，－1）分别表示四进制码元0，1，2，3。求当需要传输以下序列时，各次

相位跳变量，以及由相位跳变引起的包络起伏达到的最小包络值（设包络最大值为1）。序列：3101 3到1：(1，-1)->(－1,－1)->(-1,1)，即先跳变-π/2，再跳变-π/2 1到0：(-1,1)->(1,1)，跳变-π/2 0到1：(1,1)->(-1,1)，跳变π/2

其最小包络值为

12

9.5已知MSK信号码元速率fb，载波中心频率f0=1.75fb，初始相位为0。试计算载波频率f1和f2，并画出码元1101的波形图。 解：f1=1.5fb，f2=2fb 波形图略

9.6 设有方型分布16APK、16PSK、16ASK信号。试画出他们三类信号的星座图，并比较当平均功率相同时他们的抗误码性能如何？ 星座图略

令三者的最大信号幅值分别为A1,A2,A3，由10.4.2可知其信号平均功率分别为

P15A1/18

2P2A2/2

3.12A3 P318由题意三者的平均功率相等，令其为1，可知三者最大幅值为

2 9

A13.6，A22,A318/3.1

再由三者欧氏距离与最大幅值的关系可知

2A17.2＝0.894 3322d22A2sin22sin0.552

3232A18/3.1d330.161

1515d1从三者欧氏距离比较可知，16APK的抗噪声性能最好，16PSK次之，16ASK最差。

9.7 设有数字信号，码元速率为20MHz。采用FDM和OFDM两种方式，分别对其进行多载波调制。若已调制信号的中心频率为200MHz，子信

道路数N＝10，试计算两种调制方式下的各载波频率，并将他们与单载波调制综合进行性能比较。

码元速率为20M，可知基带信号带宽20MHz。分为10路进行2ASK传输，每一路码元速率为2MHz，带通信号带宽为4MHz。 采用FDM：载波频率间隔为4MHz，各次载波频率分别为：

182M,186M,190M,194M,198M,202M,206M,210M,214M,218M。带通信号的最高频率为220M，最低频率为180M，占用信道带宽为40MHz。 采用OFDM：载波频率间隔为2MHz，各次载波频率分别为：

191M,193M,195M,197M,199M,201M,203M,205M,207M,209M。带通信号的最高频率为211M，最低频率为189M，占用信道带宽为22MHz。 9.8 已知一DS扩频通信系统，其扩频调制信号的带宽为50MHz，当传输基带信号的码元速率为100kHz时，求其信噪比增益为多少？

解：由表10-1，DS扩频通信的信噪比增益为

BDS/Bm，故信噪比增益为50M/100k＝500

cosct。问能否用图11.3所示的平方变换法提取载波？

121f(t)cosωct+

2f(t)cosωct-

9.9 已知跳频通信，用于控制频率发生器的控制码为8位并联。请问该跳频通信系统的信噪比增益为多少？ 解：控制码8位并联，则频率点的个数为256个，由表10-1，此时跳频通信的信噪比增益为256。

习题10 10.1 已知模拟单边带调幅信号s(t)，其载波为

解：由第三章所学知识，单边带调幅信号可以表达为

上边带信号：sUSB(t)=

ˆfˆf(t)sinωct

下边带信号：sLSB(t)=

以上边带信号为例，将其平方之后所得为

(t)sinωct

121ˆ21ˆ(t)costsint

f(t)cos2ctf(t)sin2ctf(t)fcc442显然，第一项和第二项包含cos2ct的分量，第三项则是sin2ct的分量，通过窄带滤波器无法区分开来。故而不能通过该系统s2(t)提取同步载波分量。

10.3 用窄带滤波器从AM信号中提取载波信号。已知载波频率fc为10MHz，窄带滤波器的中心角频率偏移为△ω＝100π，滤波器的品质因

素为Q。试求此时载波的稳态相位误差为多少？

解：由式（10-7可得

2Qc，代入可得稳态相位误差约为Q/100000

10.6 已知采用数字锁相器进行位同步，分频器N值＝128，信号码元速率为fb=1MHz。求（1）该位同步系统的最大相位误差（2）该位同步

系统的最大同步建立时间。

2，代入可知约为＝ N64由式（10-12），可知最大同步建立时间为ts＝NTb＝N/fb，代入可知最大同步建立时间约为0.128毫秒。

解：由式（10-10），可得最大相位误差为

＝10.7 同题10.6，若定义当相位误差达到π/16时，认为此时已经失步。问同步保持时间为多少？失步时的漂移时间为多大？设两地时钟的

频率差△f为1kHz。

T＝3.15105秒

2f5由式（10-14）可知漂移时间tTb/K＝TbT/23.210秒

解：由式（10-13），可知同步保持时间为ct10.8 若在采用7位巴克码识别器的帧同步系统中，帧同步码组前后6位都是“1”码元，各移位寄存器初始状态均为0，试计算此时加法器

输出的波形。假设系统以输出波形≥5时为检测到帧同步信号的判决门限，问此时是否发生假同步？

解：七位巴克码组为[+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1]，前后6位都是“1”时，即数列

+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1 +1, +1, +1, +1, +1, +1,]

