一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）9的相反数是(
)
A．9
B．9
C．
19
D．
19
2．（3分）下列运算一定正确的是(
)
A．2a
2a
2a2
B．a2
ga3
a
6
C．(2a2)3
6a
6
D．(a
b)(a
b)a
2
b
2
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(
)
A．B．
C．D．
4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
(
)
A．B．
C．D．
5．（3分）如图，PA、PB分别与eO相切于A、B两点，点C为eO上一点，连接BC，若
P
50，则
ACB的度数为(
)
AC、
A．60
6．（3分）将抛物线抛物线为(A．y
2(x
)2)
2
B．75y
2
C．70D．65
2个单位长度，所得到的
2x向上平移3个单位长度，再向右平移
3B．y2(x2)
2
3C．y2(x2)
2
3D．y2(x2)
2
3
7．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件降价的百分率为A．20%8．（3分）方程A．x
311
23x1
3x
(
)
B．40%的解为(B．x
113y，1)
kx)
C．x
37
C．18%
25元降到每件16元，则平均每次
D．36%
D．x
73
(
)
9．（3分）点(1,4)在反比例函数A．(4,1)
B．(
14
的图象上，则下列各点在此函数图象上的是
C．(4,1)
D．(
14，2)
10．（3分）如图，在YABCD中，点E在对角线BD上，EM//AD，交AB于点M，EN//AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是
(
)
A．
AMBM
NEDE
B．
AMAB
ANAD
C．
BCME
BEBD
D．
BDBE
BCEM
二、填空题（每小题3分，共计30分）
．
．．
11．（3分）数6260000用科学记数法可表示为12．（3分）在函数y13．（3分）把多项式a
3x2x3
3
2
中，自变量x的取值范围是
2
6ab9ab分解因式的结果是
3
14．（3分）不等式组
x
的解集是2
3x2…1y
(x
6)
2
,0
．
15．（3分）二次函数16．（3分）如图，将
8的最大值是．
ABC，其中点A与A是对应点，点BACB
45，AC
3，BC
2，则AB
ABC绕点C逆时针旋转得到△
与B是对应点，点B落在边AC上，连接AB，若的长为
．
17．（3分）一个扇形的弧长是18．（3分）在角三角形，则
ABC中，
A
11cm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是50，
度．
B
30，点D在AB边上，连接CD，若
度．ACD为直
BCD的度数为
19．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为20．（3分）如图，在四边形
ABCD中，AB
．
1到6的点数，则
AD，BCDC，A60，点E为AD边上8，CE
6，则BC的
一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE//AB，若AB长为
．
三、解答题（其中21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简再求值：
x
(x22
xx
2
2
2x
)4x4xx4
，其中x2
4tan452cos30．
22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形面积为8．
ABC，点B在小正方形顶点上；
ACD的
ACD，点D在小正方形的顶点上，且
23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，
学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，
要求
学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有
1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
24．（8分）已知：在矩形（1）如图1，求证：AE（2）如图
2，当
ADB
ABCD中，BD是对角线，AECF；
BD于点E，CFBD于点F．
30时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接
ABCD面积的
18．
写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形
25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共可以购买多少副围棋？
CH是eO的两条弦，AB26．（10分）已知：MN为eO的直径，OE为eO的半径，AB、于点D，CH
MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．
HFB
2EHN；
ME，
EON
4CHN，求
OE
40副，总费用不超过
550元，那么寒梅中学最多
3副围棋和5副中国象棋需用
