2020-2021学年江西省南昌市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（共8小题）.
1．一元二次方程x2+x＝0的根是（ ）
A．1 B．0和1 C．﹣1 D．0和﹣1
2．下列图形中，只是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．方程x2+4x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不等的实数根 D．没有实数根
4．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x＝1，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．c＞0 B．b2﹣4ac＞0 C．2a+b＝0 D．a﹣b+c＞0
5．设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
6．对于二次函数y＝﹣x2+3，则下列说法，不正确的是（ ）
A．抛物线的开口向下
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．图象是轴对称图形
D．当x＝0时，y有最大值3
7．平行于x轴的直线与抛物线y＝a（x﹣1）2的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点坐标是（ ）
A．（3，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，1）
8．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边
AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）
B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
二、填空题（共6小题）.
9．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a﹣1的值是 ．
10．若△ABC的两边长分别为3和4，第三边的长是方程x2﹣6x+5＝0的根，则△ABC的周长是 ．
11．若抛物线y＝4x2向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 ．
12．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（﹣3，﹣3），则点A′的坐标是 ．
13．若抛物线y＝x2﹣2x﹣k与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 ．
14．在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y＝3x﹣1与y＝﹣x﹣3的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的坐标是 ．
三、解方程（共4小题，每小题6分，共24分）
15．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）x（x﹣1）+2（x+1）＝0．
16．已知y＝（k﹣1）x+4是二次函数，且函数图象有最低点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而增大．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最小整数值；
（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣1）（x2﹣1）的•值．
18．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
19．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为a．
（1）如图1，若a＝90°，求AA′的长；
（2）如图2，若a＝120°，求点O′的坐标．
20．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
21．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线
l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
五、探究题（共1小题，共10分）
22．已知在△ABC，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABC绕点A旋转，得到△
ABD′，连结D′E．
（1）如图1，当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，求证：DE＝D′E；
（2）如图2，DE＝D′E，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请你写出这个关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的结论下，当添加“∠BAC＝90°，DE＝△D′EC形状，并加以证明．
BD”条件时，判断
参考答案
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分.
1．一元二次方程x2+x＝0的根是（ ）
A．1 B．0和1 C．﹣1 D．0和﹣1
解：∵x2+x＝0，
∴x（x+1）＝0，
则x＝0或x+1＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣1，
故选：D．
2．下列图形中，只是中心对称图形而不是轴对称图形的是（ A． B． C． D．
）
解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
3．方程x2+4x﹣1＝0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．只有一个实数根
C．有两个不等的实数根 D．没有实数根
解：x2+4x﹣1＝0，
∵△＝42﹣4×（﹣1）＝20＞0，
∴方程有两个不等的实数根．
故选：C．
4．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为x＝1，则下列四个结论中错误的是（ ）
A．c＞0
B．b2﹣4ac＞0 C．2a+b＝0
D．a﹣b+c＞0
解：由图象与y轴交于负半轴，
∴c＜0，故A选项错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故选项B正确；
∵对称轴为x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故C选项正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，故C选项正确；
故选：A．
5．设a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值是（ ）
A．2021 B．2020 C．2019 D．2018
解：∵a，b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，
∴a2+a＝2020，a+b＝﹣1，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2020﹣1＝2019．
