运用平面几何知识巧解解析几何题

运用平面几何知识巧解解析几何题

作者：龚勤

来源：《新教育时代·教师版》2017年第34期

通过对近几年全国卷的分析来看，平面几何的思想在高中解析几何中都有重要的作用。有些解析几何问题在在思维上很难打开局面，或者运算极其繁复。这时如果跳出原有的思维，从平面几何的角度出发，往往就能起到四两拨千斤的作用，给人一种柳暗花明的感觉。 解析几何是高中数学的重要内容，高考中分值所占的比重较大。它的基本思想是利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质，因此，在解题的过程中计算量大，对运算求解能力要求高。很多学生在做题时只想着用高中所学的解析几何知识去解，忽略应用平面几何的知识。虽然解题时思路清楚，方向明确，但是浪费时间，不得不半途而废。事实上，如果学生能转换角度，巧妙运用平面几何知识，把题目中平面几何的本质挖掘出来，即可化繁为简。下面结合本人的教学经验和一些例题总结出几种利用平面几何知识巧解解析几何问题的方法。 一、利用线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理

（2016年高考天津卷理） 设抛物线，（t为参数，p>0）的焦点为F，准线为过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B.设C（p，0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为，则p的值为_________.

试题分析：抛物线的普通方程为，，，又，则，由抛物线的定义得，所以，则，由得，即，所以， 所以，.

[点睛]本题的条件和结论能明显体现几何特征及意义，利用抛物线的定义与平面几何中平行线分线段成比例定理求解。 2.三角形面积之比转化为线段之比

（2015高考浙江，理5）设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ） A. B. C. D. [答案]A.

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[点睛]本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习. 3.角平分线性质定理

（2013年山东高考理）椭圆C：（a>b>0）的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为 ，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l. （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1、PF2，设∠F1PF2的角平分线 PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围； 解答：（1）由已知得，， 解得

所以椭圆方程为：

（2）由题意可知：=，=，设其中，将向量坐标代入并化简得：m（，因为，所以，而，所以

[点睛]本题第Ⅱ问“几何味”较浓，立意于平面几何中的角平分线定理，一题多解，充分调动考生的能动性，引导考生从不同的角度思考问题，用灵活的方法解决问题。从近年的高考试题中，我们注意到解析几何所研究的问题以平面几何的性质为背景，并且现在高考特别提出“多考想，少考算”，所以学生在解题过程中为避免代数方法带来的繁杂、冗长的计算，应仔细分析题设中图形特征和数量关系，充分运用平面几何的有关知识，将几何问题化归为代数问题，这是解解析几何问题的一种基本技巧。 二、利用垂直性质 1.巧用对称性质

（2013重庆）已知圆C1：（x-2）2+（y-3）2=1，圆C2：（x-3）2+（y-4）2=9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ） A.5-4 B.-1 C.6-2 D.

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解析：本题考查与圆有关的最值问题，意在考查考生数形结合的能力.两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|+|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C（2，-3），则（|PC1|+|PC2|）min=|CC2|=5，所以（|PM|+|PN|）min=5-（1+3）=5-4.

[点睛]解析几何经常是点与线之间的关系，经常会涉及点、线的对称问题，若能巧妙用好直线与点的对称性质，就能轻松求解。 2.利用直角三角形性质

（2016·济南模拟）已知点F1、F2分别是双曲线-=1（a>0，b>0）的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（ ） A.（1，） B.（，2） C.（1+，+∞） D.（1，1+） 解析：依题意，0

[点睛]利用特殊直角三角形的平面几何性质，则会使问题变得更加简单容易。 三、运用两点之间线段最短与垂线段最短几何性质求最值

已知点A（4，0）和B（2，2），M是椭圆+=1上一动点，求MA|+|MB|的最大值为________. 答案 10+2 解析

显然A是椭圆的右焦点，如图所示，设椭圆的左焦点为A1（-4，0），连BA1并延长交椭圆于M1，则M1是使|MA|+|MB|取得最大值的点.事实上，对于椭圆上的任意点M有： |MA|+|MB|=2a-|MA1|+|MB|≤2a+|A1B|（当M1与M重合时取等号），∴|MA|+|MB|的最大值为

2a+|A1B|=2×5+=10+2. 四、运用切线的性质定理

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P是双曲线-=1（a>0，b>0）的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为（ ） A.-a B.A C.-c D.c 答案 B

解析 如图所示内切圆与三条边的切点分别为A、B、C，由切线性质F1C=F1A，PC=PB，F2A=F2B，

由双曲线定义知，PF1-PF2=2a 即（PC+CF1）-（PB+BF2）=2a ∴CF1-BF2=2a即F1A-F2A=2a

∵F1A+F2A=2c.∴F1A=a+c.∴A（a，0）.选B 五、运用中位线性质定理

（2016·郑州模拟）已知抛物线y2=4x，过焦点F的弦与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|+|BD|的最小值为________.

若AB⊥x轴，则|AC|+|BD|=2|OF|=2xF=2；当AB不垂直于x轴时，由抛物线的对称性，不妨设kAB>0，如图，设M、N分别为AB、CD的中点，|AC|+|BD|=2|MN|=2xM>2xF=2.所以|AC|+|BD|的最小值为2.

[点睛]这题涉及到抛物线的定义，抛物线的几何性质，应用梯形中位线的性质使问题简化了大量的运算。但运用中位线的性质时要将几何图形补充完整。

总之，解析几何是一门用代数的方法研究几何问题的学科.但任何事物都是一分为二的，如果过分强调某一种方法，必然会使学生形成思维定势.事实上，解析几何中的问题并不总是用代数的方法研究来得方便、有效，尤其是对于解析几何选择、填空题，代数方法往往费时，而且计算繁难，易出错，若能回归几何法的本质，不仅有利于渗透数形结合的思想，同时也可减少计算、节约时间。 作者简介

龚勤，湖南岳阳市第一中学高中数学高级教师，岳阳市高中数学学科带头人，岳阳市劳动模范，岳阳市数学教育学会常务理事，湖南理工大学硕士研究生导师，岳阳市高三数学研究核

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心小组成员，岳阳市教育系统优秀党员，岳阳市普通高中教育工作先进个人，三次被岳阳市人事局记“三等功”。 主编的《高中数学培优学案》系列丛书被定岳阳市一中培优校本教材，2015年教育、教学专著《杏坛随笔》由东方出版社正式出版。

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