98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需
（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：
（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA证：MP
AB；
OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN
2，求RG的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点R，连接RG，若HK:ME
2:3，BC
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，
点O为坐标原点，直线y
43
x
4与x轴交于点A，
与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ
AP，连接PQ，设点P的横坐
标为t，范围）；
PBQ的面积为S(S
0)，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值
（3）在（2）的条件下，点为
25
E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点
APEQMR
R的纵坐标
，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，CBE，连接PF，PF的延24，求直线PM的解析式．
长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tan
23
2019年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1．（3分）9的相反数是(
)
A．9
B．9
C．
19
D．
19
【考点】14：相反数
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．【解答】解：9的相反数是9，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．2．（3分）下列运算一定正确的是()
A．2a
2a
2a2
B．a2
ga3
a
6
C．(2a2)3
6a
6
D．(a
b)(ab)a
2
b
2
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；46：同底数幂的乘法；35：合并同类项；
4F：平方差
公式
【分析】利用同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，平方差公式解题即可；【解答】解：2a2a
4a，A错误；
a2
ga
3
a5
，B错误；(2a2)
3
8a6
，C错误；
故选：D．
【点评】本题考查整式的运算；熟练掌握同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘法法则，
差公式是解题的关键．
3．（3分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是
(
)
A．B．
平方
C．
【考点】P3：轴对称图形；
R5：中心对称图形
D．
【分析】根据轴对称及中心对称图形的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形，熟知把一个图形绕某一点旋转
180，如果旋转后的
图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形是解答此题的关键．4．（3分）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是
(
)
A．B．
C．
【考点】U2：简单组合体的三视图【分析】左视图有2列，从左到右分别是【解答】解：这个立体图形的左视图有故选：B．
D．
2，1个正方形．2列，从左到右分别是
2，1个正方形，
【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．
5．（3分）如图，PA、PB分别与eO相切于A、B两点，点C为eO上一点，连接BC，若
P
50，则
ACB的度数为(
)
AC、
A．60B．75
MC：切线的性质OAP
OBP
C．70D．65
【考点】M5：圆周角定理；【分析】先利用切线的性质得度数，然后根据圆周角定理计算
90，再利用四边形的内角和计算出AOB的
ACB的度数．
【解答】解：连接OA、OB，
QPA、PB分别与eO相切于A、B两点，
OA
PA，OB
OBP18012
AOB
PB，90，P12180130
50
130，
OAPAOBACB
65．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．6．（3分）将抛物线抛物线为(A．y
2(x
)2)
2
y2x向上平移3个单位长度，再向右平移
2
2个单位长度，所得到的
3B．y2(x2)
2
3C．y2(x2)
2
3D．y2(x2)
2
3
【考点】H6：二次函数图象与几何变换
【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线抛物线的解析式为故选：B．
y
