一、选择题：每小题3分，共30分
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 B．等角的余角相等
C．钝角三角形一定有一个角大于90° D．同位角相等
3．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ） A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=4，BC=3，∠A=30° C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．∠C=90°，AB=6
4．如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小琴A角走到C角，至少走（ ）
A．90米 B．100米 C．120米 D．140米
5．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=EC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
6．下列命题：（1）无限小数是无理数 （2）绝对值等于它本身的数是非负数 （3）垂直于同一直线的两条直线互相平行 （4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，（5）面积相等的两个三角形全等，是真命题的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．AB的中垂线DE交AB于E，AC=6，如图，△ABC中，∠C=90°，交BC于D，若AB=10，则△ACD的周长为（ ）
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A．16 B．14 C．20 D．18
8．若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形的个数有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4，CD=2，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为3，则点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．70 B．74 C．144 D．148
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分
11．已知三角形三边长分别是1、x、2，且x为整数，那么x的值是 ． 12．等腰三角形有一个角为30°，则它的底角度数是 ．
13．现有两根木棒的长度分别为40cm和50cm，若要钉成一个直角三角形木架，则所需木棒长度为 ．
14．在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是 ．
15．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，若线段EB=4，则线段EF= ．
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16．BD为△ABC的角平分线，E为BD延长线上的一点，BE=BA，已知：如图，且BD=BC，
过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有 （填序号）．
三、解答题：本题共有7个小题，共66分
17．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC等于45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度为多少米？（答案保留根号）
18．如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是： ，并给予证明．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AP，若AC=4，BC=8时，试求BP的长．
20．为了解学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等5项体育活动的喜欢程度，某校随机抽查部分学生，对他们最喜欢的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，并将统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图： 请解答下列问题：
（1）m= %，这次共抽取了 名学生进行调查；请补全条形统计图； （2）若全校有800名学生，则该校约有多少名学生喜爱打篮球？
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21．如图，△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm，求BC的长．
22．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
23．如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为线段AD（不包括端点A、D）上一动点，以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE，连结BE． （1）点P在运动过程中，线段BE与AP始终相等吗？说说你的理由； （2）若延长BE至F，使得CF=CE=5，如图2，问：求出此时AP的长；
（3）当点P在线段AD的延长线上时，F为线段BE上一点，使得CF=CE=5．求EF的长
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八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题3分，共30分
1．下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选D．
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 B．等角的余角相等
C．钝角三角形一定有一个角大于90° D．同位角相等
【考点】命题与定理．
【分析】根据等边三角形的判定方法对A进行判断；根据余角的定义对B进行判断；根据钝角三角形的定义对C进行判断；根据平行线的性质对D进行判断．
【解答】解：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形是真命题；等角的余角相等是真命题；钝角三角形一定有一个角大于90°是真命题；两直线平行，同位角相等，则同位角相等是假命题． 故选D．
3．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（ ） A．AB=3，BC=4，AC=8 B．AB=4，BC=3，∠A=30° C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4 D．∠C=90°，AB=6 【考点】全等三角形的判定．
【分析】要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．
【解答】解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；
B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形； D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
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故选C．
4．如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小琴A角走到C角，至少走（ ）
A．90米 B．100米
C．120米 D．140米 【考点】勾股定理的应用．
【分析】连接AC，先根据长方形的性质得出∠B=90°，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：连接AC， ∵四边形ABCD是长方形， ∴∠B=90°，
∵AB=60m，BC=80m， ∴AC=故选B．
=
=100（m）．
5．如图，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（ ）
A．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=EC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D
【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解答】解：A、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，∠B=∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
