杆件受力变形及其应力分析

第三章　杆件受力变形及其应力分析§３－１　概　　述一、构件正常工作的基本要求为了保证机器或工程结构的正常工作，构件必须具有足够的承受载荷的能力（简称承载能力）。为此，构件必须满足下列基本要求。１畅足够的强度例如，起重机的钢丝绳在起吊不超过额定重量时不应断裂；齿轮的轮齿正常工作时不应折断等。可见，所谓足够的强度是指构件具有足够的抵抗破坏的能力。它是构件首先应满足的要求。２畅足够的刚度在某些情况下，构件受载后虽未破裂，但由于变形过量，也会使机械不能正常工作。图３－１所示的传动轴，由于变形过大，将使轴上齿轮啮合不良，轴颈和轴承产生局部磨损，从而引起振动和噪声，影响传动精度。因此，所谓足够的刚度是指构件具有足够的抵抗弹性变形的能力。应当指出，也有某些构件反而要求具有一定的弹性变形能力，如弹簧、仪表中的弹性元件等。３畅足够的稳定性例如千斤顶中的螺杆等类似的细长直杆，工作时当压力较小时，螺杆保持直线的平衡形式；图３－１　构件刚度不够产生的影响当压力增大到某一数值时，螺杆就会突然变弯。这种突然改变原有平衡形式的现象称为失稳。因此，所谓足够的稳定性是指构件具有足够的保持原有平衡形式的能力。上述的基本要求均与构件的材料、结构、截面形状和尺寸等有关。所以，设计时在保证构件正常工作的前提下，还应合理地选择构件的材料和热处理方法，并尽量减小构件的尺寸，以做到材尽其用，减轻重量和降低成本。二、变形固体及其基本假设自然界中的一切物体在外力作用下或多或少地总要产生变形。在本书第二章中，由于物体产生的变形对所研究的问题影响不大，所以在该章中把所有物体均视为刚体。而在图３－１中，如果轴上任一横截面的形心，其径向位移只要达到０畅０００５l（l为轴的支承间的距离），尽管此时构件变形很小，但该轴已失去了正常工作的条件。因为这一微小变形是影响构件能否正常工作的主要因素。因此，在本章中所研究的一切物体都是变形固体。在对构件进行强度、刚度和稳定性的计算时，为了便于分析和简化计算，常略去变形固体的·57·一些影响不大的次要性质。为此，就需对变形固体作如下的假设：１畅均匀连续假设认为构成变形固体的物质毫无空隙地充满其整个几何容积，并且各处具有相同的性质。２畅各向同性假设认为材料在各个不同的方向具有相同的力学性能。实践证明，根据上述假设所建立的理论和计算的精度是符合工程要求的。即使将上述假设用于或有条件地用于某些具有方向性的材料（如轧钢、木材等），也可得到令人满意的结果。三、杆件变形的基本形式在机器或工程结构中，构件的形式是多种多样的，若构件的长度远大于横截面的尺寸，则该构件称为杆件或杆。轴线（横截面形心的连线）是直线的杆３－２ｂ）。各横截面的形状、尺寸完全相同的杆称为工程上比较常见的是等截面直杆，简称等直杆，例如传动轴、销钉、拉紧的钢丝绳、立柱和梁等。本章以等直杆为主要研究对象。杆件在不同形式外力作用下将产生不同形式的变形，其中轴向拉伸（图３－３ａ）或压缩（图３－３ｂ）、剪切（图３－３ｃ）、扭转（图３－３ｄ）与弯曲（图３－３ｅ）是变形的四种基本形式。其他比较复杂的变形都是上述几种基本变形的组合。图３－２　杆件称为直杆（图３－２ａ）；轴线是曲线的杆称为曲杆（图等截面杆（图３－２ａ），否则为变截面杆（图３－２ｂ）。图３－３　杆件变形的基本形式·58·§３－２　轴向拉伸和压缩一、轴向拉伸和压缩的概念机器和结构物中，很多构件受到拉伸或压缩的作用。例如图３－４所示悬臂吊车的拉杆、图３－５所示内燃机的连杆，即是杆件受拉伸或压缩的实例。图３－４　悬臂吊车图３－５　内燃机　　这些受力构件的共同特点是：外力（或外力的合力）的作用线与杆的轴线重合。其主要变形为轴向伸长或缩短（图３－３ａ、ｂ），这种变形形式称为轴向拉伸或压缩，此类杆件称为拉（压）杆。二、拉伸和压缩时的内力、截面法和轴力１畅内力的概念对于所研究的构件来说，其他构件或物体作用于其上的力均为外力。构件在外力作用下而变形时，其内部各质点之间的相互作用力发生了改变。这种因外力作用而引起的构件内各质点之间的相互作用力的改变量，称为附加内力，简称为内力。在一定限度内，内力随外力的增大而增加。若内力超过了这一限度，则构件将被破坏。因此，为使构件安全正常地工作，必须研究构件的内力。２畅截面法和轴力图３－６所示为一拉杆。为了确定任一横截面m—m上的内力，假想沿该截面将杆截开成两段。若弃去右段，保留左段来研究（图３－６ｂ）。这时，由于左段仍保持平衡，所以在截面m—m上必然有一个力F（连续分布内力的合力）的作用，它是杆件右段对左段的作用力，是一个内力。由平衡条件可得FＮ＝F若取杆件右段来研究（图３－６ｃ），其结果相同。若杆件为压杆，仍可得出上述结论。轴向拉·59·伸或压缩时，横截面上的内力F是一个沿杆件轴线的力，故称为轴力。显然，轴力可以是拉力（图３－６），也可以是压力。为便于区别，规定：拉力以正号表示，压力以负号表示。１）在欲求内力的截面处，假想地将杆件截成两２）留下任一段，在截面上加上内力，以代替弃去３）运用平衡条件确定内力的大小和方向。【例3－1】　图３－７ａ所示为一杆沿轴线同时受综上所述，应用截面法求内力的步骤是：段。部分对它的作用。段的轴力。力F１、F２、F３的作用，其作用点分别为A、C、B、求杆各解　由于杆上有三个外力，因此在AC段和BC段的横截面上将有不同的轴力。图３－６　截面法求轴力图３－７　轴受力分析FＮ１代替（图３－７ｂ）。由平衡条件知FＮ１必沿杆的轴线，方向与F１的方向相反，为拉力。并由平衡方程得　钞X＝０，FＮ１１）在AC段内任一横截面１—１处将杆截成两段，取左段研究，将右段对左段的作用以内力－F１＝０这就是AC段内任一横截面上的内力。FＮ１＝F１＝２ｋＮ方向一时不易确定，可将FＮ２先设为拉力，如图３－７ｃ所示，再由平衡方程得　CB段内任一横截面上的内力。FＮ２＝F１－F２＝（２－３）ｋＮ＝－１ｋＮ钞X＝０，FＮ２－F１＋F２＝０２）在CB段内任一横截面２—２处将杆截开，仍取左段研究。此时因截面２—２上内力FＮ２的结果中的负号说明，该截面上的轴力方向与原设的方向相反，即FＮ２为压力，其值为１ｋＮ。此即以上的计算都是选取左段研究，如果选取右段为研究对象，可得到同样的结果。三、应力的概念、拉（压）杆横截面上的应力１畅应力概念·60·在确定了拉（压）杆的内力后，还无法判断杆件的强度是否足够。例如两根材料相同而粗细不同的拉杆，在同样拉力的作用下，它们的内力相同。但当拉力逐渐增大时，细杆先被拉断。这说明杆件的强度不仅与内力有关，而且还与截面的面积有关。因此，就需要引入应力的概念。布，则单位面积上的内力称为应力。应力的单位为Ｐａ（帕），１Ｐａ＝１Ｎ／ｍ。由于此单位较小，常２６９应力用来描述杆件截面上的分布内力集度，即内力分布的强弱。如果内力在截面上均匀分用ＭＰａ（兆帕）或ＧＰａ（吉帕），１ＭＰａ＝１０Ｐａ，１ＧＰａ＝１０Ｐａ。２畅拉（压）杆横截面上的应力为了研究拉（压）杆横截面上的应力，可先观察实验现象。现取一等直杆，在其表面画出许多３－８ａ）。在两端施加一对轴向拉力F之后，可以发现所有纵向线的伸长都相等，而横向线仍保持为直线，并仍与纵向线垂直（图３－８ｂ）。据此现象可设想杆件由无数纵向纤维所组成，且每根纵向纤维都受到同样的拉伸。由此可以得知：杆件在轴向拉伸时横截面仍保持为平面，内力在横截面上是均匀分布的，它的方向与横截面垂直。即横截面上各点的应力大小相等，方向皆垂直于横截面（图３－８ｃ）。垂直于截面的应力称为正应力，以σ表示。若拉杆的横截面积为A，则由以上分析可知，拉杆横截面上的正应力为FＮσ＝A（３－１）图３－８　拉伸应力与轴线平行的纵线和与它垂直的横线（图式中：FＮ———横截面的轴力，Ｎ；A———横截面面积，ｍ。２力为正，压应力为负。对于轴向压缩的杆件，上式同样适用。由于前面规定了轴力的正负号，FＮ有正负之别：拉应四、材料在拉伸和压缩时的力学性质由经验可知，两根粗细相同，受同样拉力的钢丝和铜丝，钢丝不易拉断，而铜丝易拉断。