y2(x
2x向上平移3个单位长度，再向右平移2)
22
2个单位长度，得到的
3，
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7．（3分）某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件降价的百分率为A．20%
(
)
B．40%
C．18%
D．36%
25元降到每件16元，则平均每次
【考点】AD：一元二次方程的应用【分析】设降价得百分率为
x，根据降低率的公式
x
a(1x)
2
b建立方程，求解即可．
【解答】解：设降价的百分率为根据题意可列方程为解方程得x1
15，x2
25(1x)95
2
16
（舍)
每次降价得百分率为故选：A．
20%
【点评】本题考查了一元二次方程实际应用问题关于增长率的类型问题，按照公式a(1x)
2
b对照参数位置代入值即可，公式的记忆与运用是本题的解题关键．
23x1
3x
的解为(B．x
113
)
C．x
37
D．x
73
8．（3分）方程A．x
311
【考点】B3：解分式方程【分析】将分式方程化为【解答】解：
2xx(3x2xx
1)9x37；
37
是方程的根，
37；23x11)，3x，
2xx(3x1)
3(3x1)x(3x1)
，即可求解x
37
；同时要进行验根即可求解；
3(3x
x(3x1)3，
将检验x
方程的解为x故选：C．
【点评】本题考查解分式方程；熟练掌握分式方程的解法及验根是解题的关键．
9．（3分）点(1,4)在反比例函数A．(4,1)
B．(
14
y，1)
kx
的图象上，则下列各点在此函数图象上的是
C．(4,1)
D．(
14，2)
()
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征【分析】将点(1,4)代入y
kx
，求出函数解析式即可解题；kx，
【解答】解：将点(1,4)代入yky
4，4x，
点(4,1)在函数图象上，故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质；题的关键．
10．（3分）如图，在YABCD中，点E在对角线BD上，EM//AD，交AB于点M，EN//AB，交AD于点N，则下列式子一定正确的是
(
)
熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解
A．
AMBM
NEDE
B．
AMAB
ANAD
C．
BCME
BEBD
D．
BDBE
BCEM
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质
【分析】根据平行四边形的性质以及相似三角形的性质．【解答】解：
Q在YABCD中，EM//AD易证四边形AMEN为平行四边形易证AMBMAMABBCME
BEM∽BAD∽ENDNEBMNDADADME
DEBE
，A项错误
，B项错误BDBE
，C项错误
BDBE
ACME
BCME
，D项正确
故选：D．
【点评】此题主要考查相似三角形的性质及平行四边形的性质，角形，利用相似三角形的性质求解．二、填空题（每小题
3分，共计30分）
6.2610
6
本题关键是要懂得找相似三
11．（3分）数6260000用科学记数法可表示为【考点】1I：科学记数法
表示较大的数
．
【分析】科学记数法的表示形式为时，要看把原数变成原数绝对值
a10的形式，其中1,|a|10，n为整数．确定
n
n的值
a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当
1时，n是正数；当原数的绝对值1时，n是负数．
6
【解答】解：6260000用科学记数法可表示为故答案为：6.2610．
6
6.2610，
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
1,|a|10，n为整数，表示时关键要正确确定12．（3分）在函数y
3x2x3
a的值以及n的值．
a10的形式，其中
n
中，自变量x的取值范围是
x
32
．
【考点】E4：函数自变量的取值范围【分析】函数中分母不为零是函数【解答】解：函数yx
32；
32；
熟练掌握函数中自变量的取值范围的求法是解题
3x2x
3
y
3x2x33
有意义的条件，因此
2x
3
0即可；
中分母2x0，
故答案为x
【点评】本题考查函数自变量的取值范围；的关键．
13．（3分）把多项式a
3
6ab9ab分解因式的结果是
22
a(a3b)
2
．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：aa(a
2
3
6ab
2
2
9ab
2
6ab9b)
a(a3b)．
3b)．
熟练掌握因式分解的方法是解本题的
2
2
故答案为：a(a
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，关键．
3
14．（3分）不等式组
x,0
的解集是2
3x2…1
x…3．
【考点】CB：解一元一次不等式组【分析】分别求出每一个不等式的解集，大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式解不等式3x
32x
,0，得：x…3，
根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
2…1，得：x…1，
3