B、已知AB=DE，再加上条件BC=EC，AC=DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB=DE，再加上条件BC=DC，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
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D、已知AB=DE，再加上条件∠B=∠E，∠A=∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意； 故选：C．
6．下列命题：（1）无限小数是无理数 （2）绝对值等于它本身的数是非负数 （3）垂直于同一直线的两条直线互相平行 （4）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等，（5）面积相等的两个三角形全等，是真命题的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】命题与定理．
【分析】根据无理数的定义对（1）进行判断；根据绝对值的意义对（2）进行判断；根据平行线的判定方法对（3）进行判断；根据全等三角形的判定方法对（4）（5））进行判断． 【解答】解：无限不循环小数是无理数，所以（1）错误； 绝对值等于它本身的数是非负数，所以（2）正确；
在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行，所以（3）错误； 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以（4）错误； 面积相等的两个三角形不一定全等，所以（5）错误． 故选A． 7．AB的中垂线DE交AB于E，AC=6，如图，△ABC中，∠C=90°，交BC于D，若AB=10，则△ACD的周长为（ ）
A．16 B．14 C．20 D．18
【考点】线段垂直平分线的性质；勾股定理．
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，再由线段垂直平分线的性质得出AD=BD，即AD+CD=BC，再由AC=6即可求出答案．
【解答】解：∵△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6， ∴BC=
=
=8，
∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴AD=BD，
∴AD+CD=BD+CD，即AD+CD=BC，
∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+BC=6+8=14． 故选B．
8．若三角形的周长为18，且三边都是整数，则满足条件的三角形的个数有（ ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【考点】三角形三边关系．
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【分析】三角形的三边中，等边三角形三边相等；除此外，必有一边是最长边；故可设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=18﹣c＞c，而且最大边须满足：②c≥6，故可得c只能在7，8
中选；当c=7时，b=6，a=5或b=5，a=6；当c=8时，b=7，a=3或b=6，a=4或b=5，a=6；
【解答】解：设三边长分别为a≤b≤c，则a+b=18﹣c＞c≥6， ∴6≤c＜9，故c=7，或8；分类讨论如下：
当c=7时，b=6，a=5或b=4，a=7，或b=3，a=8；
当c=8时，b=7，a=3或b=6，a=4或b=5，a=5，或b=4，a=6； ∴满足条件的三角形的个数为7， 故选D
9．如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4，CD=2，点P在四边形ABCD的边上，若点P到BD的距离为3，则点P的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点】勾股定理；点到直线的距离．
【分析】首先作出AB、AD边上的点P（点A）到BD的垂线段AE，即点P到BD的最长距离，作出BC、CD的点P（点C）到BD的垂线段CF，即点P到BD的最长距离，由已知计算出AE、CF的长与3比较得出答案．
【解答】解：过点A作AE⊥BD于E，过点C作CF⊥BD于F， ∵∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=4，CD=2， ∴∠ABD=∠ADB=45°，
∴∠CDF=90°﹣∠ADB=45°， ∵sin∠ABD=
，
•sin45°=4＞3，
∴AE=AB•sin∠ABD=4CF=
CD═2＜3，所以在AB和AD边上有符合P到BD的距离为3的点2个，
故选A．
10．如图，四边形ABCD是正方形，直线a，b，c分别通过A、D、C三点，且a∥b∥c．若a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，则正方形ABCD的面积是（ ）
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A．70 B．74 C．144 D．148
【考点】全等三角形的判定与性质；平行线之间的距离；勾股定理；正方形的性质．
【分析】过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，求出∠AMD=∠DNC=90°，AD=DC，∠1=∠3，根据AAS推出△AMD≌△CND，根据全等得出AM=CN，求出AM=CN=5，DN=7，在Rt△DNC中，由勾股定理求出DC2即可．
【解答】解：如图：
过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N， 则∠AMD=∠DNC=90°，
∵直线b∥直线c，DN⊥直线c， ∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠1+∠2=90°， ∴∠1=∠3，
在△AMD和△CND中
∴△AMD≌△CND， ∴AM=CN，
∵a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7， ∴AM=CN=5，DN=7，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2=DN2+CN2=72+52=74， 即正方形ABCD的面积为74， 故选B．
二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分
11．已知三角形三边长分别是1、x、2，且x为整数，那么x的值是 2 ． 【考点】三角形三边关系．
【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求解即可．
【解答】解：∵三角形的三边长分别为1，x，2， ∴第三边的取值范围为：1＜x＜3
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∵x为整数， ∴x=2．
故答案为：2．
12．等腰三角形有一个角为30°，则它的底角度数是 30°或75° ． 【考点】等腰三角形的性质．
【分析】因为已知给出的30°角是顶角还是底角不明确，所以根据等腰三角形的性质分两种情况讨论来求底角的度数． 【解答】解：分两种情况；
（1）当30°角是底角时，底角就是30°； （2）当30°角是顶角时，底角=
=75°．
因此，底角为30°或75°． 故答案为：30°或75°．
13．现有两根木棒的长度分别为40cm和50cm，若要钉成一个直角三角形木架，则所需木
cm或30cm ． 棒长度为 10
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】由于不明确直角三角形的斜边，故应分两种情况讨论． 【解答】解：此题要分两种情况： （1）当50是直角边时，所需木棒的长是
（2）当50是斜边时，所需木棒的长是30（cm）．
cm或30cm． 故答案是：10
14．在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是 1＜AD＜7 ． 【考点】三角形三边关系；全等三角形的判定与性质．
【分析】延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
【解答】解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE． 在△ABD和△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS）， ∴CE=AB．
在△ACE中，CE﹣AC＜AE＜CE+AC， 即2＜2AD＜14， 故1＜AD＜7．
故答案为：1＜AD＜7．
=10
（cm）；