这说明不同的材料抵抗破坏的能力是不同的。因此，构件的强度与材料的力学性质有关。所以除了要分析构件受力时的应力外，还应了解材料受力时的力学性质。所谓力学性质，主要是指材料在外力作用下，变形与所受外力之间的关系。它必须通过各种实验来测定。下面介绍材料在常温、静载条件下拉伸和压缩时的力学性质。这里的常温、静载，是指在室温下载荷由零逐渐缓慢地增加。１畅拉伸试验和应力－应变曲线拉伸试验是研究材料力学性质最常用、最基本的试验。为了使不同材料的试验结果便于比较，须将材料按国家标准制成标准试件（图３－９）。试件的两端为装夹部分，标记m、n之间的等截面杆段为试验段，其长度L称为标距，对圆截面试件规定L＝１０d或５d。d为试件的直径。试验时缓慢加载，随着轴向载荷F的增加，试件被逐渐拉长，试验段的伸长量用ΔL表示，试验进行到试件断裂为止。在试验机上一般都有自动绘图装置，能自动绘出载荷F与伸长ΔL间的关系曲线（F－ΔL曲线），称为试件的拉伸图。低碳钢的拉伸图如图３－１０所示。拉伸图既与材料的力学性质有关，又与试件的几何尺寸有关。例如，如果试件做得粗一些，产生相同的伸长所需的拉力就大一些；如果试件的标距长一些，则在同样的拉力作用下，伸长也·61·会大一些。为了消除试件尺寸的影响，使试验结果能反映材料的性质，将拉力F除以试件的原横截面积A，以应力σ＝F／A来衡量材料的受力情况；将标距的伸长ΔL除以标距的原有长度L，以单位长度的变形（ΔL／L）来衡量材料的变形情况。图３－９　拉伸试件图３－１０　低碳钢拉伸图　　单位长度的变形称为正应变或线应变，用ε表示，即ΔLε＝L正应变是两个长度的比值，为量纲为一的量。（３－２）这样就将试件的拉伸图改为以正应力和正应变为坐标的曲线，称为应力－应变曲线或σ－ε曲线。低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线如图３－１１所示，形状与拉伸图（图３－１０）相似。２畅低碳钢在拉伸时的力学性质（１）拉伸试验过程的几个阶段低碳钢在工程上应用比较广泛，且拉伸试验时表现出来的力学性质比较典型。图３－１１所示为低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线。从图中可以看出，拉伸过程大致分为四个阶段。在该阶段内若将载荷卸掉，使正应力σ逐渐减小到１）弹性阶段　在OA段内材料的变形是弹性的。图３－１１　低碳钢Ｑ２３５的σ－ε曲线零，相应的应变ε也随之完全消失。卸掉载荷后能完全消失的变形称为弹性变形，故称这一阶段为弹性阶段。OA为一直线，说明在该阶段内正应力σｐ≈１９６ＭＰａ。和正应变ε成正比。A点所对应的应力称为材料的比例极限，以σｐ表示。Ｑ２３５钢的比例极限２）屈服阶段　超过比例极限后，在一个极小阶段内，虽然材料的变形仍然是弹性的，但是应力与应变不再保持线性关系。当到达B点时，图线出现一段接近水平线的小锯齿形线段（BC段），此时应力几乎不增加，而应变却急剧增大，说明材料暂时失去了抵抗变形的能力，这种现象屈服强度σ２３５ＭＰａ。材料屈服时，试件表面出现与试件轴线约成４５°的线纹，称为滑移线，如ｓ＝·62·称为屈服。BC段称为屈服阶段。屈服阶段内的最低应力称为屈服强度，用σｓ表示。Ｑ２３５钢的图３－１２所示。３）强化阶段　经过屈服阶段后，曲线又开始上升，表明使材料继续变形需增大拉力，这种现象称为强化。强化阶段的最高点D所对应的应力，称为材料的强度极限，用σｂ表示，它是材料所能承受的最大应力。Ｑ２３５钢的强度极限σ３８０ＭＰａ。ｂ＝４）局部变形阶段　曲线过了D点又向下弯曲，这是由于从D点开始，在试件某一局部范围内，横截面显著收缩，产生所谓颈缩现象（图３－１３），使试件继续伸长所需的拉力逐渐变小，直到E点试件被拉断。图３－１２　滑移线图３－１３　颈缩现象点，其相应的应力依次为比例极限、屈服强度和强度极限。如果将试件拉伸使其应力超过比例极限，例如在着与直线OA近乎平行的直线FO１回到O１（图３－１４）。在应变坐标中O１O２表示材料的弹性应变，OO１表示材强化阶段某一点F逐渐卸载，此时应力应变关系将沿　　综上所述，在拉伸过程中，材料经过了弹性、屈服、强化和局部变形四个阶段，存在三个特征（弹性变形）消失了，残留下来的变形称为塑性变形。料的塑性应变。如果卸载后再重新加载，则应力和应变关系将沿着O１FDE曲线变化直至断裂。与同样材料但未经卸载的应力－应变曲线相比，材料的比例极限这说明材料的变形已不能全部消失，其中一部分变形图３－１４　冷作硬化程上常利用冷作硬化来提高构件（如钢筋、钢丝绳等）在弹性范围内所能承受的最大载荷。（２）材料的塑性将得到提高（σ′σｐ＞ｐ），而断裂时的残余变形则减小，这种现象称为冷变形强化或冷作硬化。工１）伸长率δ　以试件拉断后的相对伸长来表示，即材料能产生塑性变形的性质称为塑性。工程上常用下列两个指标来衡量材料的塑性：LL１－δ＝×１００％L（３－３）式中，L和L１分别为试件标距的原长和拉断后的长度。２）断面收缩率ψ　以试件拉断后断面面积的相对收缩来表示，即A－A１ψ＝×１００％A（３－４）式中，A和A１分别为试件的原横截面积和断面面积。低合金钢、碳素钢、铜和铝等；将δ＜５％的材料称为脆性材料，如铸铁、混凝土、石料等。Ｑ２３５钢的δ＝２０％～３０％，ψ＝６０％。３畅其他材料拉伸时的力学性质δ和ψ的数值越大，说明材料的塑性越好。工程上，通常将δ≥５％的材料称为塑性材料，如其他塑性材料拉伸时的σ－ε曲线与低碳钢有类似之处，但也有显著的区别：有些塑性材料·63·塑性材料，国家标准规定，取对应于试件产生０畅２％的塑性应变时的应力值为其名义屈服强度，以σ０畅２表示。脆性材料如铸铁和玻璃钢，受拉时直到断裂变形都很小，没有屈服阶段和颈缩现象，故没有（如锰钢、硬铝、退火球墨铸铁等）不像低碳钢有明显的屈服阶段。对这些没有明显屈服阶段的屈服强度，而只有强度极限。其σ－ε曲线如图３－１５所示。由图中可以看出，铸铁的σ－ε曲线没有直线部分，不过在实用的应力范围内，曲线的曲率很小，常用直线（图中虚线）代替曲线，即应力与应变近似成正比。４畅材料压缩时的力学性质为了避免试验时被压弯，金属材料压缩试件制成短圆柱形。低碳钢压缩时的σ－ε曲线如图３－１６所示。在屈服阶段以前，压缩曲线和拉伸曲线（图中虚线）基本重合，压缩时的屈服强度与拉伸时的屈服强度基本相同。但是，随着载荷的增大，试件越压越扁，产生很大的塑性变形而不破裂，故测不出压缩时的强度极限。图３－１５　灰口铸铁、玻璃钢拉伸时的σ－ε曲线图３－１６　低碳钢压缩σ－ε曲线　　铸铁压缩时的σ－ε曲线如图３－１７所示，与拉伸时的σ－ε曲线类似，但是其强度极限远轴线约成４５°。各种材料在拉伸和压缩时的力学性质可查阅有关手册。五、拉（压）杆的强度计算１畅许用应力和安全系数由前述的试验知道：当应力达到强度极限σｂ时，高于拉伸时的强度极限（约３～４倍），所以脆性材料宜用作受压构件。铸铁压缩时的破裂断口与会引起断裂；当应力达到屈服强度σｓ时，将出现显著性变形一般都是不允许的。所以，σｂ和σｓ统称为材料的极限应力。对于脆性材料，因没有屈服阶段，断裂时无明显变形，故以强度极限σｂ为极限应力；对于·64·的塑性变形。显然，构件工作时发生断裂或显著的塑图３－１７　铸铁压缩的σ－ε曲线塑性材料，因σσｓ＜ｂ，则通常以屈服强度σｓ为极限应力。为了保证构件安全可靠地工作，应使其工作应力，即构件工作时由载荷引起的应力低于材料的极限应力，而且还要留有充分的余地。这是因为载荷的估计难以准确，计算公式带有一定的近似性，材料也并不像假设的那样绝对均匀等因素的影响。此外，构件工作时可能遇到意外的超载情况或其他不利的工作条件，要求构件需有必要的强度储备，以保证正常工作。一般将极限应力除以大于１的系数n，作为构件工作时所允许的最大应力，称为许用应力，以［σ］表示，系数n称为安全系数。