不等式组的解集为故答案为：x…3．
x…3，
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．15．（3分）二次函数
y
(x
6)
2
8的最大值是8．
【考点】H7：二次函数的最值【分析】利用二次函数的性质解决问题．【解答】解：Qay有最大值，当x
6时，y有最大值8．
10，
故答案为8．
【点评】本题主要考查二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．16．（3分）如图，将
ABC绕点C逆时针旋转得到△
ABC，其中点A与A是对应点，点BACB
45，AC
3，BC
2，则AB
与B是对应点，点B落在边AC上，连接AB，若的长为
13
．
【考点】KQ：勾股定理；R2：旋转的性质【分析】由旋转的性质可得股定理可求解．【解答】解：Q将AC
AC
90BC
2
ACAC
3，
ACBACA
45，可得
ACB
90，由勾
ABC绕点C逆时针旋转得到△ACB
ACA
45
ABC，
3，
ACBAB故答案为
AC
2
13
13
【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．17．（3分）一个扇形的弧长是【考点】MN：弧长的计算【分析】直接利用弧长公式【解答】解：根据l解得：n
110，
nr180
l
nr180180
即可求出n的值，计算即可．11，
11cm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是
110
度．
ng18
故答案为：110．
【点评】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键．18．（3分）在角三角形，则
ABC中，
A
50，
B
30，点D在AB边上，连接CD，若度．
ACD为直
BCD的度数为60或10
【考点】K8：三角形的外角性质；【分析】当
K7：三角形内角和定理
ADC
90或
ACD
90，根据三角
ACD为直角三角形时，存在两种情况：
形的内角和定理可得结论．【解答】解：分两种情况：①如图1，当
ADC
90时，
QB30，
90
30ACD
60；90时，
BCD
②如图2，当
QA
50，180100
B30
30，50
100，
ACBBCD综上，则
90
10，
BCD的度数为60或10；
故答案为：60或10；
【点评】本题考查了三角形的内角和定理和三角形外角的性质，分情况讨论是本题的关键．19．（3分）同时掷两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上分别刻有这两枚骰子向上的一面出现的点数相同的概率为【考点】X6：列表法与树状图法【分析】首先根据题意列出表格，
然后由表格即可求得所有等可能的结果与两枚骰子点数相
16
．
1到6的点数，则
同的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：列表得：
(1,6)(1,5)(1,4)(1,3)
(2,6)(2,5)(2,4)(2,3)
(3,6)(3,5)(3,4)(3,3)
(4,6)(4,5)(4,4)(4,3)
(5,6)(5,5)(5,4)(5,3)
(6,6)(6,5)(6,4)(6,3)
(1,2)(1,1)由表可知一共有
(2,2)(2,1)
(3,2)(3,1)
(4,2)(4,1)6种，
(5,2)(5,1)
(6,2)(6,1)
36种情况，两枚骰子点数相同的有
636
16，
所以两枚骰子点数相同的概率为故答案为：
16．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求随机事件的概率，所有可能的结果，适合于两步完成的事件；到的知识点为：概率
列表法可以不重复不遗漏的列出
用
解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．
所求情况数与总情况数之比．
ABCD中，AB
20．（3分）如图，在四边形
AD，BC
DC，A
60，点E为AD边上8，CE
6，则BC的
一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE//AB，若AB长为
27
．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质
【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，ABD是等边三角形，可得BAO，可得DE
DAO
30，AB
AD
BD
8，BO
OD
4，通过证明
EDF是等边三角形
EFDF2，由勾股定理可求
AC交BD于点O
OC，BC的长．
【解答】解：如图，连接
QABAD，BCDC，
A
60，
AC垂直平分BD，BAOBO
OD
DAO4
ABD是等边三角形
AD
BD
8，
30，AB
QCE//AB
BAODAOAE
CE
ACEACE6
30，30
CED
BAD
60
DE
Q
ADAE
ADB
2
60
CED
EDF是等边三角形DE
CFOCBC
EF
CECFBO
DF
EF
2
2
4，OF
OD
DF
2
OFOC
2
2327
勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本
22