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15．等腰△ABC的底边上高AD与底角平分线CE交于点P，EF⊥AD，F为垂足，若线段EB=4，则线段EF= 2 ．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】延长EF交AC于点Q，利用EF∥CD，且CE平分∠ACD，可得∠QCE=∠QEC，所以QE=CE，结合等腰三角形的性质可得QE=2EF，且QC=BE，可得出结论． 【解答】解：如图，
延长EF交AC于点Q， ∵EF⊥AD，AD⊥BC ∴EQ∥BC
∴∠QEC=∠ECB ∵CE平分∠ACB ∴∠ECB=QCE ∴∠QEC=∠QCE ∴QE=QC
∵QE∥BC，且△ABC为等腰三角形 ∴△AQE为等腰三角形 ∴AQ=AE，QE=2EF， ∴CQ=BE=QE， ∴EF=BE=2．
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故答案为：2． 16．BD为△ABC的角平分线，E为BD延长线上的一点，BE=BA，已知：如图，且BD=BC，
过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④BA+BC=2BF，其中正确的结论有 ①②④ （填序号）．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】易证△ABD≌△EBC，可得∠BCE=∠BDA，AD=EC可得①②正确，再根据角平分线的性质可求得∠DAE=∠DCE，即AD=AE=EC，根据AD=AE=EC可求得④正确． 【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠CBD， 在△ABD和△EBC中，
，
∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴①正确；
②∵BD为△ABC的角平分线，BD=BC，BE=BA， ∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE=∠BDA，
∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， ∴②正确；
③∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，
∴∠DCE=∠DAE，
∴△ACE为等腰三角形， ∴AE=EC，
∵△ABD≌△EBC， ∴AD=EC， ∴AD=AE=EC，
∵BD为△ABC的角平分线，EF⊥AB，而EC不垂直与BC， ∴EF≠EC， ∴③错误；
④过E作EG⊥BC于G点，
第12页（共47页）
∵E是BD上的点，∴EF=EG， 在RT△BEG和RT△BEF中，
，
∴RT△BEG≌RT△BEF（HL）， ∴BG=BF，
在RT△CEG和RT△AFE中，
，
∴RT△CEG≌RT△AFE（HL）， ∴AF=CG，
∴BA+BC=BF+FA+BG﹣CG=BF+BG=2BF， ∴④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题：本题共有7个小题，共66分
17．一棵树因雪灾于A处折断，如图所示，测得树梢触地点B到树根C处的距离为4米，∠ABC等于45°，树干AC垂直于地面，那么此树在未折断之前的高度为多少米？（答案保留根号）
【考点】勾股定理的应用．
【分析】由于∠ABC=45°，即△ABC是等腰Rt△，AC=BC=4米，由勾股定理可求得斜边AB的长；进而可求出AB+AC的值，即树折断前的高度． 【解答】解；由题意得，在△ACB中，∠C=90° ∵∠ABC=45° ∴∠A=45° ∴∠ABC=∠A ∴AC=BC ∵BC=4 ∴AC=4
由AC2+BC2=AB2得 AB=
；
第13页（共47页）
所以此树在未折断之前的高度为（4+）米．
18．如图，已知AD是△ABC的角平分线，在不添加任何辅助线的前提下，要使△AED≌△AFD，需添加一个条件是： AE=AF或∠EDA=∠FDA ，并给予证明．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】要证两三角形全等的判定，已经有∠EAD=∠FAD，AD=AD，所以再添加一对边或一对角相等即可得证．
【解答】解：①添加条件：AE=AF， 证明：在△AED与△AFD中，
∵AE=AF，∠EAD=∠FAD，AD=AD， ∴△AED≌△AFD（SAS）， ②添加条件：∠EDA=∠FDA， 证明：在△AED与△AFD中，
∵∠EAD=∠FAD，AD=AD，∠EDA=∠FDA， ∴△AED≌△AFD（ASA）．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
（1）用尺规在边BC上求作一点P，使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连结AP，若AC=4，BC=8时，试求BP的长．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质． 【分析】（1）作AB的垂直平分线交BC于P点，则PA=PB；
（2）设BP=x，则AP=x，CP=BC﹣PB=8﹣x，然后在Rt△ACP中根据勾股定理得到（8﹣x）242=x2+，再解方程即可． 【解答】解：（1）如图，点P为所作；
（2）设BP=x，则AP=x，CP=BC﹣PB=8﹣x， 在Rt△ACP中，∵PC2+AC2=AP2，
第14页（共47页）
∴（8﹣x）2+42=x2，解得x=5， 即BP的长为5．
20．为了解学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等5项体育活动的喜欢程度，某校随机抽查部分学生，对他们最喜欢的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，并将统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图： 请解答下列问题：
（1）m= 20 %，这次共抽取了 50 名学生进行调查；请补全条形统计图； （2）若全校有800名学生，则该校约有多少名学生喜爱打篮球？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图． 【分析】（1）由扇形统计图的知识，可求得m的值，继而求得抽取了的学生数，则可补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体的方法，即可求得答案； 【解答】解：（1）∵m%=1﹣14%﹣8%﹣24%﹣34%=20%， ∴m=20，
∵喜欢跳绳的占8%，有4人， ∴4÷8%=50（名）， ∴共抽取了50名学生；
喜欢乒乓球的：50×20%=10（名）， 条形统计图如图所示；
故答案为：20，50；
（2）∵800×24%=192，
∴该校约有192名学生喜爱打篮球．
第15页（共47页）
21．如图，△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=2cm，求BC的长．
【考点】含30度角的直角三角形；等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据三角形内角和定理和等腰三角形性质求出∠B、∠BAC度数，求出∠DAC=∠C，求出DC，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案． 【解答】解：∵AB=AC，∠C=30°，
∴∠B=∠C=30°，∠BAC=180°﹣30°﹣30°=120°， ∵AB⊥AD， ∴∠BAD=90°，
∴∠DAC=120°﹣90°=30°=∠C， ∴AD=DC=2cm，
∵∠BAD=90°，∠B=30°，AD=2cm， ∴BD=2AD=4cm， ∴BC=4cm+2cm=6cm．
22．如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其 中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒． （1）当t=2秒时，求PQ的长；
（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？
（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定． 【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；
（2）由题意得出BQ=BP，即2t=8﹣t，解方程即可；
（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况： ①当CQ=BQ时（图1），则∠C=∠CBQ，可证明∠A=∠ABQ，则BQ=AQ，则CQ=AQ，从而求得t；
②当CQ=BC时（图2），则BC+CQ=12，易求得t； ③当BC=BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t． 【解答】（1）解：（1）BQ=2×2=4cm， BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm， ∵∠B=90°， PQ=
==2（cm）；
第16页（共47页）
