高中数学讲义微专题25 定积分

一、基础知识1、相关术语：对于定积分b

a

fxdx

（1）a,b:称为积分上下限，其中ab（2）fx：称为被积函数（3）dx：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：

b

2a

xtxdx中的被积函数为fxx2tx，而bx

2

a

txdt的被积函数为ftxtx2

2、定积分b

a

fxdx的几何意义：表示函数fx与x轴，xa,xb围成的面积（x轴上方部分为正，x轴下方部分为负）和，所以只有当fx图像在a,b完全位于x轴上方时，

b

b

a

fxdx才表示面积。a

fxdx可表示数fx与x轴，xa,xb围成的面积的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：（1）微积分基本定理：如果fx是区间a,b上的连续函数，并且F'

xfx，那么

b

a

fxdxFx|baFbFa使用微积分基本定理，关键是能够找到以fx为导函数的原函数Fx。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：fxCf'x0fxxf'xx1fxsinxf'xcosxfxcosxf'xsinxfxaxf'xaxlnafxexf'xexfxlogax

f'x

1xlna

fxlnx

f'x

1x

①寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：fxx3

，则判断属于幂函数类型，原函数应含x4

，但x

4'

4x

3

，而fxx3

，所以原函数为Fx

14

xC（C为常数）42

②如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C，例如fx2x，则FxxC，但在使用微积分基本定理时，会发现FbFa计算时会消去C，所以求定积分时，Fx不需加上常数。（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于x轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。4、定积分的运算性质：假设（1）

b

a

fxdx,gxdx存在a

b



b

a

kfxdxkfxdx

a

b

作用：求定积分时可将fx的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化fx的复杂程度（2）fxgxdxafxdxagxdxa

2

2

2

bbb

作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如

2

1

x2x1dxx2dxxdx1dx

1

1

1

（3）

b

a

fxdxfxdxfxdx，其中acb

a

c

cb

作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。5、若fx具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算（1）若fx为奇函数，则（2）若fx为偶函数，则

a

aa

fxdx0a0fxdxfxdxa00a

a

6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤：（1）通过作图确定所求面积的区域（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数fx,gx（3）若xa,b时，始终有fxgx，则该处面积为

b

a

fxgxdx

7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况（1）构成曲面梯形的函数发生变化（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。二、典型例题：2

x1,1x01

例1：已知函数fx，则fxdx（121x,0x1

38344A.B.C.12124

）D.34

121

，对于3思路：fx在1,0,0,1的解析式不同，所以求定积分时要“依不同而分段”：

1

11fxdxx11

0

2

dx

10

1xdx，而21x10

2

dx

12

x1301



011x2dx无法找到原函数，从而考虑其几何意义：y1x2x2y21y0，11114321xdx为单位圆面积的，即1xdx，所以fxdx

0144341220

答案：B小炼有话说：（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分（2）若被积函数具备“”特征，在无法直接找到原函数时，可考虑其图像的几何意义，运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同例2：A.

40

cos2x

dx（cosxsinx21

）2

B.21

C.21D.22思路：被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简。cos2xcos2xsin2x

fx=cosxsinx，所以：cosxsinxcosxsinxcosxsinxdxsinxcosx|

答案：C例3：设fx2，则x

40

40

21



4

4

fxdx________思路：本题可以通过对x的符号进行分类讨论，将fx写成分段函数，再将定积分拆分为两段分别求解，但若观察到fx为偶函数，则可利用对称性得：

答案：4

4

2x

fxdx22dx2

0ln2

4

x

4

0



30ln2

30ln2

例4：已知A.3x

0

2

2

kdx16，则k（B.）C.123

D.4

思路：先按部就班求解定积分，再解出关于k的方程即可：解：3x

0

2

2

kdxx3kx2082k

82k16解得k4

答案：Dxt

例5：由曲线（t为参数）和yx2围成的封闭图形的面积等于___________2

yt

思路：所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为yx，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为x1,x2，结合图象可得：2191