对应于屈服强度σｓ的安全系数用nｓ表示；对应于强度极限σｂ的安全系数用nｂ表示。因此，拉（压）杆的许用应力可由下列两式表示：塑性材料　脆性材料　σｓ［σ］＝nｓ（３－５）（３－６）σｂ［σ］＝nｂ应该注意，脆性材料在拉伸和压缩时的强度极限是不相等的，故其许用拉应力和许用压应力也是不相等的。安全系数取得过小，则构件的强度储备很小，构件工作的安全可靠程度低；若安全系数取得过大，构件工作时安全可靠程度高，但设计出来的构件尺寸过大，这不仅浪费材料，还会造成机器或结构物粗笨。安全系数的确定取决于诸多因素，如构件的工作条件、制造工艺、载荷和应力计关规范或设计手册中查到。一般取nｓ＝１畅５～２畅０；nｂ＝２畅５～３畅０。２畅拉（压）杆的强度条件算的准确程度、材料的均匀性等。各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力值可从有为了保证拉（压）杆安全可靠地工作，杆内的实际工作应力不得超过材料的许用应力，即FＮσ＝≤［σ］A（３－７）（１）强度校核上式称为拉（压）杆的强度条件。应用此条件，可以进行下述三方面的强度计算。已知杆件的材料、截面尺寸及所承受的载荷。应用式（３－７）可校核杆件是否满足强度要（２）设计截面尺寸求。若σ≤［σ］，则强度足够；若σ＞［σ］，则强度不够。已知杆件承受的载荷及材料的许用应力，把强度条件式（３－７）改写成A≥（３）确定许用载荷FＮ［σ］由此可确定杆件所需的横截面面积，然后确定截面尺寸。已知杆件的截面尺寸和材料的许用应力，可按式（３－７）计算杆件所允许的轴力为从而确定构件或结构的许用载荷。２FＮ≤A［σ］小，其值为２１８畅９ｍｍ，F＝３８ｋＮ，试校核连杆的强度。【例3－2】　图３－１８ａ所示发动机连杆用４０ＭｎＢ制成，［σ］＝２００ＭＰａ，A—A截面面积最·65·解　如图３－１８ｂ所示，应用截面法和平衡条件求得A—A截面上的轴力为因连杆各横截面上的轴力相同，所以最大应力发生在横截面面积最小的A—A截面，根据式３FＮ６３８×１０１７３畅６×１０Ｐａ＝１７３畅６ＭＰａ＜［σ］σ＝＝－６Ｐａ＝A２１８畅９×１０FＮ＝F＝３８ｋＮ（压力）（３－１），其值为所以连杆强度足够。成，截面尺寸h／b＝３，材料的许用应力［σ］＝８０ＭＰａ，吊环的最大起重量F＝１２００ｋＮ。试确定锻钢杆的尺寸h、b。【例3－3】　图３－１９ａ所示为一起重用吊环，其侧臂AB和AC各由一矩形截面的锻钢杆制图３－１８　发动机连杆图３－１９　起重吊环　　解　用截面法沿两侧臂的横截面假想地截开，取上部分研究，其受力如图３－１９ｂ所示。由于对称关系，两侧臂轴力相等，设为FＮ，则由平衡方程钞Y＝０，F－２FＮｃｏｓα＝０FFＮ＝２ｃｏｓα９６０２２得式中故由式（３－７）得ｃｏｓα＝１２００FＮ＝ｋＮ＝６５５ｋＮ２×０畅９１６２３FＮ－６２２６５５×１０ＮA≥＝８１８８×１０ｍ＝８１８８ｍｍ６２＝［σ］８０×１０Ｎ／ｍ２２９６０＋４２０＝０畅９１６２因A＝hb＝３b，故３b≥８１８８ｍｍ。则２·66·b≥５２ｍｍ取b＝５２ｍｍ，则h＝３b＝１５６ｍｍ。２００ＭＰａ，许用压应力［F］。已知杆AB、BC的横截面积均为A＝１００ｍｍ，许用拉应力［σ＋］＝２【例3－4】　图３－２０ａ所示支架，在节点B处受铅垂载荷F作用，试计算F的最大允许值［σ－］＝１５０ＭＰａ。解　１）取节点B为研究对象并画出受力图（图３－２０ｂ）由平衡方程钞X＝０，FＮ２－FＮ１ｃｏｓ４５°＝０钞Y＝０，FＮ１ｓｉｎ４５°－F＝０解得杆AB、BC的轴力为２）确定F的最大允许值　根据式（３－７）可知F将FＮ１代入上式得　２F≤A［σ＋］故F≤A［σ＋］２１００×１０＝３Ｎ１FＮ１＝２F（拉力），FＮ２＝F（压力）≤A［σ＋］－６×２００×１０２－６Ｎ图３－２０　支架受力分析同理，由式（３－７）可得＝１４畅１４×１０Ｎ在求得的许用载荷的两个值中，应该取较小值，所以支架的许用载荷［F］＝１４畅１４ｋＮ。六、拉（压）杆的变形杆件在轴向拉伸或压缩时，沿轴线方向伸长或缩短，与此同时，横向尺寸还会缩小或增大，前力后，杆长变为L１，横向尺寸变为b１，则杆的纵向绝对变形为横向绝对变形为ΔL＝L１－LΔb＝b１－b者称为纵向变形，后者称为横向变形。如图３－２１所示，设杆件原长为L，横向尺寸为b，轴向受F＝FＮ２≤A［σ－］＝１００×１０－６×１５０×１０Ｎ＝１５×１０Ｎ６３下面主要研究纵向变形的规律。由前面的实验可知：在比例极限内，正应力与正应变成正比，即引进比例系数E，则σ∝εσ＝Eε（３－８）图３－２１　拉伸变形此关系式称为胡克定律。比例系数E称为材料的弹性模量，其值随材料而异。因正应变ε是一量纲一的量，所以弹性模量E与正应力σ有相同的量纲。E的常用单位为ＧＰａ或ＭＰａ。由于σ＝FＮ／A，ε＝ΔL／L，所以式（３－８）又可写成FＮLΔL＝EA式（３－８）同样适用于轴向压缩。（３－９）·67·上式为胡克定律的变形形式。由上式可以看出，弹性模量E越大，杆的变形越小。所以，弹性模量是衡量材料抵抗弹性变形能力的一个指标。同时还可以看出，对长度相等、受力相同的杆，EA越大，杆的变形越小，所以EA代表杆件抵抗拉伸（或压缩）的能力，称为杆件的抗拉（压）刚度。E＝２００ＧＰａ，已知F１＝２ｋＮ，F２＝３ｋＮ，L１＝２畅５ｍ，L２＝２ｍ，横截面积均为A＝１０ｃｍ，求杆的总伸长。２【例3－5】　如图３－２２所示的杆件，材料的弹性模量解　AB段和BC段的轴力分别为由于杆两段的轴力不同，为了计算杆件的总伸长，需先求出每段杆的轴向变形。根据式（３－９）可知，AB与BC段的轴向变形分别为FＮ１L１FＮ２L２ΔLAB＝，ΔLBC＝EAEA１ｋＮ，FＮ２＝２ｋＮFＮ１＝－图３－２２　杆件受力分析　　所以，杆AC的总伸长为FＮ１L１FＮ２L２FＮ１L１＋FＮ２L２ΔL＝ΔLAB＋ΔLBC＝＋＝EAEAEA３３＝７畅５×１０－７－１×１０×２畅５＋２×１０×２ｍ＝７５×１０ｍ＝９－４１０×１０２００×１０×－３ｍｍ§３－３　剪　　切一、剪切的概念工程上一些连接件，例如常用的销（图３－２３）、螺栓（图３－２４）、平键等都是主要发生剪切变形的构件，称为剪切构件。这类构件的受力和变形情况可概括为如图３－２５所示的简图。其受力特点是：作用于构件两侧面上的横向外力的合力，大小相等，方向相反，作用线相距很近。在这样外力作用下，其变形特点是：两力间的横截面发生相对错动，这种变形形式称为剪切。发生相对错动的截面称为剪切面。图３－２３　销的受力情况二、剪切的实用计算为了对构件进行剪切强度计算，必须先计算剪切面上的内力。现以图３－２４ａ所示的螺栓为·68·图３－２４　螺栓受力情况例进行分析。当两块钢板受拉时，螺栓的受力如图３－２４ｂ所示。若力F过大，螺栓可能沿剪切面m—m被剪断。为了求得剪切面上的内力，运用截面法将螺栓沿剪切面假想截开（图３－２４ｃ），向相反的内力存在，这个内力称为剪力，以FＱ表示。它是剪切面上分布内力的合力。由平衡方程式钞F＝０得FＱ＝F并取其中任一部分研究。由于任一部分均保持平衡，故在剪切面内必然有与外力F大小相等、方剪力在剪切面上的分布情况是比较复杂的，工程上通常采用以试验、经验为基础的实用计算法。在实用计算中，假定剪力在剪切面上均匀分布。前面轴向拉伸和压缩一节中，曾用正应力σ表示单位面积上垂直于截面的内力。同样，对剪切构件，也可以用单位面积上平行截面的内力来衡量内力的聚集程度，称为切应力，以τ表示，其单位与正应力一样。按假定算出的平均切应力称为名义切应力，一般简称切应力，切应力在剪切面上的分布如图３－２４ｄ所示。所以，剪切构件的切应力可按下式计算：FＱτ＝A（３－１０）图３－２５　剪切式中：A———剪切面面积，ｍ。２为了保证螺栓安全可靠地工作，要求其工作时的切应力不得超过某一许用值。