（2）解：根据题意得：BQ=BP， 即2t=8﹣t， 解得：t=；
即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形； （3）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1所示： 则∠C=∠CBQ， ∵∠ABC=90°，
∴∠CBQ+∠ABQ=90°， ∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ ∴BQ=AQ， ∴CQ=AQ=5 ∴BC+CQ=11， ∴t=11÷2=5.5秒．
②当CQ=BC时，如图2所示： 则BC+CQ=12 ∴t=12÷2=6秒．
③当BC=BQ时，如图3所示： 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE=∴CE=
=
=4.8（cm） =3.6cm，
∴CQ=2CE=7.2cm， ∴BC+CQ=13.2cm， ∴t=13.2÷2=6.6秒．
由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， △BCQ为等腰三角形．
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23．如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为线段AD（不包括端点A、D）上一动点，以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE，连结BE． （1）点P在运动过程中，线段BE与AP始终相等吗？说说你的理由； （2）若延长BE至F，使得CF=CE=5，如图2，问：求出此时AP的长；
（3）当点P在线段AD的延长线上时，F为线段BE上一点，使得CF=CE=5．求EF的长
【考点】三角形综合题． 【分析】（1）证出∠ACP=∠BCE．由SAS证明△ACP≌△BCE，得出对应边相等即可． （2）过点C作CH⊥BE，垂足为H．由等边三角形的性质得出∠CAD=∠BAD=∠BAC=30°．由（1）可知：△ACP≌△BCE，得出∠CBE=∠CAD=30°，AP=BE．由含30°角的直角三角形的性质得出HC=BC=3，由勾股定理得出BH=由勾股定理求出EH=
=4，即可得出AP的长．
BC=3
．在Rt△CEH中，
（3）过点C作CH⊥BE，垂足为H．由SAS证明△ACP≌△BCE，得出∠CBH=∠CAP=30°．由含30°角的直角三角形的性质得出HC=BC=3．与等腰三角形的性质求出FH=EH．由勾股定理求出FH，即可得出EF的长． 【解答】解：（1）BE=AP；理由如下： ∵△ABC和△CPE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠PCE=60°，AC=BC，CP=CE． ∵∠ACP+∠DCP=∠DCE+∠PCD=60°， ∴∠ACP=∠BCE． ∵在△ACP和△BCE中，∴△ACP≌△BCE（SAS）．
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，
∴BE=AP．
（2）如图2所示：过点C作CH⊥BE，垂足为H．∵AB=AC，AD是BC的中点， ∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=30°． ∵由（1）可知：△ACP≌△BCE， ∴∠CBE=∠CAD=30°，AP=BE． ∵在Rt△BCH中，∠HBC=30°， ∴HC=BC=3，BH=
BC=3
．
∵在Rt△CEH中，EC=5，CH=3， ∴EH=
=
=4．
∴BE=HB﹣EH=3﹣4． ∴AP=3﹣4．
（3）如图3所示：过点C作CH⊥BE，垂足为H． ∵△ABC和△CEP均为等边三角形， ∴AC=BC，CE=PC，∠ACB=∠ECP．
∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+BCP，即∠BCE=∠ACP． ∵在△ACP和△BCE中，∴△ACP≌△BCE（SAS）． ∴∠CBH=∠CAP=30°．
∵在Rt△BCH中，∠CBH=30°， ∴HC=BC=3． ∵FC=CE，CH⊥FE， ∴FH=EH． ∴FH=EH=
∴EF=FH+EH=4+4=8．
=
=4．
，
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八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 B．等角的补角相等
C．锐角三角形每个角都小于90° D．内错角相等
3．若a＞b，则下列式子正确的是（ ） A．﹣2015a＞﹣2015b B．2015a＜2015b
C．2015﹣a＞2015﹣b D．a﹣2015＞b﹣2015
4．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2 5．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
6．若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（ ）
A．12 B．14 C．15 D．12或15
7．如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中，若AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是（ ）
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A．Rt△ACD和Rt△BCE全等 B．OA=OB C．E是AC的中点 D．AE=BD
8．不等式3（x﹣2）≤x+4的非负整数解有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．无数
9．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是（ ）
A．6 B．8 C．4 D．12
10．如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10 B．10 C．20 D．20
二、填空题：（本题有10小题，每小题3分，共30分）
11．如图，在△ABC中，∠A=58°，∠B=63°，则外角∠ACD= 度．
12．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 ．
13．命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是 ． 14．BC=4cm，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BD=5cm，则点D到直线AB的距离是 cm．
15．关于x的方程3x﹣2m=x+5的解为正数，则m的取值范围是 ．
16．如图，△ABC中，∠BAC=98°，EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线，∠FAN= ．
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17．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为 ．
18．在一次“人与环境”知识竞赛中，共有25个题，每题四个答案，其中只有一个答案正确，每选对一题得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少要答对 题．
19．等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9和15，则这个等腰三角形的底边长为 ．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为 秒．
三、解答题：（本题有6题，20、21、22、23、24每题6分，25、26每题8分，共40分） 21．已知△ABC，用直尺和圆规作下列图形：（保留作图痕迹并写出结论） （1）AC边上的中垂线； （2）∠A平分线AM．
22．解不等式﹣≥1，并将其解在数轴上表示出来．
23．如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，取点D与点E，使得AD=AE，∠BAE=∠CAD，连结BD与CE交于点O．求证：
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（1）△ABD≌△ACE； （2）OB=OC．
25．在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为 BC的中点． （1）如图（1），若点M、N分别是线段AB、AC的中点．求证：DM=DN； （2）如图（2），若点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△DMN的形状，并证明你的结论．
