2021-2022学年安徽省六安市某校初二（上）期中考试数学试卷
一、选择题
1. 下列坐标平面内的点，在第二象限的是（ ） A.(1,2)
2. 以下列各组线段的长为边，能组成三角形的是( ) A.1𝑐𝑚，2𝑐𝑚，3𝑐𝑚 C.1𝑐𝑚，3𝑐𝑚，3𝑐𝑚
3. 函数𝑦=A.𝑥≠−3
4. 把直线𝑦=2𝑥−3沿𝑦轴向上平移2个单位后，得到的直线的函数表达式为（ ） A.𝑦=2𝑥+2
5. 若点𝐴(−1,𝑎)，𝐵(−4,𝑏)在一次函数𝑦=−5𝑥−3的图象上，则𝑎与𝑏的大小关系是（ ） A.𝑎<𝑏
6. 如图，已知正比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)的函数值𝑦随𝑥的增大而增大，则一次函数𝑦=𝑥+𝑘的图象大致是( )
B.𝑎>𝑏
C.𝑎=𝑏
D.无法确定
B.𝑦=2𝑥−5
C.𝑦=2𝑥−1
D.𝑦=2𝑥+1
1√𝑥+3B.(−1,−2) C.(−1,2) D.(1,−2)
B.1𝑐𝑚，5𝑐𝑚，6𝑐𝑚 D.2𝑐𝑚，4𝑐𝑚，7𝑐𝑚
自变量的取值范围是（ ）
B.𝑥>−3
C.𝑥≥−3
D.𝑥≤−3
A. B.
C.
D.
7. 以下命题中，是真命题的是( ) A.若|𝑎|=|𝑏|，则𝑎=𝑏
B.如果𝑎𝑏>0，那么𝑎，𝑏都是正数
C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 D.互为补角的两个角的平分线互相垂直
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8. 如图，四个图形中，线段𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高的图是( )
A. B.
C.
D.
9. 如图，△𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹，𝐵𝐶=7，𝐸𝐶=4，则𝐶𝐹的长为( )
A.2
10. 如图①，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，动点𝑃从点𝐶出发，沿𝐶−𝐷−𝐴−𝐵方向运动至点𝐵处停止，设点𝑃运动的路程为𝑥， △𝑃𝐵𝐶的面积为𝑦，如果𝑦关于𝑥的函数图象如图②所示，则矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为( )
B.3
C.5
D.7
A.11 二、填空题
如果点𝑃在第二象限内，点𝑃到𝑥轴的距离是4，到𝑦轴的距离是3，那么点𝑃的坐标为________．
已知等腰三角形的两边长分别为3𝑐𝑚和6𝑐𝑚，则这个等腰三角形的周长为________．
如图，把一副常用的三角板如图所示拼在一起，那么图中∠𝐴𝐵𝐹＝________度．
B.14
C.16
D.24
试卷第2页，总18页
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，一次函数图象经过点𝐴 (3,0)，且与𝑦轴交于点𝐵，△𝑂𝐴𝐵的面积为6，则点𝐵的坐标为________． 三、解答题
已知△𝐴𝐵𝐶在平面直角坐标系中的位置如图所示．将△𝐴𝐵𝐶向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到△𝐴1𝐵1𝐶1.（图中每个小方格边长均为1个单位长度）.
(1)在图中画出平移后的△𝐴1𝐵1𝐶1；直接写出𝐴1坐标．𝐴1________;
(2)求出△𝐴𝐵𝐶的面积．
已知𝑦是𝑥的一次函数，且当𝑥=1时，𝑦=1；当𝑥=2时，𝑦=4. (1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式；
(2)该函数截距是________.
已知△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为𝑎，𝑏，𝑐．
(1)若𝑎，𝑏，𝑐满足(𝑎−𝑏)2+(𝑏−𝑐)2=0，试判断△𝐴𝐵𝐶的形状；
(2)若𝑎=5，𝑏=2，且𝑐为整数，求△𝐴𝐵𝐶的周长的最大值．
已知：如图，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐸=𝐴𝐹．求证：△𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐶𝐹.
