数学试题（LX 2022.3）
本试题共8页，满分为150分，考试时间为120分钟。
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置。考试结束后，将答题卡和试卷一并交回。
注意事项：
1．答选择题时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净。
2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求笔迹清晰、字体工整， 务必在答题卡题号所指示的答题区域内作答。
第I卷（选择题 共48分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4题，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．9的相反数是( ) A．9
B．9
1C．
91D．
92．第七次人口普查显示，济南市历下区常住人口约为820000人，将数据820000用科学记数法表示为( ) A．8.2104
B．82104
C．8.2105
D．0.82106
3．如图是由8个相同的小正方体组成的几何体，其主视图是( )
A．B． C． D．
4．如图，AB∥CD，且被直线l所截，若∠1＝54°，则∠2的度数是（ ）
A．154°
B．126°
C．116°
D．54°
5．2022年冬奥会在北京举行，以下历届冬奥会会徽是轴对称图形的是( )
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是( ) A．(2a3)24a6 D．(ab)2a2b2
7．△ABC的顶点分别位于正方形网格的格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，已知点C（﹣1，1），将△ABC先沿x轴方向向右平移3个单位长度，再沿y轴方向向下平移2个单位长度，得到△A’B’C’，则点A的对应点的坐标是（ ）
B．a2a3a6 C．3aa23a3
A．（﹣6，6）
B．（0，2）
C．（0，6）
D．（﹣6，2）
8．一个不透明袋子中装有红球两个，绿球一个，除颜色外无其它差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个小球，则第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率是（ ） A．
1 4B．
1 3C．
1 9D．
2 99．当a0时，函数yax1与函数y
a
在同一坐标系中的图象可能是( ) x
A． B．C．
D．
10．如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为（ ）m．（结果精确到1m，参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53） A．34
B．36
C．46
D．56
第10题图 第11题图
11．如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠C=90°，以A点为圆心，AC长为半径作圆弧交
1AB 于E，连接CE，再分别以C、E为圆心，大于CE的长度为半径作弧，两弧交于点
2P，作射线AP交BC与点D，连接DE，则下列说法中错误的是（ ） A．DECD B．△BDE∽△BAC C． AB12．已知抛物线P：yACDE D．BD42
x24ax3(a0)，将抛物线P绕原点旋转180°得到抛物线
P，当1x3时，在抛物线P上任取一点M，设点M的纵坐标为t，若t3，则a
的取值范围是（ ） A．0a13133 B．0a C．a D．a 44444
第Ⅱ卷（非选择题 共102分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．因式分解：x24 ．
14．如图，飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，小东向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中黑色区域的概率是 ．
15．使分式
2x1与
3x3的值相等的x的值为 ．
第14题图
第16题图 16．如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为 度． 17．A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、
乙两人离开A地的距离s(km)与时间t(h)之同的关系．当甲车出发1小时时，两车相距 km.
18．如图，将矩形ABCD对折，使点A点与D重合，点B与C重合，折痕为EF；展开
后再次折叠，使点A与点D重合于EF上的点P处，折痕分别为BM、CN，若AB=10， BC=16，则tanPCN ．
AMFNDP第17题图
BEC第18题图 三、解答题（本大题共9个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.（本小题满分6分）
1计算：|3|(2020)02sin30()1．
3
20.（本小题满分6分）
2(x1)3x求不等式组3x1的解集，并写出它的整数解．
2221.（本小题满分6分）
如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC的三等分点，连接BE、DF． 求证：BEDF．
22.（本小题满分8分）
2021年12月9日，神舟十三号乘组三位航天员首次在中国空间站进行太空授课，传播载人航天知识．某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，从七、八年级各随机抽取了10名学生进行科普知识竞赛（百分制），测试成绩整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：
A．80≤x＜85；B．85≤x＜90；C．90≤x＜95；D.95≤x≤100
其中，七年级10名学生的成绩是：96，80，96，86，99，96，90，100，89，82． 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：94，90，92．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这次比赛中 年级成绩更稳定；
（2）直接写出上述a、b、c的值：a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（3）该校八年级共1000人参加了此次科普知识竞赛活动，估计参加此次活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是多少？
23.（本小题满分8分）
如图，AB是⊙O的直径，点F是AB上方半圆上的一点（F不与A、B重合），DE 是⊙O的切线，DE⊥AF交射线AF于点E． （1）求证：AD平分∠BAF； （2）若AE＝4，AB＝5，求AD长．
平均数 中位数 92 92
93 c
众数 b 100
方差 52 50.4
24.（本小题满分10分）
某商场计划购进A、B两种新型台灯共80盏，它们的进价与售价如表所示：
类型 价格 进价（元/盏） 30 50 售价（元/盏） 45 70
A型 B型
（1）若商场预计进货款为2900元，则这两种台灯各购进多少盏？
（2）将两种台灯全部售出，若总利润不低于1500元，则该商场需要最多购进多少盏A型台灯？
25.（本小题满分10分）
如图1，点A（1，a）、点B（0，1）在直线y=2x+b上，反比例函数的图象经过点A. （1）求a和k的值；
ykx0x（2）将线段AB向右平移m个单位长度（m＞0），得到对应线段CD，连接AC、BD. ①如图2，当点D恰好落在反比例函数图象上时，过点C作CF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求线段CE的长度；
②在线段AB运动过程中，连接AD，若△ACD是直角三角形，求所有满足条件的m值.