26．老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在等边三角形ABCD的BC、AC边上，且BM=CN，AM与BN交于点Q，求证：∠BQM=60°． （1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的M、N分别移动到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ …
请你作出判断，在下列横线上填“是”或“否”：① ；② ；请对①②的判断，选择一个给出证明．
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八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列“QQ表情”中属于轴对称图形的是（ ） A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、是轴对称图形，故本选项正确； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选C．
2．下列命题是假命题的是（ ）
A．有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形 B．等角的补角相等
C．锐角三角形每个角都小于90° D．内错角相等
【考点】命题与定理．
【分析】利用等边三角形的判定、补角的定义、锐角三角形的定义及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，正确，是真命题； B、等角的补角相等，正确，是真命题；
C、锐角三角形的每个角都小于90°，正确，是真命题； D、两直线平行，内错角相等，错误，是假命题， 故选D．
3．若a＞b，则下列式子正确的是（ ） A．﹣2015a＞﹣2015b B．2015a＜2015b
C．2015﹣a＞2015﹣b D．a﹣2015＞b﹣2015 【考点】不等式的性质．
【分析】依据不等式的性质进行判断即可． 【解答】解：A、∵a＞b，
∴﹣2015a＜﹣2015b．故A错误； B、∵a＞b，
∴2015a＞2015b．故B错误； C、∵a＞b， ∴﹣a＜﹣b．
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∴2015﹣a＜2015﹣b．故C错误． D、∵a＞b，
∴a﹣2015＜b﹣2015．故D正确． 故选：D．
4．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ） A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4
C．∠B=50°，∠C=80° D．∠A：∠B：∠C=1：1：2 【考点】等腰三角形的判定．
【分析】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案． 【解答】解：A、∵a=3，b=3，c=4， ∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形； B、∵a：b：c=2：3：4 ∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形； C、∵∠B=50°，∠C=80°， ∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°， ∴∠A=∠B， ∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形；
D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2， ∵∠A=∠B， ∴AC=BC，
∴△ABC是等腰三角形． 故选B．
5．如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是（ ）
A．∠A＞∠1＞∠2
B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1
【考点】三角形的外角性质．
【分析】先根据∠1是△ACD的外角，故∠1＞∠A，再根据∠2是△CDE的外角，故∠2＞∠1，进而可得出结论．
【解答】解：∵∠1是△ACD的外角， ∴∠1＞∠A；
∵∠2是△CDE的外角， ∴∠2＞∠1，
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∴∠2＞∠1＞∠A． 故选：B．
6．若x，y满足|x﹣3|+A．12
B．14
C．15
=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（ ） D．12或15
【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根；三角形
三边关系．
【分析】先根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得，x﹣3=0，y﹣6=0， 解得x=3，y=6，
①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、6， ∵3+3=6，
∴不能组成三角形，
②4是底边时，三角形的三边分别为3、6、6， 能组成三角形，周长=3+6+6=15， 所以，三角形的周长为15． 故选C．
7．如图，在Rt△ACD和Rt△BEC中，若AD=BE，DC=EC，则不正确的结论是（ ）
A．Rt△ACD和Rt△BCE全等 B．OA=OB C．E是AC的中点 D．AE=BD 【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据HL证Rt△ACD≌Rt△BCE即可判断A；根据以上全等推出AE=BD，再证△AOE≌△BOD，即可判断B和D，根据已知只能推出AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，即可判断C．
【解答】解：A、∵∠C=∠C=90°， ∴△ACD和△BCE是直角三角形， 在Rt△ACD和Rt△BCE中 ∵
，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），正确； B、∵Rt△ACD≌Rt△BCE， ∴∠B=∠A，CB=CA， ∵CD=CE， ∴AE=BD，
第27页（共47页）
在△AOE和△BOD中 ∵
，
∴△AOE≌△BOD（AAS）， ∴AO=OB，正确，不符合题意；
AE=BD，CE=CD，不能推出AE=CE，错误，符合题意； D、∵Rt△ACD≌Rt△BCE， ∴∠B=∠A，CB=CA， ∵CD=CE，
∴AE=BD，正确，不符合题意． 故选C．
8．不等式3（x﹣2）≤x+4的非负整数解有（ ）个． A．4 B．5 C．6 D．无数 【考点】一元一次不等式的整数解．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可．
【解答】解：去括号得：3x﹣6≤x+4， 解得：x≤5，
则满足不等式的非负整数解为：0，1，2，3，4，5共6个． 故选C．
9．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，点E、F、M、N是AD上的四点，则图中阴影部分的总面积是（ ）
A．6 B．8 C．4 D．12
【考点】轴对称的性质；等腰三角形的性质；勾股定理．
【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，根据勾股定理求出AD的长，再根据同底等高的三角形面积相等可知S△EFC=S△EFB，S△MNC=S△MNB，故可得出S阴影=S△ABD，由此即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线， ∴BD=BC=3，AD⊥BC， ∴BD=
=
=4，
∵同底等高的三角形面积相等， ∴S△EFC=S△EFB，S△MNC=S△MNB，
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∴S阴影=S△ABD=BD•AD=×3×4=6．
故选A．
10．如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10
D．20
【考点】轴对称-最短路线问题．
【分析】作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ=P1Q，PR=P2R，从而得到△PQR的周长=P1P2并且此时有最小值，连接P1O、P2O，再求出△P1OP2为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】解：如图，作点P关于OA的对称点P1，关于OB的对称点P2，连接P1P2与OA、OB分别相交于点Q、R， 所以，PQ=P1Q，PR=P2R，
所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P1Q+QR+P2R=P1P2， 由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，