因此，螺栓的FＱ］τ＝≤［τA（３－１１）剪切强度条件为式中：［τ］———材料许用切应力，Ｐａ。式（３－１１）虽然是以螺栓为例得出的，但也适用于其他剪切构件。实验表明，一般情况下，材料的许用切应力［τ］和许用拉应力［σ］有如下关系：塑性材料脆性材料三、切应变、剪切胡克定律在构件的受剪部位，围绕A点取一直角六面体（图３－２６ａ），将它放大如图３－２６ｂ所示。剪３－２６ｂ虚线所示，原来的直角改变了一微小角度γ，这个直角的改变量γ称为切应变，其单位一般为ｒａｄ（弧度）。·69·切变形时，直角六面体左、右两侧面发生相对平行错动，直角六面体变成平行六面体，如图［τ］＝（０畅６～０畅８）［σ］［τ］＝（０畅８～１畅０）［σ］３－２６ｃ），即实验证明：当切应力不超过材料的剪切比例极限τ与切应变γ成正比（图ｐ时，切应力ττ＝Gγ（３－１２）图３－２６　切应变、剪切胡克定律这就是剪切胡克定律。式中比例系数G称为剪切弹性模量，它表示材料抵抗剪切变形的能力，其单位与τ的单位相同。一般钢材的剪切弹性模量G＝８０ＧＰａ。四、挤压概念及实用计算构件在受到剪切作用的同时，往往还伴随着挤压作用。例如图３－２４ａ中的下层钢板孔右侧，由于与螺栓圆柱面的相互压紧，在接触面上产生较大的压力，致使接触处的局部区域产生塑性变形（图３－２７），这种现象称为挤压。此外，连接件的接触表面上也有类似现象。构件上产生挤压变形的接触面称为挤压面；作用于挤压面上的压力称为挤压力，用Fｊ表示；挤压面上的压强习惯上称为挤压应力，以σｊ表示。挤压应力只存在于挤压面附近的区域，故其分布比较复杂。工程上为简化计算，同样也假设挤压应力在挤压面上均匀分布，于是有Fｊσｊ＝Aｊ２——挤压力，Ｎ；式中：Fｊ—（３－１３）图３－２７　挤压破坏Aｊ———挤压面积，ｍ图３－２８　挤压面积对于螺栓、铆钉等连接件，挤压时接触面为半圆柱面（图３－２８ａ）。但在计算挤压应力时，挤·70·压面积采用实际接触面在垂直于挤压力方向的平面上的投影面积，如图３－２８ｃ所示的ABCD面积。这是因为，从理论分析得知，在半圆柱挤压面上挤压应力分布如图３－２８ｂ所示，最大挤压应力在半圆弧的中点处，其值与按正投影面积计算结果相近。压强度条件为为了保证构件安全正常地工作，则构件的挤压应力σｊ不得超过许用挤压应力［σｊ］，因此挤Fｊσ≤［σｊ＝ｊ］Aｊ（３－１４）［σ］有如下关系：塑性材料脆性材料许用挤压应力可从有关规范中查得。根据实验，材料的许用挤压应力［σｊ］与许用拉应力［σ（１畅５～２畅０）［σ］ｊ］＝［σ（０畅９～１畅５）［σ］ｊ］＝１５ｋＮ，试设计销钉的直径。的材料为２０钢，许用切应力［τ］＝６０ＭＰａ，许用挤压应力［σ１００ＭＰａ，又知拖车的拉力F＝ｊ］＝解　１）剪切强度计算　以销钉为研究对象，其受力如图３－２３ｂ所示。销钉上有两个剪切FＱ＝F／２＝７畅５ｋＮA＝πd／４２【例3－6】　图３－２３ａ所示为拖车挂钩用的销钉连接。已知挂钩部分钢板厚t＝８ｍｍ，销钉如果两个接触构件的材料不同，应以抵抗挤压能力弱的构件来进行挤压强度计算。面，用截面法将销钉沿剪切面假想地截开（图３－２３ｃ），由平衡条件可知，销钉剪切面上的剪力为剪切面面积为将上述二式代入式（３－１１）得故d≥F／２，挤压面积Aｊ＝dt，代入式（３－１４）得２）挤压强度计算　销钉所受的挤压力Fｊ＝Fｊ１５０００＝０畅００９ｍ－３６ｍ＝２t［σｊ］２×８×１０×１００×１０FｊF／２σ＝≤［σｊ＝ｊ］Aｊdt４FＱ４×７５００＝０畅０１３ｍ６ｍ＝π［τ］３畅１４×６０×１０FＱFＱτ＝≤［τ］２Aπd／４故d≥综合考虑剪切和挤压强度，并根据标准直径选取销钉直径为１４ｍｍ。用切应力［τ］＝６０ＭＰａ，许用挤压应力［σ１００ＭＰａ，铸铁的许用挤压应力［σ８０ＭＰａ，试校ｊ］＝ｊ］＝核键连接的强度。解　以轴（包括平键）为研究对象，其受力如图３－２９ｂ所示，根据平衡条件可得３２T２×３５０F＝＝Ｎ＝１７畅５×１０Ｎd０畅０４的直径d＝４０ｍｍ，平键尺寸b×h＝１２ｍｍ×８ｍｍ，初步确定键长l＝３５ｍｍ，键的材料为４５钢，许【例3－7】　铸铁带轮用平键与轴连接，如图３－２９ａ所示。传递的力偶矩T＝３５０Ｎ·ｍ，轴钞mO＝０，T－Fd／２＝０故·71·３－２９ｄ）为１）校核键的剪切强度　平键的受力情况如图３－２９ｃ所示，此时剪切面上的剪力（图FＱ＝F＝１７畅５×１０Ｎ３图３－２９　键连接受力分析剪切面面积为所以，平键的工作切应力为A＝b×l＝１２ｍｍ×３５ｍｍ＝４２０ｍｍ２满足剪切强度条件。３FＱ１７畅６５×１０τ＝＝４１畅７×１０Ｐａ＝４１畅７ＭＰａ＜［τ］－６＝A４２０×１０据。带轮挤压面上的挤压力为２）校核挤压强度　由于铸铁的许用挤压应力小，所以取铸铁的许用挤压应力作为核算的依Fｊ＝F＝１７畅５×１０Ｎ３带轮的挤压面积与键的挤压面积相同，设带轮与键的接触高度为h／２，则挤压面面积为２２８lh３５×Aｊ＝＝ｍｍ＝１４０ｍｍ２２故带轮的挤压应力为不满足挤压强度条件。现需根据挤压强度条件重新确定键的长度。根据式（３－１４）有Aｊ≥即得键的长度为Fｊ［σｊ］３Fｊ１７畅６５×１０＝１２５×１０Ｐａ＝１２５ＭＰａ＞［σσｊ＝ｊ］－６Ｐａ＝Aｊ１４０×１０最后确定键的长度l＝５５ｍｍ。３２Fｊ－３２×１７畅５×１０l≥＝ｍ＝５４畅７×１０ｍ６［σｊ］h８０×１０×０畅００８Fｊhl≥２［σｊ］·72·§３－４　扭　　转一、扭转的概念工程上有许多构件承受扭转变形，如汽车方向盘的转向轴（图３－３０）、丝锥（图３－３１）、传动轴等。把这些构件的受力情况抽象为一个共同的力学模型，如图３－３２所示。从图可以看出，构件扭转时的受力特点是：作用在直杆两端的一对力偶大小相等、转向相反，且力偶作用面垂直于杆的轴线。其变形特点是：杆件的轴线保持不变，各横截面绕轴线作相对转动。工程中常把以扭转变形为主要变形的构件称为轴。圆轴扭转时的变形以横截面间绕轴线相对转过的角度即扭转角来表示。如图３－３２中的矱角即为B截面相对A截面的扭转角。图３－３０　转向轴受力图３－３１　丝锥受力情况　　二、外力偶矩、扭矩和扭矩图１畅外力偶矩的计算工程上作用于轴上的外力偶矩很少直接给出，而往往给出轴的转速n和轴所传递的功率P，通过功率的有关公式及推导，得出计算外力偶矩（又称转矩）的公式为T＝９５５０２畅扭矩和扭矩图Pn（３－１５）图３－３２　扭转变形式中：T的单位为Ｎ·ｍ；P的单位为ｋＷ；n的单位为ｒ／ｍｉｎ。如同拉压和剪切一样，构件扭转时，也是用截面法求内力，再研究应力的分布和计算，从而推导出强度条件这样的思路进行分析和研究的。现研究扭转时轴横截面上的内力。设一轴在一对大小相等、转向相反的外力偶作用下产生扭转变形，如图３－３３ａ所示。在轴的任意横截面n—n处将轴假想截开（图３－３３ｂ、ｃ）。由于整个轴是平衡的，所以每一段轴都处于平衡状态，这就使得n—n截面上的分布内力必然构成一个力偶，并以横截面为其作用面，这个内力偶矩称为扭矩，以Mｎ表示。根据左段或右段的平衡条件，均可得n—n截面上的扭矩为如图３－３３ｄ所示。但由左、右两段所求得扭矩的转向相反，这是因为它们是作用与反作用的关系。·73·Mｎ＝T图３－３３　截面法求扭矩为使无论取左段还是取右段所求得的扭矩不但在数值上相等而且符号也一样，对扭矩符号作如下规定：用右手螺旋法则，即以右手四指沿着扭矩的转向，若拇指的指向离开截面，则扭矩为正，反之为负，如图３－３４所示。由图可以看出，无论扭矩为正或为负，截面左、右两段扭转变形的转向是一致的。按此规定，图３－３４ａ中所示扭矩为正；图３－３４ｂ中扭矩为负。图３－３４　扭矩的符号规定当轴上作用有多个外力偶矩时，需以外力偶作用的截面将轴划分几个自然段，逐段求出其扭矩。为了确定轴上最大扭矩的位置，找出危险截面，常用一种图形表示各横截面的扭矩随截面位置变化的规律，这种图形称为扭矩图。作图时，以平行于轴线的坐标表示各横截面的位置，垂直于轴线的坐标表示扭矩的大小。