【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，题的关键．三、解答题（其中
21～22题各7分，23-24题各8分，25～27题各10分，共计60分）
21．（7分）先化简再求值：(
xx
22
x
x
2
2
2x4x
4
)
xx
42
，其中x4tan452cos30．
【考点】6D：分式的化简求值；T5：特殊角的三角函数值
再依据特殊锐角三角函数值求得
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，
x的值，代入计算可得．
【解答】解：原式(xxxxxx当x
422xg2x，x24xx)g2x
[24
xx
22
x(x(x
2)2)
2
]
xx
42
4tan454433
33
2cos30412
32
4
3时，
原式
4
4
433
3
．
解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，
22．（7分）图1、2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出以AC为底边的等腰直角三角形（2）在图2中画出以AC为腰的等腰三角形面积为8．
ABC，点B在小正方形顶点上；
ACD的
ACD，点D在小正方形的顶点上，且
【考点】KI：等腰三角形的判定；KW：等腰直角三角形；
KS：勾股定理的逆定理；N4：作图
应用与设计作图；
KQ：勾股定理
【分析】（1）作AC的垂直平分线，作以AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为点（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点【解答】解；（1）作AC的垂直平分线，作以点B；
B；
D；
AC为直径的圆，垂直平分线与圆的交点即为
（2）以C为圆心，AC为半径作圆，格点即为点D；
【点评】本题考查尺规作图，作图方法是解题的关键．
等腰三角形的性质；熟练掌握等腰三角形和直角三角形的尺规
23．（8分）建国七十周年到来之际，海庆中学决定举办以“祖国在我心中”为主题的读书活动．为了使活动更具有针对性，
学校在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，
要求
学生在“教育、科技、国防、农业、工业”五类书籍中，选取自己最想读的一种（必选且只选一种），学校将收集到的调查结果适当整理后，绘制成如图所示的不完整的统计图．请根据图中所给的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？（2）请通过计算补全条形统计图；（3）如果海庆中学共有
1500名学生，请你估计该校最想读科技类书籍的学生有多少名．
【考点】V5：用样本估计总体；VC：条形统计图；VB：扇形统计图
【分析】（1）由最想读教育类书籍的学生数除以占的百分比求出总人数即可；（2）确定出最想读国防类书籍的学生数，补全条形统计图即可；（2）求出最想读科技类书籍的学生占的百分比，乘以
1500即可得到结果．
【解答】解：（1）根据题意得：18答：在这次调查中，一共抽取了（2）60
(18912
6)
30%60（名)，
60名学生；
15（名)，
15名，
则本次调查中，选取国防类书籍的学生有补全条形统计图，如图所示：
（3）根据题意得：
1500
960
225（名)，
225名．
弄清题意是解本题的
答：该校最想读科技类书籍的学生有
【点评】此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，关键．
24．（8分）已知：在矩形（1）如图1，求证：AE（2）如图
2，当
ADB
ABCD中，BD是对角线，AECF；
BD于点E，CFBD于点F．
30时，连接AF、CE，在不添加任何辅助线的情况下，请直接
ABCD面积的
18．
写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形
【考点】LB：矩形的性质；【分析】（1）由AAS证明
KD：全等三角形的判定与性质
ABE
CDF，即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出AE出EG面积
12
AD，得出
CBD
18AB
ADBAD
30，由直角三角形的性质得出18
BE
12
AB，
ABE的面积
18
矩形ABCD的面积，由全等三角形的性质得EG
BC于G，由直角三角形的性质得出18
矩形ABCD的面积，同理：
CDF的面积12BE
12
12
矩形ABCD的面积；作14
AB，得出
AB
BCE的面积ADF的
18
矩形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：Q四边形ABCD是矩形，AB
CD，AB//CD，AD//BC，
ABEQAE
DF，
BD于点F，
BD于点E，CF
CFD
90，
AEB
ABE
在
CDFCFD
，
ABE和CDF中，
AEBAB
CD
ABEAE
CDF(AAS)，
CF；
（2）解：18
ABE的面积
CDF的面积BCE的面积
ADF的面积
矩形ABCD面积的
．理由如下：
QAD//BC，
CBDQ
ABCABE
ADB90，60，
30，
QAEBD，
30，AB，AE
12
12BE
AD，AE
12
12AB
12AD
18AB
AD
18
矩形ABCD的面积，
BAEBE