图1 图2 备用图
26.（本小题满分12分）
如图，在ABC中，AB=AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与BAC相等的角度，得到线段AF，连接EF．点M和点N分别是边BC，EF的中点． 【问题发现】
26题图1 26题图2 26题图3
（1）如图1，若BAC=60，当点E是BC边的中点时，相交所成的锐角的度数为 度． ．．【解决问题】
MN ，直线BE与MNBE（2）如图2，若BAC=60，当点E是BC边上任意一点时（不与B、C重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 【拓展探究】
1CGCB3（3）如图3，若BAC=90，AB=6，，在E点运动的过程中，直接写出GN
的最小值．
27.（本小题满分12分）
如图1，抛物线y=ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，交y轴于点C. （1）求抛物线的函数解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ACM的周长最小？若存在，求出△ACM
周长的最小值；若不存在，请说明理由.
（3）如图2，连接BC，抛物线上是否存在一点P，使得∠BCP=∠ACB？若存在，求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由.
27题图1 27题图2
2022年九年级学业水平第一次模拟考试
数学试题答案
一．选择题（共12小题，满分48分，每小题4分） 题号 答案 二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．(x+2)(x−2) 14．3 15．9 16．720 17．3 18．2 三．解答题（本大题共8个小题，共78分．请写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本小题6分）
解：|−3|+(π−2020)0−2sin30°+()−1
31
1
40
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C A B B A B D C B D A =3+1−2×2+3 …………………………………………………… 3分 =6 ……………………………………………………………………… 6分 20．（本小题6分） 解：{
2(𝑥+1)>3𝑥 ①
3𝑥−12
1
≥−2 ②
由①得：x<2 ……………………………………………………… 2分 由②得：x≥−1 ……………………………………………………… 4分 ∴原不等式组的解集为−1≤x<2 …………………………………… 5分 ∴整数解为−1，0，1 ………………………………………………… 6分 21．（本小题6分）
解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AB∥CD ………………………………………………… 2分 ∴∠BAC=∠DCA …………………………………………………… 3分 ∵E、F是对角线AC的三等分点
∴AE=CF=3AC …………………………………………………… 4分 在∆ABE和∆CDF中 AB=CD
∵{∠BAC=∠DCA
AE=CF
∴∆ABE≅∆CDF(SAS) ……………………………………………… 5分 ∴BE=DF …………………………………………………………… 6分 22．（本小题8分）
解：（1）∵七年级成绩的方差为52，八年级成绩的方差为50.4， ∴八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差， ∴八年级成绩更平衡，更稳定；
故答案为：八； …………………………………………………………………… 2分 （2）∵八年级学生成绩落在C组人数所占百分比为3÷10×100%＝30%， ∴a%＝1﹣（20%+10%+30%）＝40%，即a＝40； 将七年级成绩出现最多的是96， 所以其众数b＝96，
八年级A、B组人数共有10×（10%+20%）＝3（人）， ∴八年级成绩的第5、6个数据分别为92、94， 所以八年级成绩的中位数c＝
＝93，
1
故答案为：40、96、93； ………………………………………………………… 5分 （3）估计参加此次知识竞赛活动成绩优秀（x≥90）的八年级学生人数是1000×（1﹣20%﹣10%）＝700（人）． …………………………………………………………… 8分
23．（本题8分）
（1）证明：如图，连接OD， ∵DE与⊙O相切于点D， ∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°， ………………………………………………… 1分 ∵DE⊥AF ∴OD∥AF，
∴∠ODA＝∠DAF， …………………………………………… 2分 ∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD， …………………………………………… 3分 ∴∠OAD＝∠DAF
∴AD平分∠BAF， ……………………………………………… 4分 （2）如图，连接BD， ∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°， ………………………………………………… 5分 ∴∠AED＝∠ADB， ∵∠EAD＝∠DAB，
∴△AED∽△ADB， …………………………………………… 6分 ∴AD=AB， …………………………………………………… 7分 ∵AE＝4，AB＝5， ∴ADAE
