陆良县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物线于A，B两点，若|AB|=10，则AB的中点到y轴的距离等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2． 已知命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为（ ）
A．∃x≤0，lnx≥x B．∀x＞0，lnx≥x C．∃x≤0，lnx＜x D．∀x＞0，lnx＜x
3． 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ）
A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．0.7
4． 在某次测量中得到的A样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．若B样本数据恰好是A样本数据都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A．众数 B．平均数
C．中位数
D．标准差
+
取得最小值时，实数a的值是（ ）
5． 设a，b∈R且a+b=3，b＞0，则当A．
B．
C．
或 D．3
6． △ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线 A． 7． 方程x=A．双曲线 C．双曲线的一部分
B．
C．
上，则=（ ）
D．±
所表示的曲线是（ ） B．椭圆
D．椭圆的一部分
x
y8． 已知x,y,z均为正实数，且2log2x，2log2y，2zlog2z，则（ ）
A．xyz B．zxy C．zyz D．yxz 9． 函数y=f′（x）是函数y=f（x）的导函数，且函数y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线为l：y=g（x）=f′（x0）（x﹣x0）+f（x0），F（x）=f（x）﹣g（x），如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象如图所示，且a＜x0＜b，那么（ ）
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A．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极大值点 B．F′（x0）=0，x=x0是F（x）的极小值点 C．F′（x0）≠0，x=x0不是F（x）极值点 D．F′（x0）≠0，x=x0是F（x）极值点
10．若偶函数y=f（x），x∈R，满足f（x+2）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，则方程f（x）=log8|x|在[﹣10，10]内的根的个数为（ ） A．12
B．10
C．9
D．8
11．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n=mn．则在此定义下，集合M={（a，b）|a※b=12，a∈N*，b∈N*}中的元素个数是（ ） A．10个 B．15个 C．16个 D．18个
12．若函数f（x）=kax﹣a﹣x，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，又是增函数，则g（x）=loga（x+k）的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．B={x|﹣2＜x＜4}， ∩B=∅，设集合A={x|x+m≥0}，全集U=R，且（∁UA）求实数m的取值范围为 ．14．记等比数列{an}的前n项积为Πn，若a4•a5=2，则Π8= ．
15．一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为2cm和4cm,侧棱长为2cm,
则其
表面积为__________cm2.
16．已知关于 的不等式
在
上恒成立，则实数的取值范围是__________
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17．一个总体分为A，B，C三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B层中每个个体被抽到的概率都为
18．已知椭圆且θ∈[
，
+
=1F为其左焦点，（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，若AF⊥BF，设∠ABF=θ，
，则总体的个数为 ．
]，则该椭圆离心率e的取值范围为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
设0，，满足6sin2cos3．
3（1）求cos的值；
6（2）求cos2的值．
12 20．已知
（Ⅰ）讨论a=1时，函数f（x）的单调性、极值； （Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．
，其中e是自然常数，a∈R
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21．实数m取什么数值时，复数z=m+1+（m﹣1）i分别是： （1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
22．已知函数f（x）=x2﹣（2a+1）x+alnx，a∈R （1）当a=1，求f（x）的单调区间；（4分）
（2）a＞1时，求f（x）在区间[1，e]上的最小值；（5分） （3）g（x）=（1﹣a）x，若
23．2015年9月3日，抗战胜利70周年纪念活动在北京隆重举行，受到全国人民的瞩目．纪念活动包括举行纪念大会、阅兵式、招待会和文艺晚会等，据统计，抗战老兵由于身体原因，参加纪念大会、阅兵式、招待会这三个环节（可参加多个，也可都不参加）的情况及其概率如表所示：
0 1 2 参加纪念活动的环节数 概率 3 使得f（x0）≥g（x0）成立，求a的范围.
