数列知识点归纳

《数列知识点归纳》

定义及有关概念数列的通项an=S1, 当n=1时Sn-Sn-1, 当n≥2时an-an-1=d(n≥2) an+1=an+d an=am+(n-m)dan=a1+(n-1)d 等差数列数列a+b等差中项：A=2Sn=n(a1+an)2Sn=na1+n(n-1)d2an+1=an q,(an,q≠0)an=q(n≥2)a n-1n-man=am·q 应用n-1an=a1·q (a1,q≠0)等比数列等比中项：G=± abSn=na1 (q=1)na1(1-q )a1-a qn (q≠1)=1-q1-q递推数列1. 数列的通

项公式：

注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一

1(1)n1n1anan|cos|22的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是，也可以是.

2．数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.

３.递推公式反映的是相邻两项（或n项）之间的关系.

练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：

426810(1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) 3, 15, 35, 63, 99, ……；

(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 12, －20, 30, －

1

42,……

３．等差数列：an－an1=d（ n≥2）

aman等差数列的通项公式：ana1(n1)d【或anam(nm)d】，d=mn

练习：-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

aba,A,b2成等差数列

４．等差中项：

A５．（性质）（１）在等差数列中，若m+n=p+q，则，

amanapaq

S1(n1)an与Sn的关系：anSnSn1(n2)（２）=

（３）若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成

*等差数列。

练习：（１）在等差数列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9？ （２）.在等差数列an中，已知a510，a1231，求首项a1与公差d？ （３）.在等差数列an中, 若 a56 a815 求a14？

2

６．等差数列的前n项和公式：

Snn(a1an)n(n1)dna122＝

７．等差数列前项和的最值问题： （１）得最值时n的值

Snd2dn(a1)n22，利用二次函数对称轴求

（２）利用an：当an>0，d<0，前n项和有最大值可由an≥0，且an1≤0，求得n的值 当an<0，d>0，前n项和有最小值可由an≤0，且an1≥0，求得n的值 练习：1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。

2．差数列{an}中, a4＝－15, 公差d＝3, 求数列{an}的前n项和Sn的最小值。

８．等比数列：

anan1=q（q≠0）

注意：（１）任一项an0且q0；（２）q= 1时，{an}为常数；既是等差又是等比数列的数列：非零常数列

９．等比数列的通项公式:

ana1qn1(a1q0)，

anamqm1(a1q0)

练习：（1） 一个等比数列的第

419项是9，公比是－3，求它的第

1项？

3

（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项？

１０. 等比中项：a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0）

2１１. 等比数列的性质：（１）若m+n=p+k，则amanapak

an（２）若an,bn是项数相同的等比数列，则anbn、{bn}也是等比数列

（３）若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成

*等比数列。

１２. 等比数列求和公式：当q=1时，Snna1 当q1时，

a1(1qn)Sn1q。

Sna1anq1q 或

１３. [等差数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列an，若an1and(常数)，则数列an是等差数列。 2．等差中项：对于数列an，若2an1anan2，则数列an是等差数列。

[等比数列的判定方法]

1． 定义法：对于数列an，若

an1q(q0)an，则数列an是等比数列。

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2．等比中项：对于数列an，若anan22an1，则数列an是等比数列。

１４. 对于等差、等比数列注意以下设法：

（１）三个数成等差数列，可设为a－d，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为a－3d，a－d，a+d，a+3d。

a（２）三个数成等比数列，可设为qa3积，可设为qa，q，a，aq；若四个符号相同的数成等比数列，知其

，aq，aq3。

１５.求an的方法：

（１）观察法 （２）公式法 （３）知Sn求an （４）累加，累乘法 （５）构造新数列法

练习：（１）已知数列{an}的前n项和Sn满足log2（Sn+1）=n+1，求数列{an}的通项公式.

（２）已知在正项数列{an}中，Sn表示前n项和且2

a12,an1an2nSn=an+1，求an.

（３）

，求an？

（４）

a11,an1n2ann，求an？

5

（５）a13,an12an3求an？

１６.求数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法等．

11an(2n1)()nanSn2n23n2，求Sn？ 练习：（１）已知，求？（２）已知

（３）已知

an1na（2n-1）（）n2n，求Sn？（４）已知n3，求Sn？

1提高部分：

１. 2004年春季上海，8）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n个图中有___________________个点.

２. 如下图，它满足：（1）第n行首尾两数均为n；（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n行（n≥2）第2个数是_______________.

３. 设an＝－n2＋10n＋11，则数列｛an｝从首项到第______________项的和最大.

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A.10 B.11 C.10或11 D.12

４. 数列{an}中，a1=8，a4=2，且满足an+2－2an+1+an=0（n∈N*）.

（1）求数列{an}的通项公式（2）设bn否存在最大的整数m，使得任意的n均有请说明理由.

1=n(12an)（n∈N*），Sn=b1+b2+…+bn，是

mSn＞32总成立？若存在，求出

m；若不存在，

５. 有一个细胞集合，在一小时里死亡两个，剩下的细胞每一个都分裂成两个，假设开始有10个细胞，问经过几个小时后，细胞的个数为1540个？

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