图３－３３ｄ所示即为AB轴的扭矩图。【例3－8】　一等圆传动轴如图３－３５ａ所示，其转速n＝３００ｒ／ｍｉｎ，主动轮A的输入功率并画出扭矩图。P＝２２１ｋＷ，从动轮B、C的输出功率分别为PB＝１４８ｋＷ、PC＝７３ｋＷ。试求轴上各截面的扭矩，解　１）计算外力偶矩　由式（３－１５）可知，作用在A、B、C轮上的外力偶矩分别为TA＝９５５０TB＝９５５０TC＝９５５０PA２２１＝９５５０Ｎ·ｍ＝７０３５Ｎ·ｍn３００PB１４８＝９５５０Ｎ·ｍ＝４７１１Ｎ·ｍn３００PC７３＝９５５０Ｎ·ｍ＝２３２４Ｎ·ｍn３００其中TA的转向和轴的转向相同，TB、TC的转向和轴的转向相反。以Mｎ１表示截面的扭矩，并假想其转向为正，根据平衡条件得Mｎ１＝TC＝２３２４Ｎ·ｍ钞mx＝０，TC－Mｎ１＝０２）计算扭矩　在轴AC段的任意横截面１—１处将轴切开，取左段为研究对象（图３－３５ｂ），·74·段为研究对象（图３－３５ｃ），由平衡条件得同理，在AB段的任意横截面２—２将轴截开，以Mｎ２表示截面的扭矩，假设其转向为正，取右Mｎ２＝－TB＝－４７１１Ｎ·ｍMｎ＝４７１１Ｎ·ｍ钞mx＝０　TB＋Mｎ２＝０图３－３５　传动轴受力分析负号说明截面的扭矩为负。３）画扭矩图　根据所得扭矩作扭矩图（图３－３５ｄ），可见ｍａｘ三、圆轴扭转时横截面上的应力求得横截面上的应力。圆轴扭转时，在确定了横截面上的扭矩后，还应进一步研究横截面上内力分布的规律，以便实验表明，圆轴扭转时横截面上只有垂直于半径方向的切应力，而没有正应力。其切应力在横截面上的分布规律为：截面上各点切应力的大小，与该点到圆心的距离成正比。在圆心处的切应力为零；圆周边缘上各点的切应力最大（图３－３６ａ）。空心圆轴横截面上切应力的分布如图３－３６ｂ所示。圆轴扭转时横截面上距离圆心为ρ处的切应力τｐ的一般公式为式中：Mｎ———扭矩，Ｎ·ｍｍ；关的量，ｍｍ或ｃｍ。４４Mｎτ·ρｐ＝Iｐ——截面的极惯性矩，Iｐ＝AρｄA，是只与截面形状和尺寸有Iｐ—２∫在距截面圆心最远处（ρ＝ρｍａｘ）有最大的切应力τｍａｘ，可得公式为Mｎ·ρｍａｘτｍａｘ＝Iｐ（３－１６）量Wｐ，即为了计算方便，可以将截面的两个几何量Iｐ和ρｍａｘ归并为一个几何IｐWｐ＝ρｍａｘ图３－３６　圆轴扭转时横截面上切应力分布因此，式（３－１６）可写成·75·Mｎτｍａｘ＝Wｐ截面几何量，称为抗扭截面模量，其单位为ｍｍ或ｃｍ。３３（３－１７）由式（３－１７）可以看出，Wｐ越大，则最大切应力τｍａｘ越小，它是表示圆轴抵抗扭转破坏能力的四、极惯性矩和抗扭截面横量的计算上述公式只适用于最大切应力τｍａｘ不超过材料剪切比例极限的实心圆轴和空心圆轴。首先来计算圆形截面的极惯性矩Iｐ和抗扭截面模量Wｐ。在图３－３７所示的直径为d的圆截面中，在距圆心为ρ处，取厚为ｄρ的微分圆环，其面积ｄA＝２πρｄρ，从而可得圆截面的极惯性矩为Iｐ＝AρｄA＝２而其抗扭截面模量为∫∫d２０４πd≈０畅１dρ２πρｄρ＝３２２４（３－１８）（３－１９）用类似的方法可以计算出内径为d、外径为D的空心圆截面的极惯性矩Iｐ和抗扭截面模量Wｐ分别为４πD（１－α）Iｐ＝３２４３４３Iｐ３πd／３２πdWｐ＝＝＝≈０畅２dρｍａｘd／２１６图３－３７　圆截面极惯性矩的计算五、圆轴扭转时的强度条件４πDWｐ＝（１－α）１６（３－２０）（３－２１）为保证圆轴扭转时具有足够的强度而不破坏，必须限制轴的最大切应力不得超过材料的扭转许用切应力。对于等截面圆轴，其最大切应力发生在扭矩值最大的横截面（称为危险截面）的外缘处，故圆轴扭转的强度条件为｜Mｎ｜ｍａｘτ≤［τ］ｍａｘ＝Wｐ用拉应力［σ］有如下关系：塑性材料脆性材料扭转强度问题。［τ］＝（０畅５～０畅６）［σ］［τ］＝（０畅８～１畅０）［σ］（３－２２）式中，扭转许用切应力［τ］是根据扭转试验，并考虑安全系数确定的。在静载荷条件下，它与许与拉压强度问题相似，式（３－２２）可以解决强度校核、设计截面尺寸和确定许用载荷等三类【例3－9】　汽车传动轴由４５钢无缝钢管制成，外径D＝９０ｍｍ，壁厚t＝２畅５ｍｍ，［τ］＝解　１）校核空心轴的扭转强度　轴工作时横截面上的扭矩Mｎ均为１畅５×１０Ｎ·ｍ，轴的３６０ＭＰａ，其所承受的最大外力偶矩为１畅５ｋＮ·ｍ，试校核其强度。若在τｍａｘ不变的条件下改用实心轴，试确定圆轴的直径D，并计算空心轴与实心轴的重量比。内、外径之比α＝d／D＝８５／９０＝０畅９４４，根据式（３－１７）知，轴的最大切应力为·76·３Mｎ６１畅５×１０τ＝Ｐａ＝５０畅９×１０Ｐａｍａｘ＝３－９４Wｐπ×９０×１０（１－０畅９４４）１６所以轴的扭转强度足够。＝５０畅９ＭＰａ＜［τ］２）确定实心圆轴直径　根据实心轴与空心轴最大切应力相等的条件MｎMｎτ＝３＝５０畅９ＭＰａｍａｘ＝WｐπD１６３３得实心轴的直径为３截面积之比，所以有３）计算空心轴与实心轴重量之比　在两轴长度相等、材料相同的条件下，其重量比等于横A空A实２２π（９０－８５）４＝＝０畅３１２π×５３畅１４－３１６×１畅５×１０D＝５３畅１×１０ｍ＝５３畅１ｍｍ６＝６ｍ＝π×５０畅９×１０π×５０畅９×１０１６Mｎ计算结果表明，空心轴的重量只有实心轴的３１％，所以采用空心轴可以节省大量材料。力偶矩T。【例3－10】　一阶梯圆轴如图３－３８ａ所示，已知扭转许用切应力［τ］＝３００ＭＰａ，求许用外解　１）作阶梯轴的扭矩图　如图３－３８ｂ所示，AB段轴的扭矩比BC段轴的扭矩大，但其直径也比ＢＣ段的直径大，因而两段轴的强度都要考虑。根据式（３－２２）得２）确定许用外力偶矩T　考虑AB段的扭转强度，Mｎ１２T＝３≤［τ］τｍａｘ＝WｐπD１１６３３则有πD１T≤［τ］　　　　　　　　３２π×２２×１０＝３００×１０×３２６－９考虑BC段的扭转强度，根据式（３－２２）得Mｎ２Tτ＝３≤［τ］ｍａｘ＝WｐπD２１６则有３＝３１４Ｎ·ｍＮ·ｍ图３－３８　阶梯圆轴受力分析３－９πD２６π×１８×１０T≤［τ］＝３００×１０×Ｎ·ｍ＝３４４Ｎ·ｍ１６１６·77·要使轴不被扭坏，即AB段和BC段都不被扭坏，许用外力偶矩［T］＝３１４Ｎ·ｍ。六、固轴扭转时的变形和刚度计算如前所述，圆轴扭转时的变形是用扭转角来度量的。扭转角就是圆轴扭转时横截面绕轴线相对转过的角度矱。扭转角的计算公式为Mｎl矱＝ｒａｄGIｐ（３－２３）的距离（即该段圆轴的长度）成正比；与乘积GIｐ成反比。GIｐ越大，则扭转角矱越小；GIｐ越小，则矱越大。GIｐ的大小表示了圆轴抵抗扭转变形的能力，故称其为抗扭刚度。矱Mｎθ＝＝lGIｐ通常以下列表达式为其刚度条件Mｎｍａｘθｍａｘ＝≤［θ］GIｐ（３－２５）为了消除轴的长度对扭转角的影响，可采用单位长度内的扭转角θ来度量轴的扭转变形，即（３－２４）从上式可以看出，扭转角的大小与扭矩的大小及圆轴上产生该（相对）扭转角的两截面之间轴类零件工作时，除应满足强度条件外，经常还有刚度要求，即不允许有较大的扭转变形。式中：θｍａｘ———最大单位长度扭转角，ｒａｄ／ｍ；Mｎｍａｘ———圆轴上的最大扭矩，Ｎ·ｍ；［θ］———许用单位长度扭转角，习惯上以度／米［记为（°）／ｍ］为其单位，故在使用式（３－２５）时，要将θｍａｘ的单位换算成（°）／ｍ，则式（３－２５）将变为Mｎｍａｘ１８０θｍａｘ＝×≤［θ］GIｐπ（３－２６）＝１畅０～２畅５°／ｍ。精密机械的轴，［θ］＝０畅２５～０畅５°／ｍ；一般传动轴，［θ］＝０畅５～１畅０°／ｍ；精度较低的轴，［θ］G＝８０ＧＰａ，试校核轴的刚度。解【例3－11】　在例３－９中的传动轴，若已知许用单位长度扭转角［θ］＝２°／ｍ，剪切弹性模量３Mｎ１８０１畅５×１０１８０＝×°／ｍθ＝×９－３４４GIｐπ８０×π１０×０畅１×（９０×１０）×［１－（０畅９４４）］所以轴的刚度足够。