试卷第3页，总18页
已知直线𝑦=𝑘𝑥+𝑏经过点𝐴(5, 0)，𝐵(1, 4)．
(1)求直线𝐴𝐵的解析式；
(2)若直线𝑦=2𝑥−4与直线𝐴𝐵相交于点𝐶，求点𝐶的坐标；
(3)根据图象，直接写出关于𝑥的不等式2𝑥−4>𝑘𝑥+𝑏的解集．
如图，𝐴𝑀为△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶的中线．
(1)若𝐴𝐵=6,𝐴𝐶=4，则△𝐴𝑀𝐵与△𝐴𝑀𝐶周长之差为________；
(2)若△𝐴𝑀𝐵面积为6，且𝐵𝑀上高为3，求𝐵𝐶的长.
如图，直线𝑦=2𝑥+3与𝑥轴相交于点𝐴，与𝑦轴相交于点𝐵．
(1)求𝐴，𝐵两点的坐标；
(2)过𝐵点作直线𝐵𝑃与𝑥轴正半轴相交于点𝑃，且使𝐴𝑃=2𝑂𝐴，求△𝐵𝑂𝑃的面积．
为预防新冠肺炎，某公司需要购买甲、乙两种防护器材共150件，甲、乙两种防护器材每件的价格分别为600元和1000元．且要求乙种器材的件数不少于甲种器材件数的2倍．设购买甲种商品𝑥件，购买两种商品共花费𝑦元． (1)请求出𝑦与𝑥的函数关系式及𝑥的取值范围；
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(2)试利用函数的性质说明，当购买多少件甲种器材时，所需要的费用最少，最少为多少元？
在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“智慧三角形”．如三个内角分别为120∘，40∘，20∘的三角形是“智慧三角形”.
如图，∠𝑀𝑂𝑁=60∘，在射线𝑂𝑀上找一点𝐴，过点𝐴作𝐴𝐵⊥𝑂𝑀交𝑂𝑁于点𝐵，以𝐴为端点作射线𝐴𝐷，交射线𝑂𝐵于点𝐶．
(1)∠𝐴𝐵𝑂的度数为________∘，△𝐴𝑂𝐵________(填“是”或“不是”)智慧三角形；
(2)若∠𝑂𝐴𝐶=20∘，求证：△𝐴𝑂𝐶为“智慧三角形”；
(3)当△𝐴𝐵𝐶为“智慧三角形”时，求∠𝑂𝐴𝐶的度数．
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参考答案与试题解析
2021-2022学年安徽省六安市某校初二（上）期中考试数学试卷
一、选择题 1. 【答案】 C 【考点】 点的坐标 【解析】 此题暂无解析 【解答】
解：第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正，故点(−1，2)在第二象限. 故选𝐶. 2. 【答案】 C
【考点】
三角形三边关系 【解析】
根据三角形的三边关系来判断即可. 【解答】
解：𝐴，1+2=3，不能组成三角形； 𝐵，1+5=6，不能组成三角形； 𝐶，1+3>3，能组成三角形 ； 𝐷，2+4<7，不能组成三角形. 故选𝐶． 3. 【答案】 B
【考点】
函数自变量的取值范围 【解析】
本题考查了函数式有意义的𝑥的取值范围．一般地从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分． 【解答】
解：根据题意得到：𝑥+3>0， 解得𝑥>−3. 故选𝐵． 4. 【答案】 C 【考点】
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一次函数图象与几何变换 【解析】
根据平移法则上加下减可得出平移后的解析式． 【解答】
解：由题意得：平移后的解析式为：𝑦=2𝑥−3+2，即𝑦=2𝑥−1． 故选𝐶． 5. 【答案】 A
【考点】
一次函数的性质 【解析】
根据一次函数的性质来解答即可. 【解答】
解：∵ 一次函数𝑦=−5𝑥−3中，𝑘=−5<0， ∴ 𝑦随𝑥的增大而减小.