12
ABE的面积
QABE
CDF，
18
矩形ABCD的面积；
CDF的面积
作EGQ
CBDEG
BC于G，如图所示：30，BE
12
1212AB
14AB，12BC
14AB
18BC
AB
18
矩形ABCD的面积，
12
BCE的面积同理：
BC
18
EG
ADF的面积
矩形ABCD的面积．
【点评】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、含30角的直角三角形的性质、
30角的直角三角形的性
平行线的性质、三角形面积公式等知识；熟练掌握矩形的性质和含质，证明三角形全等是解题的关键．
25．（10分）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买用158元；
（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共可以购买多少副围棋？
【考点】C9：一元一次不等式的应用；
9A：二元一次方程组的应用
3x8x
5y3y
98158
40副，总费用不超过
550元，那么寒梅中学最多
3副围棋和5副中国象棋需用
98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需
【分析】（1）设每副围棋x元，每副中国象棋
y元，根据题意得：
，求解即可；
（2）设购买围棋解；
z副，则购买象棋(40z)副，根据题意得：16z10(40z),550，即可求
【解答】解：（1）设每副围棋
3x8x
5y3y
98158
x元，每副中国象棋
y元，
根据题意得：，
xy
1610
，
每副围棋16元，每副中国象棋（2）设购买围棋
z副，则购买象棋
10元；(40
z)副，
根据题意得：16z10(40z),550，
z,25，
最多可以购买
25副围棋；
一元一次不等式的应用；
能够通过已知条件列出准确的
【点评】本题考查二元一次方程组，方程组和不等式是解题的关键．
26．（10分）已知：MN为eO的直径，OE为eO的半径，AB、CH是eO的两条弦，AB于点D，CH
MN于点K，连接HN、HE，HE与MN交于点P．
HFB
2EHN；
ME，
EON
OE
（1）如图1，若AB与CH交于点F，求证：
（2）如图2，连接ME、OA，OA与ME交于点Q，若OA证：MP
4CHN，求
AB；
OC、BC、AH，OC与EH交于点G，AH与MN
2，求RG的长．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接交于点R，连接RG，若HK:ME
2:3，BC
【考点】MR：圆的综合题
【分析】（1）利用“四边形内角和为
360”、“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”即可；
（2）根据同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，先证证明MP
ABMB，再根据“等角对等边”，
ME；
HK:ME
2:3转化为OQ:MQ
BC
4:3；可设
（3）由全等三角形性质和垂径定理可将
RtOMQ两直角边为：OQ4k，MQ3k，再构造直角三角形利用
2，求出k的值；
求得OP
OR
OG，得PGR为直角三角形，应用勾股定理求
OE于点D，CH
RG．
【解答】解：（1）如图1，QAB
MN于点K
ODBOKC90Q
ODBDFKOKCEON
360
DFKEON180Q
DFKHFB180
HFBEONQ
EON2EHNHFB
2EHN
（2）如图2，连接OB，QOA
ME，
AOMAOE
QAB
OE
AOEBOEAOMAOEAOE
BOE，
即：
MOE
AOB
ME
AB
Q
EON4CHN，EON
2EHN
EHN2CHNEHC
CHN
QCHMN
HPNHNMQ
HPN
EPM，
HNM
HEM
EPMHEM
MPMEMP
AB
（3）如图3，连接BC，过点A作AFBC于F，过点A作AL
由（2）知：
EHCCHN，
AOM
AOE
EOCCONQ
EOC
CON
AOM
AOE
180
MN于L，连接AMAC，
，AOEEOC
90，AOMCON90
QOA
ME，CH
MN
OQMOKC90，CKHK，ME
2MQ，
AOMOMQ90
CONOMQ
QOC
OA
OCKMOQ(AAS)CK
OQ
HK
QHK:ME2:3，即：OQ:2MQ2:3
OQ:MQ4:3设OQ4k，MQ
3k，
则OM
OQ
2
MQ2
(4k)2
(3k)
2
5k，ABME
6k
在RtOAC中，ACOA
2
OC2
(5k)
2
(5k)2
52k
Q四边形ABCH内接于eO，
AHC12
AOC
12
90
45，
ABC180AHC18045135，ABF180
ABC
180
135
45AF
BFABgcosABF
6kgcos4532k
在RtACF中，AF2
CF
2
AC
2
即：(32k)2
(32k2)
2
(52k)2
，解得：k11，k12
7
OQHK4，MQOK3，OMON5KNKP
2，OPONKN
KP
5
22
1，
在
HKR中，
HKR
90，
RHK45，
RKHK
tanRHKtan45
1
RK
HK
4
ORRN
ON4
2
5
1
Q
CONOMQ
OC//MEPGO
HEM
（不符合题意，舍去）
QEPM
HEM
PGOEPMOG
OPOR
1
PGR
90
在RtHPK中，PHHK2
PK
2
4
2