连接P1O、P2O，则∠AOP=∠AOP1，OP1=OP，∠BOP=∠BOP2，OP2=OP， 所以，OP1=OP2=OP=10，∠P1OP2=2∠AOB=2×45°=90°， 所以，△P1OP2为等腰直角三角， 所以，P1P2=OP1=10， 即△PQR最小周长是10． 故选B．
B．10 C．20
二、填空题：（本题有10小题，每小题3分，共30分）
11．如图，在△ABC中，∠A=58°，∠B=63°，则外角∠ACD= 121 度．
【考点】三角形的外角性质．
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【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和进行计算即可． 【解答】解：∵∠A=58°，∠B=63°， ∴∠ACD=58°+63°=121°， 故答案为：121．
12．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 ． 【考点】勾股定理．
【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．
【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时： 第三边的长为：
=
；
②长为3、4的边都是直角边时： 第三边的长为：
=5；
综上，第三边的长为：5或． 故答案为：5或． 13．命题“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题是 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ． 【考点】线段垂直平分线的性质；命题与定理．
【分析】将命题的条件和结论相互转换，可得到互逆命题．
【解答】解：逆命题是：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 14．BC=4cm，如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BD=5cm，则点D到直线AB的距离是 3 cm．
【考点】角平分线的性质．
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C=90°，BD=5cm，BC=4cm， ∴CD=
=
=3cm，
∵∠C=90°，BD是∠ABC的平分线， ∴DE=CD=3cm，
即点D到直线AB的距离是3cm．
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故答案为：3．
15．关于x的方程3x﹣2m=x+5的解为正数，则m的取值范围是 m＞﹣ ． 【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．
【分析】先求出方程的解，得出关于m的不等式，求出即可． 【解答】解：解方程3x﹣2m=x+5得：x=m+， ∵方程3x﹣2m=x+5的解为正数， ∴m+＞0， 解得：m＞﹣， 故答案为：m＞﹣．
16．EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线， 如图，△ABC中，∠BAC=98°，∠FAN= 16° ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据三角形内角和等于180°求出∠B+∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，AN=CN，根据等边对等角的性质可得∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，然后求解即可．
【解答】解：∵∠BAC=98°， ∴∠B+∠C=180°﹣98°=82°，
∵EF，MN分别为AB，AC的垂直平分线， ∴AF=BF，AN=CN，
∴∠BAF=∠B，∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAF+∠CAN）=∠BAC﹣（∠B+∠C）=98°﹣82°=16°， 故答案为：16°．
17．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为 12 ．
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【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2DE，再利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：∵BE⊥AC，D为AB中点， ∴AB=2DE=2×10=20， 在Rt△ABE中，BE=
=
=12．
故答案为：12．
18．在一次“人与环境”知识竞赛中，共有25个题，每题四个答案，其中只有一个答案正确，每选对一题得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少要答对 19 题． 【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】求至少要答对的题数，首先应求出在竞赛中的得分，然后根据题意在竞赛中的得分不低于60列出不等式，解答即可．
【解答】解：设他至少应选对x道题，则不选或错选为25﹣x道题． 依题意得4x﹣2（25﹣x）≥60 得x≥
又∵x应为正整数且不能超过25 所以：他至少要答对19道题．
19．等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9和15，则这个等腰三角形的底边长为 4 ．
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和15两部分，列方程解得即可． 【解答】解：设腰长为x，底边长为y，
则或，
解得但
或，
不合题意舍去．
故这个等腰三角形的底边长是4．
第32页（共47页）
故答案为：4．
20．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，在射线BC上一动点D，从点B出发，以2厘米每秒的速度匀速运动，若点D运动t秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形，则所用时间t为
，5，8 秒．
【考点】勾股定理；等腰三角形的判定．
【分析】当△BCD为等腰三角形时应分当D是顶角顶点，当B是顶角顶点，当A是顶角的顶点三种情况进行讨论，利用勾股定理求得BD的长，从而求解． 【解答】解：①如图1，当AD=BD时，
在Rt△ACD中，根据勾股定理得到：AD2=AC2+CD2，即BD2=（8﹣BD）2+62， 解得，BD=
（cm），
则t==（秒）；
②如图2，当AB=BD时．
在Rt△ABC中，根据勾股定理得到： AB=
=
=10，则t=
=5（秒）；
=8（秒）；
③如图3，当AD=AB时，BD=2BC=16，则t=综上所述，t的值可以是：故答案是：
，5，8
，5，8；
第33页（共47页）
三、解答题：（本题有6题，20、21、22、23、24每题6分，25、26每题8分，共40分） 21．已知△ABC，用直尺和圆规作下列图形：（保留作图痕迹并写出结论） （1）AC边上的中垂线； （2）∠A平分线AM．
【考点】作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质． 【分析】（1）作AC的垂直平分线得到AC的中点D，从而得到中线BD； （2）利用基本作图（作已知角的平分线）作AM平分∠BAC． 【解答】解：（1）如图，BD为所作； （2）如图，AM为所作．
22．解不等式﹣
≥1，并将其解在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，最后在数轴上表示出来即可．
【解答】解：两边同乘6得：2x﹣3（x﹣3）≥6， 化简得：﹣x≥﹣3， 解得：x≤3， 在数轴上表示为：
．
23．如图，在△ABC中∠B=30°，∠ACB=110°，AD是BC边上高线，AE平分∠BAC，求∠DAE的度数．
【考点】三角形的角平分线、中线和高． 【分析】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，
根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后根据∠DAE=∠BAD﹣∠BAE计算即可得解．
第34页（共47页）
【解答】解：∵∠B=30°，∠ACB=110°， ∴∠BAC=180°﹣30°﹣110°=40°， ∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠BAC=×40°=20°，
∵∠B=30°，AD是BC边上高线， ∴∠BAD=90°﹣30°=60°，
∴∠DAE=∠BAD﹣∠BAE=60°﹣20°=40°．