∵ −1>−4，点𝐴(−1,𝑎),𝐵(−4,𝑏)， ∴ 𝑎<𝑏， 故选𝐴． 6. 【答案】 A
【考点】
正比例函数的性质
一次函数图象与系数的关系 【解析】
先根据正比例函数𝑦=𝑘𝑥的函数值𝑦随𝑥的增大而增大判断出𝑘的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论． 【解答】
解：∵ 正比例函数𝑦=𝑘𝑥的函数值𝑦随𝑥的增大而增大， ∴ 𝑘>0， ∵ 𝑏=𝑘>0，
∴ 一次函数𝑦=𝑥+𝑘的图象经过一、二、三象限. 故选𝐴. 7. 【答案】 C
【考点】
真命题，假命题 平行线的性质 邻补角 绝对值 【解析】
试卷第7页，总18页
根据绝对值的意义判定𝐴，根据有理数的乘法判定𝐵，根据平行线的性质判定𝐶，根据邻补角的定义来判𝐷. 【解答】
解：𝐴，若|𝑎|=|𝑏|，则𝑎=±𝑏，故𝐴错误；
𝐵，如果𝑎𝑏>0，那么𝑎，𝑏同号，但不一定都为正数，故𝐵错误； 𝐶，两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补 ，故𝐶正确； 𝐷，互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故𝐷错误. 故选𝐶． 8. 【答案】 D
【考点】 三角形的高 【解析】
根据高的画法知，过点𝐵作𝐴𝐶边上的高，垂足为𝐸，其中线段𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高． 【解答】
解：根据高的画法知，过点𝐵作𝐴𝐶边上的高，垂足为𝐸，其中线段𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高. 由图可得，线段𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的高的图是𝐷． 故选𝐷. 9. 【答案】 B
【考点】
全等三角形的性质 【解析】
利用全等三角形的性质可得𝐸𝐹=𝐵𝐶=7，再解即可． 【解答】
解：∵ △𝐴𝐵𝐶≅△𝐷𝐸𝐹， ∴ 𝐸𝐹=𝐵𝐶=7. ∵ 𝐸𝐶=4， ∴ 𝐶𝐹=3. 故选𝐵. 10. 【答案】 B
【考点】
一次函数的应用 一次函数的图象 【解析】
根据三角形的面积公式和一次函数的图象来解答即可. 【解答】
解：由题意知：当点𝑃在边𝐶𝐷上时，𝑦随𝑥的增大而增大； 当点𝑃在边𝐴𝐷上时，𝑦不随𝑥的变化而变化； 当点𝑃在边𝐴𝐵上时，𝑦随𝑥的增大而减小.
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结合一次函数的图象可知，𝐶𝐷=3，𝐴𝐷=4，
∴ 矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的周长为：2(𝐴𝐷+𝐶𝐷)=2×(3+4)=14. 故选𝐵． 二、填空题 【答案】 (−3,4) 【考点】 点的坐标 【解析】
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到𝑥轴的距离等于纵坐标的长度，到𝑦轴的距离等于横坐标的长度解答． 【解答】
解：∵ 点𝑃在第二象限内，点𝑃到𝑥轴的距离是4，到𝑦轴的距离是3， ∴ 点𝑃的横坐标是−3，纵坐标是4， ∴ 点𝑃的坐标为(−3,4)． 故答案为：(−3,4). 【答案】 15𝑐𝑚
【考点】
三角形三边关系 等腰三角形的性质 【解析】
根据等腰三角形的性质分类计算即可. 【解答】
解：若3𝑐𝑚是腰长，
则三角形的三边分别为3𝑐𝑚，3𝑐𝑚，6𝑐𝑚， 3+3=6，
故不能组成三角形； 若3𝑐𝑚是底边，
则三角形的三边分别为3𝑐𝑚，6𝑐𝑚，6𝑐𝑚， 能组成三角形，
周长=3+6+6=15(𝑐𝑚).
综上所述，这个等腰三角形的周长是15𝑐𝑚. 故答案为：15𝑐𝑚． 【答案】 15
【考点】
三角形的外角性质 【解析】
根据常用的三角板的特点求出∠𝐸𝐴𝐷和∠𝐵𝐹𝐷的度数，根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】
解：由一副常用的三角板的特点可知， ∠𝐸𝐴𝐷=45∘，∠𝐵𝐹𝐷=30∘，
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∴ ∠𝐴𝐵𝐹=∠𝐸𝐴𝐷−∠𝐵𝐹𝐷=15∘. 故答案为：15. 【答案】 (0, 4)或(0, −4)
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点 三角形的面积 【解析】
由点𝐴的坐标可得出𝑂𝐴的长，利用三角形的面积公式可求出𝑂𝐵的长，进而可得出点𝐵的坐标. 【解答】
解：∵ 点𝐴的坐标为(3, 0)， ∴ 𝑂𝐴=3.
∵ 𝑆△𝑂𝐴𝐵=6，即𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=6，
21
∴ 𝑂𝐵=4，
∴ 点𝐵的坐标为(0, 4)或(0, −4). 故答案为：(0, 4)或(0, −4). 三、解答题 【答案】
解：(1)如图所示：△𝐴1𝐵1𝐶1，即为所求；由图知𝐴1(4,−2).