＝０畅８０°／ｍ＜［θ］§３－５　弯　　曲一、平面弯曲的概念１畅弯曲的概念·78·构件的弯曲变形是工程上最常见的一种基本变形。例如桥式吊车的横梁（图３－３９ａ）、摇臂钻床的摇臂（图３－４０ａ）、火车的车轮轴（图３－４１ａ）等，均为弯曲变形的构件。这些构件受力的共同特点是：所受外力都是垂直于杆轴线的横向力，在这些力的作用下，轴线由直线变为曲线，这种变形称为弯曲。发生弯曲或以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。为了便于分析和计算，需将梁进行简化，即以梁的轴线表示梁；将作用在梁上的载荷简化为集中力F或集中力偶m或均布载荷q；梁的约束（支承情况）可简化为固定铰支座或活动铰支座或４０ｂ和图３－４１ｂ分别为吊车梁、摇臂和车轴的计算简图。固定端。通过简化得到的图形称为计算简图。图３－３９ｂ、图３－根据支承情况可将梁分为简支梁（梁的一端为固定铰支座，图３－３９　吊车梁的弯曲另一端为辊轴支座）、外伸梁（支座同简支梁，但梁的一端或两端伸出支座之外）、悬臂梁（梁的一端固定，另一端自由）。所以上述吊车梁为简支梁，摇臂为悬臂梁，而车轴为外伸梁。图３－４０　摇臂的弯曲图３－４１　车轴的弯曲　　２畅平面弯曲工程上大多数梁的横截面都有一个对称轴，如图３－４２所示。通过梁的轴线和截面对称轴的平面叫做纵向对称面。当梁上的横向外力均作用在纵向对称面内时，梁的轴线则在纵向对称面内弯曲成一条平面曲线（图３－４３），这种弯曲变形称为平面弯曲，这里所研究的将限于平面弯曲问题。图３－４２　梁的常见截面形状图３－４３　平面弯曲　　二、梁的内力、弯矩图１畅梁的内力———弯和剪力·79·如同研究拉压等基本变形一样，要导出弯曲变形时的强度和刚度条件，也需从用截面法研究梁横截面上的内力入手。首先用平衡方程式求出支座反力FA和FB，其次，在距支座A为x处取截面m—m，并将梁在的作用，一般来说FA≠F１，设FA＞F１，则外力有使左段梁向上移动和顺时针转动的趋势。为了保面内的逆时针转向的内力偶M。FＱ称为剪力，M称为弯矩。该处假想截开，然后任取一段，例如取左段梁为研究对象（图３－４４ｂ）。该段梁受到外力FA和F１图３－４４ａ所示的简支梁AB上作用有集中力F１和F２，现在来确定其横截面上的内力。持左段梁的平衡，在截面m—m上有一个与截面相切的向下的内力FＱ，和一个作用于纵向对称梁弯曲时横截面上的内力，一般包含剪力和弯矩这两个内力分量。虽然这两者都影响梁的l＞５，剪力的影响是很小的，一般h强度，但是对于跨度与横截面高度之比较大的非薄壁截面梁均略去不计。梁的弯矩可用静力平衡方程求得（以截面m—m的形心C为矩心）：故数和。若取截面m—m的右段梁为研究对象（图３－４４ｃ），并根据其平衡方程计算截面m—m上的弯矩，将得到与上述同样的计算结果。由于左、右两段梁在同一截面上是作用与反作用的关系，因此它们必然是大小相等，转向相反。为使从左、右段梁上求得同一截面内的弯矩具有相同的符号，故对弯矩的正、负号作如下规定：在所截的横截面的内侧取一微段，凡使该微段弯曲凹面向上的弯矩为正（图３－４５）；反之为负（图中未画出）。钞mC（F）＝０，M＋F１（x－a）－FAx＝０上式表明，截面上的弯矩在数值上等于所研究的一段梁上各外力对该截面形心力矩的代M＝FAx－F１（x－a）图３－４４　用截面法求梁的内力图３－４５　弯矩的符号规定解　１）求支反力　根据梁的平衡条件可得【例3－12】　求简支梁（图３－４６ａ）n—n截面的弯矩。２畅５２畅５FA＝F＝×１０ｋＮ＝６畅２５ｋＮ４４·80·平衡方程２）计算n—n截面上的弯矩　先取左段为研究对象（图３－４６ｂ）。设弯矩M的转向为正，由钞mC（F）＝０，M－FA×０畅８＝０M＝FA×０畅８＝５ｋＮ·ｍ１畅５１畅５FB＝F＝×１０ｋＮ＝３畅７５ｋＮ４４或者以右段为研究对象（图３－４６ｃ），设弯矩M的转向为正，由平衡方程图３－４６　简支梁受力分析钞mC（F）＝０，FB×３畅２－M－F×０畅７＝０M＝FB×３畅２－F×０畅７＝５ｋＮ·ｍ从以上计算可知，无论取左、右哪一段梁为研究对象，截面n—n上的弯矩均为＋５ｋＮ·ｍ，表示M的转向与原设的一致；同时可以看出，取截面左部分研究，计算简单。从例３－１２的解题过程可得如下结论：计算弯矩时，截面左侧梁上的外力对截面形心的力矩顺时针转向取正值，逆时针转向取负值；截面右侧梁上的外力对截面形心的力矩逆时针转向取正值，顺时针转向取负值。这样，在实际计算中就可以不必截取研究对象通过平衡方程去求弯矩了，而可以直接根据截面左侧或右侧梁上的外力来求横截面上的弯矩。２畅弯矩图梁横截面上的弯矩一般是随着截面位置而变化的。为了描述其变化规律，用坐标x表示横M＝M（x）这个函数表达式称为弯矩方程，其图线称为弯矩图。弯矩图可以清楚表示出弯矩随截面位置的变化规律。其绘制方法：以平行于梁轴线的坐标x表示横截面的位置，以垂直于梁轴线的坐标表示相应横截面上的弯矩，根据弯矩方程画出对应的函数图线。矩图。【例3－13】　图３－４７ａ所示简支梁AB，在梁的全长受均布载荷q的作用，试画出梁的弯１FA＝FB＝ql２截面沿梁轴线的位置，将梁各横截面上的弯矩表示为坐标x的函数，即解　１）求支反力　全梁受均布载荷作用，其合力为ql，作用在梁的中点，由此得反力FA和均布载荷q，支反力FA对截面形心之矩为FAx，顺时针转向，由它引起的弯矩为正值；均布载荷的合力qx，方向向下，作用在距该截面２）列弯矩方程　计算距左端（A为坐标原点）x处横截面弯矩。该截面左侧梁上的外力有支xx处，它对截面形心的力矩为qx，逆时针转向，由２２·81·图３－４７　简支梁受均布载荷作用时的弯矩图它引起的弯矩为负值，所以梁的弯矩方程为M（x）＝FAx－qx３）画弯矩图　由弯矩方程知弯矩图为二次抛物线，在x＝０和x＝l处（即梁的A、B端面上），M＝０，当x在０和l之间时，M为正值。为求M的最大值，可令１ql－qx＝０２即在梁的中点M值最大，其值为lx＝２l２ｄM＝０，即ｄx１１２x＝qlx－qx（０≤x≤l）２２２Mｍａｘ＝M再适当确定几点后选合适比例即可画出弯矩图（图３－４７ｂ）。梁的弯矩图。１＝ql８２【例3－14】　图３－４８ａ所示为一长度为l的简支梁，在C点处受集中力F的作用，试画该baFA＝F，FB＝Fll解　１）求梁的支反力F，故应将梁分为AC和CB两段，分段列弯矩方程，并分段画弯矩图。对于AC段，以A点为原点，并用x１表示横截面的bM１＝FAx１＝Fx１（０≤x１≤a）lx２表示横截面的位置，CB段的弯矩方程为（ａ）２）列弯矩方程　由于在截面C处作用有集中力位置，则弯矩方程为对于CB段，为计算方便，选B点为原点，用坐标图３－４８　简支梁受集中力作用时的弯矩图直线上两点即可确定这条直线。因x＝０处M＝０，x＝a处M＝Fab／l，故连接这两点就得到AC·82·３）画弯矩图　由式（ａ）可知，在AC段内弯矩M是x的一次函数，弯矩图为一斜直线，已知aM２＝FBx２＝Fx２（０≤x２≤b）l（ｂ）段内的弯矩图（图３－４８ｂ），同理，由式（ｂ）可作出CB段内的弯矩图（仍为斜直线）。由图可见，C截面上弯矩最大，其值为FabMｍａｘ＝l的弯矩图。【例3－15】　图３－４９ａ所示为一简支梁，在C点处受到矩为M０的集中力偶作用，试画该梁解　１）求支反力M０钞mB＝０，FA＝lM０钞mA＝０，FB＝l（ａ）力偶，应分别列出AC和CB两段上的弯矩方程，并均以A点为坐标原点，则有AC段CB段M０a）M＝x（０≤x＜lM０M＝x－M０（a≤x＜l）l（ｂ）图３－４９　简支梁受力偶作用时的弯矩图２）列弯矩方程　由于在截面C处作用有集中３）画弯矩图　根据上述弯矩方程作弯矩图（图３－４９ｂ）。若a＜b，则最大弯矩值为M０b｜M｜ｍａｘ＝l三、梁弯曲时的正应力在确定了弯曲梁横截面上的弯矩和剪力后，还应进一步研究其横截面上的应力分布规律，以便求得横截面上的应力。