（Ⅰ）若从抗战老兵中随机抽取2人进行座谈，求这2人参加纪念活动的环节数不同的概率； （Ⅱ）某医疗部门决定从这些抗战老兵中（其中参加纪念活动的环节数为3的抗战老兵数大于等于3）随机抽取3名进行体检，设随机抽取的这3名抗战老兵中参加三个环节的有ξ名，求ξ的分布列和数学期望．
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24．已知△ABC的顶点A（3，2），∠C的平分线CD所在直线方程为y﹣1=0，AC边上的高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0．
（1）求顶点C的坐标； （2）求△ABC的面积．
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陆良县实验中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
2
【解析】解：抛物线y=4x焦点（1，0），准线为 l：x=﹣1，
设AB的中点为E，过 A、E、B分别作准线的垂线， 垂足分别为 C、G、D，EF交纵轴于点H，如图所示： 则由EG为直角梯形的中位线知， EG=
=
=
=5，
∴EH=EG﹣1=4， 故选D．
则AB的中点到y轴的距离等于4．
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想．
2． 【答案】B
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为∀x＞0，lnx≥x．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
3． 【答案】C
【解析】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球， 在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的
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摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28， ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件， ∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3， 故选C．
【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．
4． 【答案】D
【解析】解：A样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88． B样本数据84，86，86，88，88，88，90，90，90，90 众数分别为88，90，不相等，A错． 平均数86，88不相等，B错． 中位数分别为86，88，不相等，C错 A样本方差S2=B样本方差S2=故选D．
【点评】本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题．
5． 【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b＞0， ∴b=3﹣a＞0，∴a＜3，且a≠0． ①当0＜a＜3时，f′（a）=当减． ∴当a=时，②当a＜0时，f′（a）=
﹣
+ +
取得最小值． =﹣（=﹣
）=﹣（
+，
）=f（a），
+
+
==
=
+
=f（a），
，
时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调递
[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2， [（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，D正确
时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当
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当递减．
时，f′（a）＞0，此时函数f（a）单调递增；当时，f′（a）＜0，此时函数f（a）单调
∴当a=﹣时，综上可得：当a=故选：C．
+取得最小值．
+
取得最小值．
或时，
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
6． 【答案】D
上，
【解析】解：△ABC中，A（﹣5，0），B（5，0），点C在双曲线∴A与B为双曲线的两焦点，
根据双曲线的定义得：|AC﹣BC|=2a=8，|AB|=2c=10， 则故选：D．
=
=±
=±．
【点评】本题考查了正弦定理的应用问题，也考查了双曲线的定义与简单性质的应用问题，是基础题目．
7． 【答案】C 【解析】解：x=故选C．
22
两边平方，可变为3y﹣x=1（x≥0），
表示的曲线为双曲线的一部分；
【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．
8． 【答案】A 【解析】
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考
点：对数函数，指数函数性质．
9． 【答案】 B
【解析】解：∵F（x）=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣f′（x0）（x﹣x0）﹣f（x0）， ∴F'（x）=f'（x）﹣f′（x0） ∴F'（x0）=0， 又由a＜x0＜b，得出
当a＜x＜x0时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＜0， 当x0＜x＜b时，f'（x）＜f′（x0），F'（x）＞0， ∴x=x0是F（x）的极小值点 故选B．
【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系，即当函数取到极值时导函数一定等于0，反之当导函数等于0时还要判断原函数的单调性才能确定是否有极值．
10．【答案】D
【解析】解：∵函数y=f（x）为 偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x）， ∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x）， ∴偶函数y=f（x） 为周期为4的函数， 由x∈[0，2]时，
f（x）=1﹣x，可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，
同时作出函数f（x）=log8|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求． 数形结合可得交点个为8， 故选：D．
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11．【答案】B
【解析】解：a※b=12，a、b∈N，
*
若a和b一奇一偶，则ab=12，满足此条件的有1×12=3×4，故点（a，b）有4个；
若a和b同奇偶，则a+b=12，满足此条件的有1+11=2+10=3+9=4+8=5+7=6+6共6组，故点（a，b）有2×6﹣1=11个，
所以满足条件的个数为4+11=15个．
故选B
12．【答案】C
xx
【解析】解：∵函数f（x）=ka﹣a﹣，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是奇函数 则f（﹣x）+f（x）=0
xx
即（k﹣1）（a﹣a﹣）=0
则k=1
xx
又∵函数f（x）=ka﹣a﹣，（a＞0，a≠1）在（﹣∞，+∞）上是增函数
则a＞1
则g（x）=loga（x+k）=loga（x+1） 函数图象必过原点，且为增函数 故选C