(2)△𝐴𝐵𝐶的面积为：
3×3−×1×3−×1×2−×2×3=3.5.
2
2
2
1
1
1
【考点】
作图－平移变换 点的坐标 三角形的面积 【解析】
(1)直接利用平移的性质得出𝐴，𝐵，𝐶平移后对应点位置. 利用𝛥𝐴𝐵𝐶所在矩形面积减去周围三角形面积即可得出答案． 【解答】
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解：(1)如图所示：△𝐴1𝐵1𝐶1，即为所求；由图知𝐴1(4,−2).
(2)△𝐴𝐵𝐶的面积为：
3×3−2×1×3−2×1×2−2×2×3=3.5. 【答案】
解：(1)设一次函数解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)， 𝑘+𝑏=1,
把𝑥=1，𝑦=1；𝑥=2，𝑦=4代入得{
2𝑘+𝑏=4,𝑘=3,解得{
𝑏=−2,
则一次函数解析式为𝑦=3𝑥−2. −2
【考点】
待定系数法求一次函数解析式 一次函数的图象 【解析】
设一次函数解析式为𝑦＝𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，把𝑥与𝑦的值代入求出𝑘与𝑏的值，即可确定出解析式；
一次函数的截距就是当𝑥=0时，𝑦的值. 【解答】
解：(1)设一次函数解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)， 𝑘+𝑏=1,
把𝑥=1，𝑦=1；𝑥=2，𝑦=4代入得{
2𝑘+𝑏=4,𝑘=3,解得{
𝑏=−2,
则一次函数解析式为𝑦=3𝑥−2. (2)一次函数中的截距就是𝑏的值， 即当𝑥=0，𝑦=𝑏=−2. 故答案为：−2. 【答案】
解：(1)∵ (𝑎−𝑏)2+(𝑏−𝑐)2=0， ∴ 𝑎−𝑏=0，𝑏−𝑐=0， ∴ 𝑎=𝑏=𝑐，
∴ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形.
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1
1
1
(2)∵ 𝑎=5，𝑏=2，且𝑐为整数， ∴ 5−2<𝑐<5+2，即3<𝑐<7， ∴ 𝑐=4，5，6，
∴ 当𝑐=6时，△𝐴𝐵𝐶周长的最大值=5+2+6=13． 【考点】
三角形三边关系
非负数的性质：偶次方 【解析】
（1）直接根据非负数的性质即可得出结论；
（2）根据三角形的三边关系可得出𝑐的取值范围，进而可得出结论． 【解答】
解：(1)∵ (𝑎−𝑏)2+(𝑏−𝑐)2=0， ∴ 𝑎−𝑏=0，𝑏−𝑐=0， ∴ 𝑎=𝑏=𝑐，
∴ △𝐴𝐵𝐶是等边三角形.
(2)∵ 𝑎=5，𝑏=2，且𝑐为整数， ∴ 5−2<𝑐<5+2，即3<𝑐<7， ∴ 𝑐=4，5，6，
∴ 当𝑐=6时，△𝐴𝐵𝐶周长的最大值=5+2+6=13． 【答案】
证明：如图，∠𝐴是△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹的公共角， 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶(已知)，∵ {∠𝐴=∠𝐴(公共角)，，
𝐴𝐸=𝐴𝐹(已知)，∴ △𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆) . 【考点】
全等三角形的判定 【解析】
根据三角形全等判定定理边角边(𝑆𝐴𝑆)进行证明. 【解答】
证明：如图，∠𝐴是△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹的公共角， 在△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐹中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶(已知)，∵ {∠𝐴=∠𝐴(公共角)，，
𝐴𝐸=𝐴𝐹(已知)，∴ △𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐶𝐹(𝑆𝐴𝑆) . 【答案】
5𝑘+𝑏=0,
解：(1)根据题意得{
𝑘+𝑏=4,𝑘=−1,解得{
𝑏=5.
则直线𝐴𝐵的解析式是𝑦=−𝑥+5.
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𝑦=−𝑥+5,
(2)根据题意得{
𝑦=2𝑥−4,𝑥=3,解得{
𝑦=2,则𝐶的坐标是(3, 2).
(3)根据图象可得，当2𝑥−4>𝑘𝑥+𝑏时， 𝑥的值大于𝐶点时𝑥的取值， 即𝑥>3.