实验和理论均已证实，在一般弯曲梁的横截面上同时有正应力和切应力，其中正应力是强度计算的主要依据。因此，这里只介绍弯曲正应力的计算。（图３－５０ａ）。然后在梁两端施加一对力偶（力偶矩为M），使之产生弯曲变形。梁的变形如图取一矩形截面梁，在梁的侧面划上平行于轴线和垂直于轴线的直线，形成许多正方形的网格３－５０ｂ所示。从弯曲变形后的梁上可以看到：各纵向线弯曲成彼此平行的圆弧，内凹一侧的原纵向线缩短，而外凸一侧的原纵向线伸长。各横向线仍然为直线，只是相对转过了一个角度，但仍与纵向线垂直。由于变形的连续性，在伸长纤维和缩短纤维之间必然存在一层既不伸长也不缩短的纤维层，这一纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴（图３－５１）。横截面上位于中性轴两侧的各点分别承受拉应力和压应力，中性轴上各点的应力为零。经分析可证明，中性轴必然通过横截面的形心。由梁弯曲时的变形，可导出梁横截面上任一点（距中性轴的距离为y）的正应力的计算公式为Mσ＝yIz·83·图３－５０　梁弯曲时的变形图３－５１　中性层和中性轴式中：M———弯矩，Ｎ·ｍ；４４Iz———横截面对中性轴的轴惯性矩（ｍ或ｃｍ）。Iz＝AyｄA，它是一个仅与截面形状和尺２寸有关的几何量。∫上式表明：横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，在距中性轴等远处各点的正应力相等。正应力的分布如图３－５２所示。在中性轴（y＝０处）上各点的正应力为零，在中性轴的两侧，其各点的应力分别为拉应力和压应力。在离中性轴最远处（y＝yｍａｘ），产生最大正应力σｍａｘ。Myｍａｘσｍａｘ＝Iz（３－２７）图３－５２　弯曲时的正应力分布对于各种几何形状的截面，对中性轴的轴惯性矩计算公式如表３－１所示。式是采用与扭转中极惯性矩公式类似的推导方法得出，此处从略。常用的梁截面的轴惯性矩公表3－1　常用梁截面的形心位置、轴惯性矩和抗弯截面模量图　　形形心位置轴惯性矩bhIz＝１２３抗弯截面模量bhWz＝６２e＝h２hbIy＝１２３hbWy＝６２e＝d２πdIy＝Iz＝６４４πdWz＝３２３·84·续表图　　形形心位置轴惯性矩抗弯截面模量πD４Wz＝（１－α）３２３e＝D２π（D－d）Iz＝Iy＝６４４４α＝d／D　　四、梁弯曲时的强度计算险截面上离中性轴最远处。其计算式为等截面直梁弯曲时，弯矩绝对值最大的横截面是危险截面。全梁最大正应力σｍａｘ发生在危｜M｜ｍａｘyｍａｘσｍａｘ＝IzIzWz＝yｍａｘ（３－２８）（３－２９）式中，Iz和yｍａｘ都是只与截面形状和尺寸有关的几何量，令３３Wz称为抗弯截面模量，其值与横截面形状和尺寸有关，单位为ｍ或ｃｍ。常用截面图形的抗弯截面模量计算公式见表３－１。各种型钢的抗弯截面模量可从型钢表中查得。将式（３－２９）代入式（３－２８）得｜M｜ｍａｘσｍａｘ＝Wz（３－３０）（３－３１）为了保证梁安全工作，其最大工作应力σ］，即ｍａｘ，不得超过材料的弯曲许用应力［σ｜M｜ｍａｘσ≤［σ］ｍａｘ＝Wz许用弯曲应力［σ］的数值可从有关规范中查得。应该指出，式（３－３１）只适用抗拉和抗压强度相等的材料。对于像铸铁等脆性材料制成的梁，因材料的抗压强度远高于抗拉强度，其相应强度条件为σｍａｘ≤［σ＋］＋－式中，σｍａｘ、σｍａｘ分别为梁的最大弯曲拉应力和最大弯曲压应力。＋－σｍａｘ≤［σ－］（３－３２）应用强度条件，可以进行三方面的强度计算，即校核梁的强度、设计梁的截面尺寸和确定梁【例3－16】　图３－５３ａ所示的车轴，已知a＝３１０ｍｍ，l＝１４４０ｍｍ，F＝１５畅１５ｋＮ，［σ］＝解　由于梁所受载荷左、右对称，所以支座反力FA＝FB＝F＝１５畅１５ｋＮ作车轴的弯矩图如图３－５３ｃ所示，最大弯矩发生在CD段，其大小为Mｍａｘ＝４６９６畅５Ｎ·ｍ·85·的许用载荷。１００ＭＰａ，若车轴的横截面为圆环形，外径D＝１００ｍｍ，内径d＝８０ｍｍ，试校核车轴的强度。危险截面的抗弯截面模量为３４πDπ×０畅１（１－α）＝Wz＝３２３２则车轴的最大正应力为３８０１－１００４ｍ＝５８×１０３－６ｍ３所以车轴的强度足够。Mｍａｘ４６９６畅６５σ＝８１×１０Ｐａ＝８１ＭＰａ＜［σ］ｍａｘ＝－６Ｐａ＝Wz５８×１０图３－５３　车轴受力分析图３－５４　螺旋压板装置受力分析＝１４０ＭＰａ，试计算压板给工件的最大允许压紧力F。【例3－17】　如图３－５４ａ所示的螺旋压板装置，已知a＝５０ｍｍ，压板的许用弯曲应力［σ］解　将压板简化为外伸梁，受力如图３－５４ｂ所示。作压板的弯矩图如图３－５４ｃ所示。从弯矩图可知，最大弯矩发生在B截面上，其值为Mｍａｘ＝FaB截面的抗弯截面模量Wz为IzWz＝yｍａｘ３０×２０１４×２０－１２１２－３１０×１０３３×１０－１２ｍ＝１畅０７×１０３－６ｍ３根据压板的强度条件，由式（３－３１）可得故有Mｍａｘ≤［σ］WzFa≤［σ］Wz·86·６－６［σ］Wz１４０×１０×１畅０７×１０F≤＝Ｎ＝２９９６Ｎ－３a５０×１０压板给工件的最大压紧力不得超过２９９６Ｎ，其方向与F相反。五、梁的刚度概念梁在载荷作用下，除应满足强度条件以防止发生破坏外，还应满足刚度条件，即弹性变形不得超过一定的限度，以保证机器和结构物的正常工作。本章概述中以图３－１为例已作了必要的阐述。设梁AB在xAy平面内受载荷F作用发生弯曲变形（图３－５５），梁轴线则由原来的直线变成一条连续的平面曲线，此曲线称为梁的挠曲线。由图可见，梁的各横截面将在该平面内同时发生线位移和角位移。梁上任一横截面的形心在垂直于原来梁轴线方向的线位移，称为梁在该截面的挠度，以y表示；同时横截面绕其中性轴转过一个角度，称为该截面的转角，以θ表示。挠度y和转角θ是量度梁弯曲变形的两个基本量。梁的挠度和转角一般是随着横截面的位置而变化的。在工程上，根据工作要求，常对挠度和转角加以限制而进行梁的刚度计算，梁的刚度条件为yｍａｘ≤［y］θｍａｘ≤［θ］（３－３３）式中：yｍａｘ———梁的最大挠度值，ｍ；［y］———梁的许用挠度，ｍ；（３－３４）θｍａｘ———梁横截面的最大转角，ｒａｄ；图３－５５　挠度和转角许用挠度和许用转角的数值可由有关规范中查得。常［θ］———梁的横截面的许用转角，ｒａｄ。用的几种梁的最大挠度和最大转角的计算公式可由手册查得，这里不作介绍。§３－６　构件强度计算中的几个问题一、组合变形下强度计算的概念前面几节分别研究了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲等基本变形时的强度和刚度问题。而在工程实际中有许多构件在载荷作用下，常常同时产生两种或两种以上的基本变形，这种情况称为组合变形。如图３－５６所示的轴，在传动带的张力F和转矩的作用下，将产生弯曲和扭转的组合变形。构件在组合变形下的应力计算，在变形较小且材料服从胡克定律的条件下可用叠加原理，即构件在几个载荷同时作用下的效果，等于每个载荷单独作用时所产生效果的总和。这样，当构件处于组合变形时，只要将载荷进行适当的分解，分解成几组载荷，使每组载荷单独作用下只产生一种基本变形，分别计算各基本变形时所产生的应力，最后将同一截面上同一点的应力叠加，就得到组合变形时的应力。下面简要介绍常见的拉伸（压缩）和弯曲的组合变形，弯曲和扭转的组合变形时的强度问题。１畅拉伸（压缩）与弯曲组合变形的强度条件发生拉伸（压缩）与弯曲组合变形的杆件，当其横截面对称于中性轴，在危险截面上距中性·87·此处的正应力最大（拉、弯组合时为最大拉应力σｍａｘ；压、弯组合时为最大压应力σｍａｘ）。所以，拉＋－轴最远处，分别产生拉伸（压缩）的正应力σ＝FＮ／A和最大弯曲正应力｜M｜／Wz，根据叠加原理，＋N｜M｜σ＋≤［σ］ｍａｘ＝AWz伸（压缩）与弯曲组合变形的强度条件为－｜N｜｜M｜σ＋≤［σ］ｍａｘ＝AWz（３－３５）（３－３６）以上公式只适用许用拉应力和许用压应力相等的材料。