可计算识别器的输出为 R(-6)=

分别为：[+1, +1, +1, +1, +1, +1, x（12）ii从6到xxii06i6=1＋1＋1-1-1＋1-1＝1 R(-5)=

xxii06i5=1＋1＋1-1-1＋1-1＝1 R(-4)=

xxii06i4=1＋1＋1-1-1＋1-1＝1

10

666R(-3)=

xxii3=1＋1＋1-1-1＋1+1＝3 R(-2)=

R(0)=

xxii06xxii06i06i2=1＋1＋1-1-1-1+1＝1 R(-1)=

xxii06i06i1=1＋1＋1-1+1-1-1＝1

i=1＋1＋1+1+1+1+1＝1 R(1)=

R(3)=

xxii06xxiii1=1＋1-1+1-1-1-1＝－1 R(2)=

xxiii0i2=1-1-1-1+1+1-1＝－1

i3=-1-1+1+1-1+1-1＝－1 R(4)=

R(6)=

xxii0i06xxi0i4=-1＋1-1-1-1+1-1＝－3 R(5)=

xxi5=1-1+1-1-1+1-1＝－1

i6=-1＋1+1-1-1+1-1＝－1 可见并无一个输出突破5的阀值，故而不会发生假同步

10.9 同题10.8，若帧同步码组前后6位的码元序列如下：

101010[7位巴克码]001100

试求此时加法器的输出波形。仍假设系统以输出波形≥5时为检测到帧同步信号的判决门限，是否发生假同步？ 解：七位巴克码组为[+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1]，前后6位都是“1”时，即数列

分别为：[+1, -1, +1, -1, +1, -1, x（12）ii从6到+1,+1,+1,-1,-1,+1,-1 -1, -1, +1, +1, -1, -1,]

如上题，计算输出可得： -1 -1 1 -1 -1 -1 7 1 -1 -1 1 1 -5 仍然未出现假同步。

10.10 设采用7位巴克码识别器的数字传输系统。设码元速率为5kHz，误码率为万分之二，每一帧包含196个码元。试分别计算当识别器容

许错误码元为m=0,1,2时的漏同步概率和假同步概率各为多少。以及采用这三种m值时，系统的帧同步平均建立时间分别为多少？

解：根据式（11-19），出现漏同步的概率为

P1=1-

k0mkkcnPe(1Pe)nk

根据式（11-20），出现假同步的概率为

1P2=

2nk0m－4k 代入n=7，m分别为0，1，2，可得： m=0时，P1=1.410，P2=0.0078 cnm=1时，P1=

8.410－7，P2=0.0625 m=2时，P1=2.810－10，P2=0.2266

11

习题11

11.1 某通信系统对二进制信息码序列进行信道编码。方法是将二进制信息码每16位分成一组。在每两组之间插入4位检验码组。这4位检

验码，1位是检验码组之前8位信息码的模二加结果，一位是检验码组之前9－16位信息码的模二加结果，一位是检验码组之前17－24位信息码模二加结果，一位是之前25－32位的模二加结果。问：（1）此信道编码是线性码还是非线性码？（2）是分组码还是卷积码？（3）n、r、k和码率分别是多少？

解：（1）线性码（2）卷积码（3）k＝16，r＝4，n＝20，码率为16/20=0.8

11.2 假设采用3位重复码进行信道编码，信道中单个码元传输错误率为千分之一，试比较编码前后通信系统的可靠性。

11.3 用奇偶校验码进行编码，设每个码组的信息码位数为3。问当输入信息码元序列为100110111010时，编码后的序列为多少？它能检验

出哪些错误？不能检验出哪几类差错？解：当采用奇校验时，编码后序列为1000 1101 1110 0100。它能检验出同一码组内1个或3个错误，不能检验出2个或4个错误。

11.4 接题11.3，针对第一个码组，令每一个码元错误率为万分之一，问出现错误无法检验和出现错误可以检验出的概率各为多少？

解：同一码组内出现一个误码概率为

概率为

12C4Pe4104，出现两个误码概率为C4Pe6108，出现三个误码

234C4Pe41012，出现四个误码概率为C4Pe11016。因此，出现错误而可以检验的概率为

34410441012，出现错误无法检验的概率为610811016。前者是后者的6000多倍。也就是说只有不到六千分

之一的错误无法检验出来。

11.5 已知11.3.1节所述的(7.4)线性分组码，接收方得到码组1111101，0011101时，分别应如何译码？

解：1111101是一个禁用码组。将其与准用码组比较，则和1111111最接近。因此对应为1111111，译码为1111。0011101也是一个禁用码

组，其与0010101最接近。因此译码为0010。

11.7 试求（4，2）循环码的生成多项式，并列出该循环码编码后的全部系统循环码码组.解：该生成多项式应为

x4－1的因式，同时又是

一个2次多项式。由此可得生成多项式为。该四位循环码的码组为：

0000， 0101， 1010， 1111

11.8 已知卷积码编码，每隔两位信息码插入一位监督码，该监督码的取值等于它前面6位信息码的模二加。求此卷积码的编码存储长度m、

编码约束度N以及编码约束长度，并计算当输入信息码为10000100001101时的编码结果。

解：m=2,N=3,编码约束长度为6。输入信息10 00 01 00 00 11 01时，编码结果为 101 001 010 001 001 111 011

x21 12