【考点】
待定系数法求一次函数解析式
二元一次方程组的应用——几何问题 一次函数与一元一次不等式 【解析】
(1)利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）解两个函数解析式组成方程组即可求解；
（3）关于𝑥的不等式2𝑥−4≤𝑘𝑥+𝑏的解集就是函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象在上边的部分自变量的取值范围． 【解答】
5𝑘+𝑏=0,
解：(1)根据题意得{
𝑘+𝑏=4,𝑘=−1,解得{
𝑏=5.
则直线𝐴𝐵的解析式是𝑦=−𝑥+5. 𝑦=−𝑥+5,
(2)根据题意得{
𝑦=2𝑥−4,𝑥=3,解得{
𝑦=2,则𝐶的坐标是(3, 2).
(3)根据图象可得，当2𝑥−4>𝑘𝑥+𝑏时， 𝑥的值大于𝐶点时𝑥的取值， 即𝑥>3. 【答案】 2
(2)由题意得：
𝑆△𝐴𝑀𝐵=×𝐵𝑀×ℎ=×𝐵𝑀×3=6，
2
2
1
1
解得：𝐵𝑀=4， ∴ 𝐵𝐶=2𝐵𝑀=8. 【考点】 三角形的中线 三角形的面积 【解析】
（1）根据中线得到𝐵𝑀=𝑀𝐶，把两个三角形周长表示出来，即可得出答案； (2)根据三角形面积公式可求𝐵𝐶的长.
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【解答】
解：(1)∵ 𝐴𝑀是△𝐴𝐵𝐶边𝐵𝐶的中线， ∴ 𝐵𝑀=𝑀𝐶，
△𝐴𝑀𝐵的周长=𝐴𝐵+𝐴𝑀+𝐵𝑀， △𝐴𝑀𝐶的周长=𝐴𝑀+𝐴𝐶+𝑀𝐶, ∴ 𝐴𝐵+𝐴𝑀+𝐵𝑀−(𝐴𝑀+𝐴𝐶+𝑀𝐶) =𝐴𝐵+𝐴𝑀+𝐵𝑀−𝐴𝑀−𝐴𝐶−𝑀𝐶 =𝐴𝐵−𝐴𝐶=6−4=2. 故答案为：2. (2)由题意得：
𝑆△𝐴𝑀𝐵=2×𝐵𝑀×ℎ=2×𝐵𝑀×3=6， 解得：𝐵𝑀=4， ∴ 𝐵𝐶=2𝐵𝑀=8. 【答案】
解：(1)当𝑦=0时，2𝑥+3=0， 解得𝑥=−，则𝐴点坐标为(−, 0)；
2
2
3
3
1
1
当𝑥=0时，𝑦=2𝑥+3=3， 则𝐵点坐标为(0, 3).
(2)当点𝑃在𝑥轴的正半轴上， ∵ 𝐴𝑃=2𝑂𝐴， ∴ 𝑂𝐴=𝑂𝑃， ∴ 𝑃点坐标为(2, 0)， ∴ △𝐵𝑂𝑃的面积=⋅⋅3=. 2
2
4
1
3
9
3
【考点】
一次函数图象上点的坐标特点 三角形的面积 【解析】
(1)根据坐标轴上点的坐标特征求𝐴点和𝐵点坐标；
(2)分类讨论：当点𝑃在𝑥轴的正半轴上，如图1，由𝐴𝑃=2𝑂𝐴得到𝑂𝐴=𝑂𝑃=，则𝑃
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点坐标为(, 0)，然后根据三角形面积公式计算；当点𝑃在𝑥轴的负半轴上，如图2，由
2
3
𝐴𝑃=2𝑂𝐴得到𝑂𝑃=3𝑂𝐴=2，则𝑃点坐标为(−2, 0)，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】
解：(1)当𝑦=0时，2𝑥+3=0， 解得𝑥=−2，则𝐴点坐标为(−2, 0)； 当𝑥=0时，𝑦=2𝑥+3=3， 则𝐵点坐标为(0, 3).