故选：C．
6．对于二次函数y＝﹣x2+3，则下列说法，不正确的是（ A．抛物线的开口向下
B．当x＜0时，y随x的增大而减小
C．图象是轴对称图形
D．当x＝0时，y有最大值3
解：∵二次函数y＝﹣x2+3，
∴抛物线的开口向下，故选项A正确；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项B不正确；
）
图象时轴对称图形，故选项C正确；
当x＝0时，y有最大值3，故选项D正确；
故选：B．
7．平行于x轴的直线与抛物线y＝a（x﹣1）2的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点坐标是（ ）
A．（3，2） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，1）
解：∵抛物线y＝a（x﹣1）2可知对称轴为直线x＝1，
∴点（﹣1，2）关于对称轴的对称点为（3，2），
∴平行于x轴的直线与抛物线y＝a（x﹣1）2的一个交点坐标为（﹣1，2），则另一个交点坐标是（3，2），
故选：A．
8．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边
AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）
B．（﹣2，0）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）
解：∵点D（5，3）在边AB上，
∴BC＝5，BD＝5﹣3＝2，
①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
9．若关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3＝0的一个根为x＝2，则代数式4b﹣8a﹣1的值是 5 ．
解：把x＝2代入，得
4a﹣2b+3＝0，
所以4a﹣2b＝﹣3，
所以4b﹣8a﹣1＝﹣2（4a﹣2b）﹣1＝﹣2×（﹣3）﹣1＝5．
故答案是：5．
10．若△ABC的两边长分别为3和4，第三边的长是方程x2﹣6x+5＝0的根，则△ABC的周长是 12 ．
解：∵x2﹣6x+5＝0，
∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣5＝0，
解得x＝1或x＝5，
当x＝1时，三角形三边为1、3、4，不能构成三角形；
当x＝5时，三角形三边为3、4、5，可以构成三角形，其周长为3+4+5＝12，
故答案为：12．
11．若抛物线y＝4x2向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是 y＝4x2﹣1 ．
解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝4x2向下平移1个单位长度，则所得的抛物线的解析式是：y＝4x2﹣1；
故答案为y＝4x2﹣1．
12．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为（﹣3，﹣3），则点A′的坐标是 （3，1） ．
解：把△ABC和△A′B′C向上平移1个单位，则平移后△ABC和△A′B′C关于原点中心对称，
此时A点的对应点的坐标为（﹣3，﹣2），
所以A′点的对应点的坐标为（3，2），
把点（3，2）向下平移1个单位得点（3，1），即点A′的坐标为（3，1）．
故答案为（3，1）．
13．若抛物线y＝x2﹣2x﹣k与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是 k＞﹣1 ．
解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣k与x轴有两个交点，
∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＞0．
整理得：4+4k＞0．
解得：k＞﹣1．
故答案为：k＞﹣1．
14．在同一直角坐标系中，点A、B分别是函数y＝3x﹣1与y＝﹣x﹣3的图象上的点，且点A、B关于原点对称，则点A的坐标是 （1，2） ．
解：设A点坐标为（a，b），
∵A、B关于原点对称，
∴B点坐标为（﹣a，﹣b），
由题意可得，解得，
∴A点坐标为（1，2），
故答案为：（1，2）．
三、解方程（共4小题，每小题6分，共24分）
15．解方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0；
（2）x（x﹣1）+2（x+1）＝0．
解：（1）∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣3，
∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，
则x＝＝＝2，
即x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）整理为一般式，得：x2+x+2＝0，
∵a＝1，b＝1，c＝2，
∴△＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴方程无实数根．
16．已知y＝（k﹣1）x+4是二次函数，且函数图象有最低点．
（1）求k的值；
（2）求顶点坐标和对称轴，并说明当x为何值时，y随x的增大而增大．
解：（1）∵y＝（k﹣1）x+4是二次函数，且函数图象有最低点，
∴，
解得k＝2，
即k的值是2；
（2）由（1）知，k＝2，
∴y＝x2+4，
∴该函数的对称轴是直线x＝0，当x＞0时，y随x的增大而增大．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的最小整数值；
（2）在（1）的条件下，若方程的实数根为x1，x2，求代数式（x1﹣1）（x2﹣1）的•值．
解：（1）∵方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16＞0，
解得：m＞2．
∴实数m的最小整数值是3；
（2）∵原方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝2（m+1），x1•x2＝m2+5．
∴（x1﹣1）（•x2﹣1）＝x1•x2﹣（x1+x2）+1＝m2+5﹣2（m+1）+1＝（m﹣1）2+3＝7．
18．如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上．请仅用无刻度直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A'B'C'；
（2）在图2中，作△ABC绕点A顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB'C'．
解：（1）如图1中，△A'B'C'即为所求．
（2）如图2中，△AB'C'即为所求．
四、解答题（共3小题，每小题8分，共24分）
19．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A、O旋转后的对应点为A′、O′，记旋转角为a．
（1）如图1，若a＝90°，求AA′的长；
（2）如图2，若a＝120°，求点O′的坐标．
解：（1）∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3．
在Rt△ABO中，由勾股定理得AB＝5．
根据题意，△A′BO′是△ABO绕点B逆时针旋转900得到的，