AD
AEAB4525． ………………………… 8分
24．（本题10分）
解：（1）设购进A型台灯x盏，B型台灯y盏 ………………………… 1分 x+y=80
根据题意，得：{ ……………………………………… 3分
30x+50y=2900x=55解得{ ………………………………………………………………… 5分
y=25答：购进A型台灯55盏，B型台灯25盏。 …………………………… 6分 （2）设购进A型台灯a盏，B型台灯(80-a)盏 ………………………… 7分 (45−30)a+(70−50)(80−a)≥1500， ……………………………… 8分 解得a≤20 ………………………………………………………………… 9分 答：该商场至少需要购进20盏A型台灯。 …………………………… 10分 25．（本小题10分）
（1）将点B（0,1）代入y=2x+b，可得b=1 ………………………………… 1分 将点A（1,a）代入y=2x+1，
a=2+1=3， ……………………………………………………………………… 2分 ∴A（1,3） ……………………………………………………………………………3分
将点A（1,3）代入y=x，可得k=3 …………………………………………… 4分 ∴y=x （2）①∵点D恰好落在反比例函数图象上
∴D（3,1），m=3 …………………………………………………………………… 5分 ∴C（4,3）
∵点C作CF⊥x轴，交反比例函数图象于点E，
∴E（4,4） ………………………………………………………………………… 6分 ∴CE=CF−EF=3−4=4 ……………………………………………………… 7分
3
9
33
k
②若∠CAD=90°，则D（1,1），m=1 ………………………………………… 8分
若∠ACD=90°，与题意不符，舍
若∠ADC=90°，设C（m+1,3），D（m，1）
则AD2=(m−1)2+(3−1)2=m2−2m+5， CD2=12+(3−1)2=5， AC2=m2，
∵∆ACD为直角三角形 ∴AD2+CD2=AC2
∴m2−2m+5+5=m2…………………………………………………………… 9分 解得m=5…………………………………………………………………………… 10分 综上，m的值为1或5 26.（本小题12分） （1）
3；30°…………………………………………………………………… 4分 2（2）上述两个结论均成立； 连接AM、AN
∵AB=AC，BAC=60
∴△ABC为等边三角形…………………………………………………………… 5分 ∵M是BC中点，
∴AM⊥BC，即∠BMA=90°
在直角△ABM中，∠B=60°，∴∠BAM=30°，sinBAM3= AB2同理可得∠EAN=30°，sinAEFAN3=………………………………… 6分 AE2ANAM3∴∠MAN=∠BAE， AEAB2∴△MAN∽△BAE………………………………………………………………… 7分 ∴
MN3，∠AMN=∠ABE=60° BE2∴∠NMC=∠AMC-∠AMN=90°－60°=30°
MN3综合得：，直线BE和MN相交所成的锐角的度数为30°………… 9分 BE2（3）GN的最小值为1…………………………………………………………12分 27. （本小题12分）
（1）将点A(1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3中，得： ……………… 1分 0=a+b+3
{ ……………………………………………………………… 2分 0=9a+3b+3解得 {
a=1
………………………………………………………………… 3分
b=−4
∴y=x2−4x+3 ……………………………………………………………… 4分 （2）存在
抛物线对称轴：直线x=2 ………………………………………………… 5分 将x=0代入y=x2−4x+3中，得C（0,3）
连接BC，交抛物线对称轴于点M
当C,M,B三点共线时，∆ACM周长最小 ………………………………… 6分 ∴AM+CM=BM+CM=BC ∵A(1,0)，B(3,0)，C（0,3）
∴AC=√10，BC=3√2， ………………………………………………… 7分 ∴C∆ACM=BC+AC=3√2+√10 ………………………………………… 8分 （3）存在
∵A(1,0)，B(3,0)，C（0,3） ∴tan∠ACB=
21
∵∠BCP=∠ACB ∴tan∠BCP=2
1
如图，过点B作BD⊥CP于点D，
过点C作直线l∥x轴，过点D作EF⊥直线l于点E，交x轴于点F. ∵BD⊥CP
∴∠BDC=90°，∠BDF+∠CDP=90° ∵EF⊥直线l
∴∠DCE+∠CDP=90° ∴∠BDF=∠DCE
又∵∠BFD=∠DEC=90°
∴∆BDF∽∆DCE ………………………………………………………………… 9分 ∴CD=DE=CE=2 设BF=n，则DE=2BF=2n
∴DF=EF−DE=3−2n，CE=2DF=6−4n ∵CE=AF=3+n
∴6−4n=3+n，解得n=5 ∴D(5,5) ……………………………………………………………………… 10分 ∴直线CP：y=−3x+3 ……………………………………………………… 11分
1
189
3
BD
BD
DF
1
联立{，解得P(,) ……………………………………… 12分
392
y=x−4x+3
y=−3x+3
1
1116
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