(2)当点𝑃在𝑥轴的正半轴上， ∵ 𝐴𝑃=2𝑂𝐴，
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3
3
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∴ 𝑂𝐴=𝑂𝑃， ∴ 𝑃点坐标为(, 0)，
23
∴ △𝐵𝑂𝑃的面积=2⋅2⋅3=4. 【答案】
解：(1)设甲器材有𝑥件，则乙器材有(150−𝑥)件， 150−𝑥≥2𝑥,
根据题意得{
𝑥>0,解得0<𝑥≤50．
则𝑦与𝑥的函数关系式是
𝑦=600𝑥+1000(150−𝑥)
=−400𝑥+150000(0<𝑥≤50).
(2)∵ 𝑘=−400<0，
∴ 一次函数𝑦随𝑥的增大而减少， ∴ 当𝑥=50时，
𝑦min=−400×50+150000=130000（元）.
则购买50件甲种器材时，所需费用最少，为130000元. 【考点】
一次函数的应用 【解析】
(1)设甲商品有𝑥件，则乙商品则有(150−𝑥)件，根据甲、乙两种商品共150件和乙种商品的件数不少于甲种商品件数的2倍，列出不等式组，求出𝑥的取值范围，再根据甲、乙两种商品的价格列出一次函数关系式即可.
(2)根据(1)得出一次函数𝑦随𝑥的增大而减少，即可得出当𝑥=50时，所需要的费用最少． 【解答】
解：(1)设甲器材有𝑥件，则乙器材有(150−𝑥)件， 150−𝑥≥2𝑥,
根据题意得{
𝑥>0,解得0<𝑥≤50．
则𝑦与𝑥的函数关系式是
𝑦=600𝑥+1000(150−𝑥)
=−400𝑥+150000(0<𝑥≤50).
(2)∵ 𝑘=−400<0，
∴ 一次函数𝑦随𝑥的增大而减少， ∴ 当𝑥=50时，
𝑦min=−400×50+150000=130000（元）.
则购买50件甲种器材时，所需费用最少，为130000元. 【答案】 30,是
(2)证明：∵ ∠𝐴𝑂𝐶=60∘，∠𝑂𝐴𝐶=20∘， ∴ ∠𝐴𝑂𝐶=3∠𝑂𝐴𝐶， ∴ △𝐴𝑂𝐶为“智慧三角形”.
(3)∵ △𝐴𝐵𝐶为“智慧三角形”，
①当点𝐶在线段𝑂𝐵上时，∵ ∠𝐴𝐵𝑂=30∘，
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∴ ∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐶𝐴=150∘， ∠𝐴𝐶𝐵≥60∘，∠𝐵𝐴𝐶≤90∘，
Ⅰ、当∠𝐴𝐵𝐶=3∠𝐵𝐴𝐶时，∠𝐵𝐴𝐶=10∘， ∴ ∠𝑂𝐴𝐶=80∘，
Ⅱ、当∠𝐴𝐵𝐶=3∠𝐴𝐶𝐵时， ∴ ∠𝐴𝐶𝐵=10∘， ∴ 此种情况不存在，
Ⅲ、当∠𝐵𝐶𝐴=3∠𝐵𝐴𝐶时， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶+3∠𝐵𝐴𝐶=150∘， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=37.5∘， ∴ ∠𝑂𝐴𝐶=52.5∘，
Ⅳ、当∠𝐵𝐶𝐴=3∠𝐴𝐵𝐶时， ∴ ∠𝐵𝐶𝐴=90∘， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=60∘，
∴ ∠𝑂𝐴𝐶=90∘−60∘=30∘， Ⅴ、当∠𝐵𝐴𝐶=3∠𝐴𝐵𝐶时， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=90∘， ∴ ∠𝑂𝐴𝐶=0∘，
∵ 此时𝐶与点𝑂重合， Ⅵ、当∠𝐵𝐴𝐶=3∠𝐴𝐶𝐵时， ∴ 3∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐵=150∘， ∴ ∠𝐴𝐶𝐵=37.5∘， ∴ 此种情况不存在，
②当点𝐶在线段𝑂𝐵的延长线上时， ∵ ∠𝐴𝐶𝑂<30∘， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=150∘，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=30∘， Ⅰ、当∠𝐴𝐶𝐵=3∠𝐵𝐴𝐶时， ∴ 3∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐶=30∘， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=7.5∘，
∴ ∠𝑂𝐴𝐶=90∘+∠𝐵𝐴𝐶=97.5∘， Ⅱ、当∠𝐵𝐴𝐶=3∠𝐵𝐶𝐴时， ∴ 3∠𝐵𝐶𝐴+∠𝐵𝐶𝐴=30∘， ∴ ∠𝐵𝐶𝐴=7.5∘，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶=3∠𝐵𝐶𝐴=22.5∘，
∴ ∠𝑂𝐴𝐶=90∘+22.5∘=112.5∘. 当△𝐴𝐵𝐶为“智慧三角形”时，
∠𝑂𝐴𝐶的度数为0∘或80∘或52.5∘或30∘或97.5∘或112.5∘． 【考点】
三角形内角和定理 【解析】
(1)根据垂直的定义、三角形内角和定理求出∠𝐴𝐵𝑂的度数，根据“智慧三角形”的概念判断；
(2)根据“智慧三角形”的概念证明即可；
(3)分点𝐶在线段𝑂𝐵和线段𝑂𝐵的延长线上两种情况，根据“智慧三角形”的定义计算． 【解答】
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(1)解：∵ 𝐴𝐵⊥𝑂𝑀， ∴ ∠𝑂𝐴𝐵=90∘，
∴ ∠𝐴𝐵𝑂=90∘−∠𝑀𝑂𝑁=30∘. ∵ ∠𝑂𝐴𝐵=3∠𝐴𝐵𝑂， ∴ △𝐴𝑂𝐵是“智慧三角形”. 故答案为：30；是.