由旋转是性质可得：∠A′BA＝90°，A′B＝AB＝5，
∴AA′＝5．
（2）如图，根据题意，由旋转是性质可得：∠O′BO＝120°，O′B＝OB＝3
过点O′作O′C⊥y轴，垂足为C，
则∠O′CB＝90°．
在Rt△O′CB中，由∠O′BC＝60°，∠BO′C＝30°．
∴BC＝O′B＝．
由勾股定理O′C＝，
∴OC＝OB+BC＝．
∴点O′的坐标为（，）．
20．某网店销售一种儿童玩具，进价为每件30元，物价部门规定每件儿童玩具的销售利润不高于进价的60%．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系．当销售单价为35元时，每天的销售量为350件；当销售单价为40元时，每天的销售量为300件．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？
解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
根据题意得，，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+700；
（2）设利润为w元，
∵x≤30×（1+60%）＝48，
∴x≤48，
根据题意得，w＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）
2+4000，
∵a＝﹣10＜0，对称轴x＝50，
∴当x＝48时，w最大＝﹣10×（48﹣50）2+4000＝3960，
答：当销售单价为48时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润
是3960元．
21．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，直线
l是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；
（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】方法一：
解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y＝ax2+bx+c中，得：
，
解得：
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P；
∵点A、B关于直线l对称，
∴PA＝PB，
∴BC＝PC+PB＝PC+PA
设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），将B（3，0），C（0，3）代入上式，得：
，解得：
∴直线BC的函数关系式y＝﹣x+3；
当x＝1时，y＝2，即P的坐标（1，2）．
（3）抛物线的对称轴为：x＝﹣则：
＝1，设M（1，m），已知A（﹣1，0）、C（0，3），
MA2＝m2+4，MC2＝（3﹣m）2+1＝m2﹣6m+10，AC2＝10；
①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：
m2+4＝m2﹣6m+10，得：m＝1；
②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：
m2+4＝10，得：m＝±；
③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：
m2﹣6m+10＝10，得：m1＝0，m2＝6；
当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的M点，且坐标为 M（1，）（1，﹣）（1，1）（1，0）．
方法二：
（1）∵A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3），即y＝﹣x2+2x+3．
（2）连接BC，
∵l为对称轴，
∴PB＝PA，
∴C，B，P三点共线时，△PAC周长最小，把x＝1代入lBC：y＝﹣x+3，得P（1，2）．
（3）设M（1，t），A（﹣1，0），C（0，3），
∵△MAC为等腰三角形，
∴MA＝MC，MA＝AC，MC＝AC，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2，∴t＝1，
（1+1）2+（t﹣0）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t＝±，
（1﹣0）2+（t﹣3）2＝（﹣1﹣0）2+（0﹣3）2，∴t1＝6，t2＝0，
经检验，t＝6时，M、A、C三点共线，故舍去，
综上可知，符合条件的点有4个，M1（1，（1，0）．
），M2（1，﹣），M3（1，1），M4
追加第（4）问：若抛物线顶点为D，点Q为直线AC上一动点，当△DOQ的周长最小时，求点Q的坐标．
（4）作点O关于直线AC的对称点O交AC于H，
作HG⊥AO，垂足为G，
∴∠AHG+∠GHO＝90°，∠AHG+∠GAH＝90°，
∴∠GHO＝∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2＝GO•GA，
∵A（﹣1，0），C（0，3），
∴lAC：y＝3x+3，H（﹣，），
∵H为OO′的中点，
∴O′（﹣，），
∵D（1，4），
∴lO′D：y＝x+，lAC：y＝3x+3，
∴x＝﹣，y＝，
∴Q（﹣，）．
五、探究题（共1小题，共10分）
22．已知在△ABC，AB＝AC，D、E是BC边上的点，将△ABC绕点A旋转，得到△
ABD′，连结D′E．
（1）如图1，当∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，求证：DE＝D′E；
（2）如图2，DE＝D′E，∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？请你写出这个关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的结论下，当添加“∠BAC＝90°，DE＝△D′EC形状，并加以证明．
BD”条件时，判断
【解答】（1）证明：∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，
∴AD＝AD′，∠CAD′＝∠BAD，
∵∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，
∴∠D′AE＝∠CAD′+∠CAE，
＝∠BAD+∠CAE，
＝∠BAC﹣∠DAE，
＝120°﹣60°，
＝60°，
∴∠DAE＝∠D′AE，
在△ADE和△AD′E中，
，
∴△ADE≌△AD′E（SAS），
∴DE＝D′E；
（2）解：∠DAE＝∠BAC．
理由如下：在△ADE和△AD′E中，
，
∴△ADE≌△AD′E（SSS），
∴∠DAE＝∠D′AE，
∴∠BAD+∠CAE＝∠CAD′+∠CAE＝∠D′AE＝∠DAE，
∴∠DAE＝∠BAC；
（3）解：△D′EC是等腰直角三角形；
证明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝∠ACD′＝45°，
∴∠D′CE＝45°+45°＝90°，
由（2）知，DE＝D′E，
∵DE＝BD， BD，
∴D'E＝
∵△ABD绕点A旋转得到△ACD′，
∴BD＝CD'，
∴D'E＝CD'，
在Rt△D'EC中，cos∠CED'＝＝，
∴∠CED'＝45°，
∴∠CD'E＝90°﹣∠CED'＝45°＝∠CED'，
∴△D′EC是等腰直角三角形．
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