【点评】若函数在其定义域为为奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0，若函数在其定义域为为偶函数，则f（﹣x）﹣f（x）=0，这是函数奇偶性定义的变形使用，另外函数单调性的性质，在公共单调区间上：增函数﹣减函数=增函数也是解决本题的关键．
二、填空题
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13．【答案】 m≥2 ．
【解析】解：集合A={x|x+m≥0}={x|x≥﹣m}，全集U=R，所以CUA={x|x＜﹣m}， 又B={x|﹣2＜x＜4}，且（∁UA）∩B=∅，所以有﹣m≤﹣2，所以m≥2． 故答案为m≥2．
14．【答案】 16 ．
【解析】解：∵等比数列{an}的前n项积为Πn，
44
∴Π8=a1•a2a3•a4•a5a6•a7•a8=（a4•a5）=2=16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查等比数列的计算，利用等比数列的性质是解决本题的关键．
15．【答案】12320 【解析】
考
点：棱台的表面积的求解. 16．【答案】【解析】
因为在上恒成立，所以
答案：
17．【答案】 300 ．
，解得
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【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等， 所以总体中的个体的个数为15÷故答案为：300．
【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．
18．【答案】 [
，
﹣1] ．
）；
=300．
【解析】解：设点A（acosα，bsinα），则B（﹣acosα，﹣bsinα）（0≤α≤F（﹣c，0）； ∵AF⊥BF， ∴
=0，
， =2c，
=
，
]， ]，
≤≤， ，
，
即（﹣c﹣acosα，﹣bsinα）（﹣c+acosα，bsinα）=0，
22222
故c﹣acosα﹣bsinα=0，
cos2α=故cosα=而|AF|=|AB|=而sinθ==∵θ∈[
=2﹣，
，
∴sinθ∈[，∴≤∴≤+
∴，
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即，
解得，≤e≤﹣1； ，
﹣1]．
故答案为：[
【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系的应用及平面向量的应用，同时考查了三角函数的应用．
三、解答题
19．【答案】（1）【解析】
30210；（2）．
846试题分析：（1）由6sin2cos3 sin，又0，，
36626410151；（2）由（1）可得cos22cos21sin2 cos3646434cos2302cos2cos2cossin2sin． 8123434346试题解析：（1）∵6sin2cos3，∴sin，………………………………3分
6410∵0，，∴，，∴cos．………………………………6分
366264101（2）由（1）可得cos22cos212．………………………………8分 1364415，∴sin2∵0，，∴2，．……………………………………10分
333342∴cos2cos2cos2cossin2sin
12343434302．………………………………………………………………………………12分 8考点：三角恒等变换． 20．【答案】
【解析】解：（1）a=1时，因为f（x）=x﹣lnx，f′（x）=1﹣， ∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
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当1＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增． 所以函数f（x）的极小值为f（1）=1．
（2）因为函数f（x）的极小值为1，即函数f（x）在（0，e]上的最小值为1． 又g′（x）=
，所以当0＜x＜e时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增．
所以g（x）的最大值为g（e）=， 所以f（x）min﹣g（x）max＞，
所以在（1）的条件下，f（x）＞g（x）+．
【点评】本题主要考查利用函数的单调性研究函数的单调性问题，考查函数的极值问题，本题属于中档题．．
21．【答案】
【解析】解：（1）当m﹣1=0，即m=1时，复数z是实数； （2）当m﹣1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
（3）当m+1=0，且m﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数． 【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．
22．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞）， ∴
…（2分）
，解得x=1或x=，x∈
（，1），
函数是减函数．…（4分） （2）∴当1＜a＜e时，
，∴
，
，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈
∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）
当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数， ∴
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综上
（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在∵当
时，lnx≤0＜x，
上有解，
…（9分） 上有解
当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0， ∴令∵
，∴x+2＞2≥2lnx∴在区间
上有解．
…（10分）
时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，
x∈（1，e]，h（x）是增函数， ∴∴
时，
…（14分）
， ，∴
∴a的取值范围为23．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同”为事件M， 则“这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数相同”为事件， 根据题意可知P（）=由对立事件的概率计算公式可得
故这2名抗战老兵参加纪念活动的环节数不同的概率为
， ．
=
，
（Ⅱ）根据题意可知随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
，
P（ξ=1）=P（ξ=2）=
=
， =
，
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P（ξ=4）=（）3=
，
1 2 ．
3 则随机变量ξ的分布列为：
0 ξ P 则数学期望
题，注意排列组合知识的合理运用．
24．【答案】
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审
=﹣2．
【解析】解：（1）由高BH所在直线方程为4x+2y﹣9=0，∴∵直线AC⊥BH，∴kACkBH=﹣1． ∴
，
，
， ，即
． ． ，
．
直线AC的方程为联立
∴点C的坐标C（1，1）． （2）
∴直线BC的方程为联立
，
点B到直线AC：x﹣2y+1=0的距离为又∴
【点评】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、角平分线的性质、点到直线的距离公式、两点间的距离公式、三角形的面积计算公式，属于基础题．
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