(2)证明：∵ ∠𝐴𝑂𝐶=60∘，∠𝑂𝐴𝐶=20∘， ∴ ∠𝐴𝑂𝐶=3∠𝑂𝐴𝐶， ∴ △𝐴𝑂𝐶为“智慧三角形”.
(3)∵ △𝐴𝐵𝐶为“智慧三角形”，
①当点𝐶在线段𝑂𝐵上时，∵ ∠𝐴𝐵𝑂=30∘， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐶𝐴=150∘， ∠𝐴𝐶𝐵≥60∘，∠𝐵𝐴𝐶≤90∘，
Ⅰ、当∠𝐴𝐵𝐶=3∠𝐵𝐴𝐶时，∠𝐵𝐴𝐶=10∘， ∴ ∠𝑂𝐴𝐶=80∘，
Ⅱ、当∠𝐴𝐵𝐶=3∠𝐴𝐶𝐵时， ∴ ∠𝐴𝐶𝐵=10∘， ∴ 此种情况不存在，
Ⅲ、当∠𝐵𝐶𝐴=3∠𝐵𝐴𝐶时， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶+3∠𝐵𝐴𝐶=150∘， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=37.5∘， ∴ ∠𝑂𝐴𝐶=52.5∘，
Ⅳ、当∠𝐵𝐶𝐴=3∠𝐴𝐵𝐶时， ∴ ∠𝐵𝐶𝐴=90∘， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=60∘，
∴ ∠𝑂𝐴𝐶=90∘−60∘=30∘， Ⅴ、当∠𝐵𝐴𝐶=3∠𝐴𝐵𝐶时， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=90∘， ∴ ∠𝑂𝐴𝐶=0∘，
∵ 此时𝐶与点𝑂重合， Ⅵ、当∠𝐵𝐴𝐶=3∠𝐴𝐶𝐵时， ∴ 3∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝐵=150∘， ∴ ∠𝐴𝐶𝐵=37.5∘， ∴ 此种情况不存在，
②当点𝐶在线段𝑂𝐵的延长线上时， ∵ ∠𝐴𝐶𝑂<30∘， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶=150∘，
∴ ∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐵𝐴𝐶=30∘， Ⅰ、当∠𝐴𝐶𝐵=3∠𝐵𝐴𝐶时， ∴ 3∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐶=30∘， ∴ ∠𝐵𝐴𝐶=7.5∘，
∴ ∠𝑂𝐴𝐶=90∘+∠𝐵𝐴𝐶=97.5∘， Ⅱ、当∠𝐵𝐴𝐶=3∠𝐵𝐶𝐴时， ∴ 3∠𝐵𝐶𝐴+∠𝐵𝐶𝐴=30∘， ∴ ∠𝐵𝐶𝐴=7.5∘，
∴ ∠𝐵𝐴𝐶=3∠𝐵𝐶𝐴=22.5∘， ∴ ∠𝑂𝐴𝐶=90∘+22.5∘=112.5∘.
试卷第17页，总18页
当△𝐴𝐵𝐶为“智慧三角形”时，
∠𝑂𝐴𝐶的度数为0∘或80∘或52.5∘或30∘或97.5∘或112.5∘．
试卷第18页，总18页
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