Sx2x2dxx22xx3|21

-1322

2

答案：92

x2,x0,1

例6：设fx1（其中e为自然对数的底数），则yfx的图像与x0,xe

,x1,ex

以及x轴所围成的图形的面积为___________思路：作出图像可得fx恒在x轴的上方，则面积可用定积分表示，但由于两个区间的函数不同，所以要拆成两个定积分：S



1

0

xdx

2

e

1

11

dxx3x3

1

0

lnx

e1



14133

答案：43例7：曲线yA.2

与直线yx1,x4所围成的封闭图形的面积为（x

B.）D.42ln2

2ln22ln2

C.4ln2

思路：作出图像观察可得：所围成的区域上方曲线为yx1，下方为y

2

，自变量的取值范围为E,F，其中x

2yE:xx2，F4,0，所以所求面积为yx1

421Sx1dxx2x2lnx4242ln22x2

答案：D例8：如图所示，正弦曲线ysinx，余弦曲线ycosx与两直线x0,x所围成的阴影部分的面积为（A.C.）B.D.12

222思路：观察到两部分阴影区域，函数的上下位置不同，所以考虑面积用两段定积分表示，在0,中，ysinx与ycosx的交点横坐标为x

S1

40

，所以0,时，余弦函数位于上方，44



cosxsinxdx，在,处，正弦函数位于上方，S2sinxcosxdx

4

4所以SS1S2答案：Dcosxsinxdxsinxcosxdx2440

2小炼有话说：（1）在求曲线围成的面积时，可遵循被积函数始终“上下”的原则，如果函数发生变化或上下位置改变时，则可以将面积分割为若干段，分别求定积分即可（2）本题还可以采用“填补法”，观察到左边较小阴影部分与x右侧部分中心对称，所以面积相同，从而可将较小阴影部分填补至x右侧。新的阴影部分始终ysinx位于上方，5

可求得阴影部分位于,，所以S4sinxcosxdx22444例9：已知ab，若函数fx,gx满足5

b

a

fxdxgxdx，则称fx,gx为区a

b

间a,b上的一组“等积分”函数，给出四组函数：①fx2x,gxx1③fx1x,gx

2②fxsinx,gxcosx

32

x4④函数fx,gx分别是定义在1,1上的奇函数且积分值存在其中为区间1,1上的“等积分”函数的组数是（A.）D.1

B.2

C.34

思路：按照“等积分”的定义，只需计算出两个函数在1,1处的积分，再判断是否相等即可。解：①121

fxdx2xdx4xdx4x02110

21

1

1



1

1

1

gxdx

1

12

x1dxxx1

2

1

1

1

2

fxdxgxdx

1

1

所以①为“等积分”②fx为奇函数，gx为偶函数fxdx0

1

1

gxdx

11

11

1

cosxdx2cosxdx2sinx102sin1

0

1

③由几何含义可得：121xdx11211313112gxdxxdxx111442fxdx

1

1

1

1

1

fxdxgxdx

所以③为一组“等积分”函数④因为fx,gx为奇函数，所以④为一组“等积分”函数综上所述，①③④为“等积分”函数答案：C

1

1

fxdxgxdx0

1

1

例10：已知函数fxex

1，直线l1:x1,l2:yet

1（t为常数，且0t1），直线l1,l2与函数fx的图像围成的封闭图形如图中阴影所示，当t变化时阴影部分的面积的最小值为___________思路：可解得fx与直线l2的交点为t,et

1，从而用t可表示出阴影部分面积：SSt

tx

dx1

1S20e1e1t

ex1et1dx，化简后可得：St2tet3ete1，再通过导数分析St单调性即可求出St的最小值解：fx与l2的交点为：fxet

1ex

1et

1，解得：xt

所以阴影面积SSt

tx1

1S2xt

0e1e1dxt

e1e1dxtet

ex

dx1

0

t

exetdx

etxext0exetx1t2tet3et

e1

设St2tet

3et

e1，则S'

t2tet

et

et

2t1St在0,12单调递减，在12,1

单调递增St2

min

S1

2e2e1

e1

答案：e1

2

小炼有话说：（1）本题是定积分与导数综合的一道题目，在处理时要理解定积分和导数所起到的作用：定积分用于处理面积，而需要求最值时，非常规函数可用导数解出单调性，从而求最小值。了解每个工具的作用才可在需要时选择正确的方法（2）对于含参数的定积分，首先要确定被积函数的自变量（可观察“d”后面的字母），然后将参数视为一个常量参与运算（包括求原函数和代入上下限）即可，所得的结果通常是含参数的表达式。