拉伸和弯曲组合变形时按式（３－３５）进行强度计算；压缩和弯曲组合变形时按式（３－３６）进行强度计算。对于许用拉应力和许用压应力不相等的材料，需对杆内的最大拉应力和最大压应力分别进行强度计算。２畅扭转与弯曲组合变形时的强度计算图３－５６　弯曲和扭转组合变形实例图３－５６所示的轴是最常见的弯曲和扭转组合变形的构件，它是塑性材料制成的圆轴。变形时，危险截面上离中性轴最远处（圆的边缘处），分别产生最大扭转切应力τ和最大弯曲正应力σ，两种应力叠加但不能取代数和，它们对轴的强度影响，可以用一个应力来代替，这个应力称为相当应力，以σｖ表示。根据有关理论得出其强度条件为２２２２或二、交变应力的概念σσ＋４τ≤［σ］ｖ＝σσ＋３τ≤［σ］ｖ＝（３－３７）（３－３８）式（３－３７）、式（３－３８）只适用塑性材料，式中［σ］为材料的许用拉应力。工程中有许多构件长时间地受到周期性变化的载荷作用。例如内燃机连杆作往复运动时，作用在连杆上的载荷是拉力和压力多次循环的周期性变化，这种载荷称为交变载荷（属动载荷）。在交变载荷作用下，连杆截面上的应力也按一定周期变化，这种应力称为交变应力。又如火车车轮轴，虽然所受的载荷并不变化，但由于轴本身旋转，使得轴横截面上各点的弯曲正应力也为交变应力。实践表明，在交变应力下工作的构件，其破坏形式与静载荷作用下截然不同。在交变应力下，构件内的最大应力虽然低于材料的屈服极限，但经过长期工作以后，也会突然断裂。即使是塑性较好的材料，断裂前也没有明显的塑性变形。这种破坏形式，习惯上称为疲劳破坏。疲劳破坏的实质是：在长期交变应力作用下，构件内应力较高的点，或材料有缺陷的点，逐步形成细微裂纹，裂纹逐渐扩展，构件截面随之被削弱，直至不能承受所施加的载荷而突然断裂。由于在交变应力下，当构件内最大应力低于材料在静载荷作用下的强度指标，就可能发生疲劳破坏。因此，屈服强度和强度极限不能作为疲劳计算的依据。材料在交变应力作用下抵抗断裂的极限应力需要重新确定。１畅交变应力的类型和循环特征·88·下面先介绍交变应力的类型。交变应力的变化曲线。从图中可以看出，随着时间的变化，应力在一固定的最小值σｍｉｎ和最大值为了表示交变应力的变化规律，将应力随时间的变化规律画成曲线。图３－５７所示为某一σｍａｘ之间作周期性的交替变化。应力每重复变化一次和最大应力σｍａｘ之比，可用来表示交变应力的变化特点，称为交变应力的循环特征，以r表示，即σｍｉｎr＝σｍａｘ的过程称为一个应力循环。应力循环中最小应力σｍｉｎ到的车轴横截面上各点的弯曲正应力即为对称循环的交变应力（图３－５８ａ）。－１的交变应力称为对称循环交变应力。例如前面提１）对称循环的交变应力　当σσｍａｘ＝－ｍｉｎ，即r＝工程实际中常遇到的特殊交变应力有两种类型：图３－５７　交变应力的交变应力称为脉动循环交变应力。图３－５８ｂ所示为齿轮齿根处的弯曲正应力变化曲线，就属这类交变应力。２）脉动循环交变应力　当σ０、σ０（或σ０、σ０，此时r＝σσ０ｍｉｎ＝ｍａｘ＞ｍａｘ＝ｍｉｎ＜ｍａｘ／ｍｉｎ），即r＝图３－５８　对称循环、脉动循环交变应力除此之外，工程实际中也遇到一般非对称循环的交变应力（r≠－１）。构件在交变切应力下工作时，上述概念同样适用，只需将正应力σ换成切应力τ即可。上面所讨论的交变应力，其应力循环中的最大值和最小值均为一固定值，这类应力统称为稳定的交变应力。这里只涉及稳定交变应力问题。２畅疲劳极限为了确定材料抵抗疲劳破坏的极限应力，就需要对试件施加各种交变应力，进行拉伸（压缩）、弯曲和扭转等疲劳试验。试验证明，在交变应力下，试件要经过一定次数的应力循环，才会发生疲劳破坏，而且在同一循环特征下应力循环中的最大应力值越小，试件破坏前经历的循环次数越多。当应力循环中的最大应力值低于某一极限值时，试件经无穷多次应力循环也不破坏，这一极限值称为材料的疲劳材料在脉动循环下的疲劳极限。极限，以σr表示，其中下标r表示循环特性，例如σ－１表示材料在对称循环下的疲劳极限；σ０表示试验证明，变形形式不同，疲劳极限的数值也不一样，因此必须指明是在哪种变形条件下的疲劳极限，各种材料的疲劳极限可从有关手册查到。材料的疲劳极限都是根据标准用光滑小试件做试验后得到的。疲劳试验证明，除材质外，试件的外形、表面加工质量、尺寸及其他一些因素对其疲劳极限都有影响。为此，对实际构件也要考虑上述三个主要因素的影响，对材料的疲劳极限进行适当的修正，从而获得实际构件的疲劳极限，再考虑适当的安全系数，才可进行构件的疲劳强度计算。·89·复习思考题与习题3－1　试判别图示构件哪些属于轴向拉伸或轴向压缩。3－2　用截面法求图示各杆指定截面的内力。题３－１图3－3　用绳索吊运一重FＰ＝２０ｋＮ的重物。设绳索的横截面积A＝１２畅６ｃｍ，许用应力［σ］＝１０ＭＰａ，试问：２题３－２图钢质，许用应力［σ］＝１２０ＭＰａ，二杆的横截面积均为５ｃｍ，试求许可载荷F。若杆AB为钢质，杆AC为铸铁，如２3－4　如图ａ所示，杆AB为铸铁杆，其许用拉应力［σ＋］＝２５ＭＰａ，许用压应力［σ－］＝１００ＭＰａ。杆AC为3－5　试求图示圆截面钢杆的总伸长。已知d１＝４ｃｍ，d２＝２ｃｍ，钢的弹性模量E＝２００ＧＰａ。１）当α＝４５°时，绳索强度是否够用？２）如改为α＝６０°，再校核绳索的强度。题３－３图图ｂ所示，则许可载荷F又为多大？图ｂ的许可载荷是图ａ的几倍？试分析原因。·90·3－6　试指出图示各构件的剪切面和挤压面。题３－４图题３－５图安全。用应力［σ］＝１６０ＭＰａ，许用切应力［τ］＝１２０ＭＰａ，许用挤压应力［σ３４０ＭＰａ，F＝８０ｋＮ。试校核该接头是否ｊ］＝3－7　图示铆接钢板的宽度b＝８０ｍｍ，厚度t＝１０ｍｍ，铆钉的直径d＝１６ｍｍ，钢板和铆钉的材料相同。许题３－６图3－8　试求图示各轴指定横截面１—１、２—２、３—３上的扭矩，并表示出扭矩的转向。题３－７图径分别为dAB＝５ｃｍ，dBC＝７畅５ｃｍ，dCD＝５ｃｍ，试：１）画出该轴的扭矩图；２）求１—１、２—２、３—３截面上的最大切应力。3－10　图示实心圆轴的直径d＝１００ｍｍ，l＝７ｍ，两端受力偶作用，其力偶矩T＝１４ｋＮ·ｃｍ，材料的剪切弹性模量G＝８０ＧＰａ，试求：１）最大切应力τ；２）横截面上A、B、C三点处的切应力的大小ｍａｘ及两端面间的扭转角矱并标出其方向。１３０Ｎ·ｃｍ，TB＝３００Ｎ·ｃｍ、TC＝１００Ｎ·ｃｍ，TD＝７０Ｎ·ｃｍ；各段轴的直3－9　传动轴如图所示，已知TA＝题３－８图·91·题３－９图１００ｒ／ｍｉｎ，试选择实心圆轴直径d和空心圆轴的外径d１。已知空心轴内外径之比d２／d１＝０畅５，［τ］＝４０ＭＰａ。3－11　图示实心圆轴通过牙嵌离合器把功率传给空心圆轴。传递的功率P＝７畅５ｋＷ，轴的转速n＝题３－１０图3－12　一钢轴的转速n＝２４０ｒ／ｍｉｎ。传递功率P＝４５ｋＷ，已知［τ］＝４０ＭＰａ，［θ］＝１°／ｍ，G＝８０ＧＰａ，试按强度和刚度条件确定轴的直径d。3－13　求图示各梁指定截面上的弯矩M（各截面无限趋近集中载荷作用处或支座）。题３－１１图3－15　一矩形截面梁如图所示，试计算Ⅰ—Ⅰ截面上A、B、C、D各点的正应力，并指明是拉应力还是压应力。3－16　一根外径D＝２５ｍｍ，内径d＝２０ｍｍ，长l＝１ｍ的钢管作为简支梁。钢的许用应力［σ］＝２００ＭＰａ，不计自重，梁的中点受到F＝７００Ｎ作用，试校核钢管的强度。若改用与钢管自重相等的实习圆钢，则强度是否足够？3－14　试列图示各梁的弯矩方程，作弯矩图，并求出｜M｜ｍａｘ。题３－１３图·92·题３－１４图题３－１５图3－17　如图所示的空气泵的操作杆，右端受力为８畅５ｋＮ，Ⅰ—Ⅰ和Ⅱ—Ⅱ均为矩形截面，其高宽比均为h／b＝３，材料的许用应力［σ］＝５０ＭＰａ。试确定两截面的尺寸。题３－１６图题３－１７图·93·