2
2
2Q
POG
PHN，
OPG
HPN
POG∽PHNPGPN，即PG4，PG
25PO
PH
1
25
5RGRP
2
PG
2
2
2
(
25455
)
2
5
．
5
【点评】本题是有关圆的几何综合题，难度较大，综合性很强；主要考查了垂径定理，圆周角与圆心角，同圆中圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形性质，全等三角形性质，勾股定理及解直角三角形等．
27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，
点O为坐标原点，直线y
43x
4与x轴交于点A，
与y轴交于点B，直线BC与x轴交于点C，且点C与点A关于y轴对称；（1）求直线BC的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC上一点，BQ标为t，范围）；
（3）在（2）的条件下，点为
25
PBQ的面积为S(S
AP，连接PQ，设点P的横坐
t的取值
0)，求S与t之间的函数关系式（不要求写出自变量
E在线段OA上，点R在线段BC的延长线上，且点
APE
R的纵坐标
，连接PE、BE、AQ，AQ与BE交于点F，CBE，连接PF，PF的延2423
，求直线PM的解析式．
长线与y轴的负半轴交于点M，连接QM、MR，若tanQMR
【考点】FI：一次函数综合题【分析】（1）由y
43x
4，求出A(3，0)B(0，4)，所以C(3,0)，设直线BC的解析式为
ykx
b，将B(0,4)，C(3,0)代入，解得k
43
，b
4，所以直线BC的解析式y
BC于N，PG4
43
x
4；
（2）过点sin
ACD
A作AD
ADAC
OBBC352425
BC于点点D，过点，即
AD6
45
，求出AD
P作PN
24
OB于点G．由
cosBAO，
，设P(t,t
53
4)，由cosBPG
24
即
PGPB242543t
2
OAABPB
，求出(53t)
85
PB
53
t，由sin5
53
ABC
12
PNPB
ADAB
12
5
5(5
53
2425t)g(
，求得85t)，即
PNS
t，BQt，所以S
BQgPN
4t；
连接AT、PT、AM、PT交OA于点S，易证AT//BC，EP，
QBF，于是AF
QF，TF
（3）如图，延长BE至T使ET所以所以sin
TAE
FQB，
ATF
BF，再证明
MBF
PTF，
MF
PF，BM
sin
MQR
RHRQMQ
PT，于是四边形
242523a
，设QR7a
25a，HR
BQ
AMPQ为平行四边形，由24a，则QHQR
7a，tan
QMR
2423，
ABC
所以MH23a，BQ
30a，BR
55a，过点R作RKm
8
x轴于
点K．求得M(0,
45
)，设直线PM的解析式为y
mx
n，解得
n
3
，因此直线PM的45
解析式为y
83
x
45
．43x
4，
【解答】解：（1）QyA(3，0)B(0，4)，
Q点C与点A关于y轴对称，C(3,0)，
设直线BC的解析式为y将B(0,4)，C(3,0)代入，3kb
b4
430
kx
b，
，
解得k
，b4，
43x
4；
BC于点点D，过点P作PN
BC于N，PG
OB于点G．
直线BC的解析式y
（2）如图1，过点A作AD
QOAOC3，OB
4，AC6，ABBC
5，sinACDADOBAC
BC
，
即
AD465，AD
245，
Q点P为直线y43
x4上，
设P(t,4
3t
4)，
PGt，cosBPGcosBAO，
即PGOA3PBAB5，
PB
53t，
24
QsinABCPNAD524PBAB5
25，
PN2425PB
2425
(583t)5t，
QAPBQ，BQ5
53t，
S12BQgPN12(5
53t)g(
85t)，
即S
43t
2
4t；
（3）如图，延长
BE至T使ETEP，连接AT、PT、AM、交OA于点S．
PTQAPEEBC，BAC
BCA，
180APEBAC
180
EBC
PEA
BEC
AET，PTAE，PSST，
AP
AT，
TAE
PAE
ACB，
AT//BC，
TAEFQB，Q
AFTBFQ，ATAP
BQ，
ATFQBF，AFQF，TF
BF，
Q
PSA
BOA
90，
PT//BM，
TBMPTB，Q
BFMPFT，MBFPTF，
MF
PF，BM
PT，
四边形AMPQ为平行四边形，AP//MQ，MQAP
BQ，
MQRABC，
过点R作RHMQ于点H，Qsin
ABC
sin
MQR
RH24RQ
25，
ACB，
设QR25a，HR24a，则QH7a，
QtanQMR
2423，
MH
23a，BQ
MQ23a7a30a，BRBQ过点R作RKx轴于点K．
Q点R的纵坐标为25，
RK25，
QsinBCOBOBC
sinKCR
KR4CR
5
，
CR1，BR112
2，55a112
，a
110
，
BQ30a3，
5
53t
3，t
65，
P(6125,5)，
PS125，QBMPT2PS
245，BO
4，
OM45，M(0,
45
)，
设直线PM的解析式为y
mxn，
65mn
125，
n
45m8解得
3n
4，5直线PM的解析式为y
83
x
45
．
【点评】本题考查了一次函数，熟练运用待定系数法、
键．
QR55a，
三角形全等以及三角函数是解题的关
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