24．如图，在△ABC中，AB=AC，取点D与点E，使得AD=AE，∠BAE=∠CAD，连结BD与CE交于点O．求证： （1）△ABD≌△ACE； （2）OB=OC．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）由已知条件得到∠BAD=∠CAE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB由角的和差即可得到∠OBC=∠OCB，然后根据等腰三角形的判定即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE， 即∠OBC=∠OCB， ∴OB=OC．
25．在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为 BC的中点． （1）如图（1），若点M、N分别是线段AB、AC的中点．求证：DM=DN； （2）如图（2），若点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN=BM，请判断△DMN的形状，并证明你的结论．
第35页（共47页）
【考点】全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理． 【分析】（1）只要证明△AND≌△BMD即可． （2）结论：△DMN是等腰直角三角形．只要证明△AND≌△BMD，推出DN=DM，∠ADN=
∠BDM，由∠ADB=90°，即∠ADM+∠BDM=90°，推出∠ADM+∠ADN=90°，即∠MDN=90°．
【解答】证明：（1）如图中，
∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠B=45°，
∵D是斜边BC上的中点 ∴AD=BD=
，
又∵AB=AC，AD是底边BC上的中线
∴AD也是∠BAC的平分线，即∠DAN=∠DAB=45°， ∴∠B=∠NAD，
∵AC=AB，M，N分别是线段AB、AC的中点 ∴AN=MB
在△AND和△BMD中，
，
∴△AND≌△BMD， ∴DM=DN．
（2）如图2中，
第36页（共47页）
由（1）可知，AD=BD，∠NAD=∠B， 在△AND和△BMD中，
，
∴△AND≌△BMD，
∴DN=DM，∠ADN=∠BDM，
∵∠ADB=90°，即∠ADM+∠BDM=90°， ∴∠ADM+∠ADN=90°，即∠MDN=90°， ∴△MDN是等腰直角三角形．
26．老师布置了一道思考题：
如图，点M，N分别在等边三角形ABCD的BC、AC边上，且BM=CN，AM与BN交于点Q，求证：∠BQM=60°． （1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如： ①若将题中“BM=CN”与“∠BQM=60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的M、N分别移动到BC、CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°？ …
请你作出判断，在下列横线上填“是”或“否”：① 是 ；② 是 ；请对①②的判断，选择一个给出证明．
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】（1）易证△ABM≌△BCN，可得∠CBN=∠BAM，即可求得∠BQM=∠ABM=60°；
（2）①根据题干中给出条件可得∠CBN=∠BAM，即可证明△ABM≌△BCN，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
②画出图形，易证CM=AN，和∠BAN=∠ACM=120°，即可证明△BAN≌△ACM，可得∠CAM=∠ABN，即可解题．
【解答】证明：（1）∵在△ABM和△BCN中，
，
第37页（共47页）
∴△ABM≌△BCN，（SAS） ∴∠CBN=∠BAM，
∵∠BAM+∠ABM+∠AMB=180°，∠CBN+∠AMB+∠BQM=180°， ∴∠BQM=∠ABM=60°；
（2）①∵∠BQM=∠ABM=60°，∠BAM+∠ABM+∠AMB=180°，∠CBN+∠AMB+∠BQM=180°，
∴∠CBN=∠BAM， ∵在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN，（ASA） ∴BM=CN，故答案为是； ②画出图形，
，
∵∠BAC=∠ACB=60°， ∴∠BAN=∠ACM=120°， ∵BM=CN，BC=AC
∴BM﹣BC=CN﹣AC，即CM=AN， ∵在△BAN和△ACM中，
∴△BAN≌△ACM，（SAS） ∴∠CAM=∠ABN，
∵∠ABN+∠ANB=60°，∠CAM=∠NAQ， ∴∠BQM=∠ANB+∠NAQ=60°．故答案为是．
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，
八年级（上）期中质量分析数学试题卷
（时间 90分钟 满分120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．能将三角形面积平分的是三角形的（ ）
A．角平分线 B．高 C．中线 D．外角平分线 2．根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（ ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45° C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝5，AC＝4，∠C＝45° 3．下列各图中，正确画出AC边上的高的是( )
4．在下列条件中①∠A =∠C-∠B，②∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，③∠A=90°－∠B，④∠A=∠B=1∠C，⑤A1B1C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ( )
232
A．2个； B．3个； C．4个； D．5个
5．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ ）
A．165° B．150° C．135° D．145°
6．为了测量河两岸相对点A、B的距离，小明先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上（如图所示），可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长度就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（ ） A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
7．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC
等于（ ） A．140°
B．120°
C．130°
D．无法确定
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（ ）
A．10 B．16 C．8 D．4
9.在等腰三角形ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ）
A．7 B．7或11
C．11 D．7或10
第39页（共47页）
10．如图钢架中，A10，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1APP12，则这样的钢条至多需要（ ） ．．
A．5根B．6根C．7根D．8
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，则∠DAC＝ ． 12．如果一个三角形两边为2cm，7cm，且三角形的第三边为奇数，则三角形的周长是 cm． 13．若ab，则211）． a 2b（填“＜”或“＞”
3314．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分
∠ADC，∠CED＝35°．如图，则∠EAB的度数为 ．
15．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC=110°，则∠EAG= °．
16．已知直角三角形的周长为426, 斜边的中线为2，则它的面积是 ． 17．用一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°、120°等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是： ．（写出三个即可）
18．如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为 ． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19．（本题6分）如图，已知AB⊥l于点B，CD⊥l于点D，AB=1，BD=CD=3，点P是线段BD上的一个动点，试确定点P的位置，使PA+PC的值最小，并求出这个最小值．
第40页（共47页）
20．（本题8分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4 求证：(1) △ABC≌△ADC；(2) BO＝DO．
21．（本题8分）如图，已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，连结AE与BD，试探究线段AE与BD的数量关系和位置关系．
22．（本题8分）已知AD为△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 23．（本题8分）如图，等边△ABC中，D是BC上一点， 以AD为边作等腰△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°，求∠FDC的度数．
24．（本题8分）如图，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，求点P到三角形的三边的距离之和PD+PE+PF的值．
第41页（共47页）
25．(本题10分)如图，已知△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，请你用不同的方法证明：DE=DF．（用到相同的知识点即视为同一种方法）
26．（本题10分）图甲中D是△ABC的边BC的延长线上一点，∠ABC、∠ACD的平分线交于点P1．
(1) 若∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，则∠P1的度数为_________； (2) 若∠A＝α，求∠P1的度数（用含α的代数式表示）（写出求解过程）； (3) 如图（乙），∠A＝α，∠ABC、∠ACD的平分线交于点P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3，依次类推，则Pn（n为正整数）的度数为________（用n与α的代数式表示）．
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八年级（上）期中数学试题卷参考答案
（时间 90分钟 满分120分）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．能将三角形面积平分的是三角形的（ C ）
A．角平分线 B．高 C．中线 D．外角平分线 2．根据下列条件不能唯一画出△ABC的是（ D ）
A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45° C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝5，AC＝4，∠C＝45° 3．下列各图中，正确画出AC边上的高的是( D )
4．在下列条件中①∠A =∠C-∠B，②∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，③∠A=90°－∠B，④∠A=∠B=1∠C，⑤A1B1C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有 ( D )
232
A．2个； B．3个； C．4个； D．5个
5．一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则∠α的度数是（ A ）
A．165° B．150° C．135° D．145°
6．为了测量河两岸相对点A、B的距离，小明先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在同一条直线上（如图所示），可以证明△EDC≌△ABC，得ED＝AB，因此测得ED的长度就是AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是（ B ） A．SAS B．ASA C．SSS D．HL
7．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC
等于（ C ） A．140°
B．120°
C．130°
D．无法确定
8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（ C ）
A．10 B．16 C．8 D．4
9.在等腰三角形ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ B ）
A．7 B．7或11
C．11 D．7或10
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10．如图钢架中，A10，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1APP12，则这样的钢条至多需要（ D ） ．．
A．5根B．6根C．7根D．8
二、填空题（每小题3分，共24分）
11．如图，已知△ABC≌△ADE，若∠BAE＝120°，∠BAD＝40°，则∠DAC＝ 40 ． 12．如果一个三角形两边为2cm，7cm，且三角形的第三边为奇数，则三角形的周长是 16 cm． 13．若ab，则211）． a ＜ 2b（填“＜”或“＞”
3314．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°．如图，则∠EAB的度数为 35 ．
15．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、
BC于点F、G，若∠BAC=110°，则∠EAG= 40 °．
16．已知直角三角形的周长为426, 斜边的中线为2，则它的面积是 2 ． 17．用一副三角板可以直接得到30°、45°、60°、90°四种角，利用一副三角板可以拼出另外一些特殊角，如75°、120°等，请你拼一拼，用一副三角板还能拼还能拼出哪些小于平角的角？这些角的度数是： 15,105,135,150,165 ．（写出三个即可） 18．如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点．PE⊥BC，PF⊥CA，则线段EF长的最小值为 25 ．
三、解答题（共8小题，满分66分） 19．（本题6分）如图，已知AB⊥l于点B，CD⊥l于点D，AB=1，BD=CD=3，点P是线段BD上的一个动点，试确定点P的位置，使PA+PC的值最小，并求出这个最小值．
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解：作出点A关于l的对称点A’，连A’C与l的交点即为所求作的点P，最小值为5. (3’+3’) 20．（本题8分）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠2，∠3＝∠4 求证：(1) △ABC≌△ADC；(2) BO＝DO．
证明：（1）利用ASA即可证明△ABC≌△ADC， （2）可以利用SAS证明△ABO≌△ADO,也可以等腰三角形三线合一来证明. (4’+4’) 21．（本题8分）如图，已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，连结AE与BD，试探究线段AE与BD的数量关系和位置关系．
解：利用SAS证明△AEC≌△BCD,可以得到AE=BD，∠EAC=∠DBC，进而可得： ∠EAC+∠BDC=∠DBC+∠BDC=90,即AE⊥BD (5’+3’) 22．（本题8分）已知AD为△ABC的高，∠BAD＝70°，∠CAD＝20°，求∠BAC的度数． 解：无图题，画出图形，三角形的高线可以在形内，也可以在形外，所以有两解， 答案为90或50 (5’+3’) 23．（本题8分）如图，等边△ABC中，D是BC上一点， 以AD为边作等腰△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝80°，DE交AC于点F，∠BAD＝15°，求∠FDC的度数．
第45页（共47页）
解：答案为25 24．（本题8分）如图，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，求点P到三角形的三边的距离之和PD+PE+PF的值．
解：利用面积，连PA，PB，PC，则三个小三角形的面积等于大三角形的面积.
11112PD2PE2PF23 2222所以 PD+PE+PF=3
25．(本题10分)如图，已知△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，请你用不同的方法证明：DE=DF．
证明：一、证明△BDE≌△CDF即可得DE=DF；
二、连AD，利用等腰三角形的三线合一和角平分线的性质即可证明； 三、利用面积关系即可证明结论. (4’+3’+3’) 26．（本题10分）图甲中D是△ABC的边BC的延长线上一点，∠ABC、∠ACD的平分线交于点P1．
(1) 若∠ABC＝80°，∠ACB＝40°，则∠P1的度数为__30__；
(2) 若∠A＝α，求∠P1的度数（用含α的代数式表示）（写出求解过程）；P1 2(3) 如图（乙），∠A＝α，∠ABC、∠ACD的平分线交于点P1，∠P1BC、∠P1CD的平分线相交于P2，∠P2BC、∠P2CD的平分线相交于P3，依次类推，则P（的度数为__nn为正整数）（用n与α的代数式表示）．
1______n2
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(3’+4’+3’)
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