高中数学题型全面归纳 对数与对数函数

考纲解读

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.

2.理解对数函数的概念和单调性，掌握对数函数的图像经过的特殊点. 3.认识到对数函数是一类重要的函数模型.

4.了解指数函数yax与对数函数ylogax互为反函数(a0且a1).

命题趋势研究

对数与对数函数是高中数学重要的内容之一，也是高考必考的知识点.试题的命制常以对数函数为载体考查函数的图像和性质、研究问题方法以及数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化的数学思想，同时也考查了考生分析与解决问题的能力，是高考考查的重点与难点，可以出现在各种题型中. 知识点精讲 一、对数概念

axN(N0)nlogaN(a0且a1)，叫做以a为底N的对数.

注：①N0，负数和零没有对数；

②loga10,logaa1； ③lgNlog10N,lnNlogeN. 二、对数的运算性质

(1)loga(MN)logaMlogaN(M,NR);M(2)logalogaMlogaN(M,NR);N(3)logaMnnlogaM(MR);(4)logab

logcb(a0且a1,b0,c0且c1)（换底公式）logca1 (a,b0且a1,b1)；logba特殊地logab(5)logambn(6)alogaNnlogab(a,b0,m0,a1,nR)；m N(N0,a0且a1)；(6)logaaNN(NR,a0且a1).化常数为指数、对数值常用这两个恒等式.

三、对数函数

（1）一般地，形如ylogax(a0且a1)的函数叫对数函数.

（2）对数函数ylogax(a0且a1)的图像和性质，如表2-7所示.

ylogax 图像 a1 a1 性质 （1）定义域：(0,) （2）值域：R （3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)上是增函数 （1）定义域：(0,) （2）值域：R （3）图像过定点：(1,0) （4）在(0,)上是减函数 题型归纳及思路提示 题型26 对数运算及对数方程、对数不等式 思路提示

对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注意对数的真数为正. 一、对数运算

例2.562log510log50.25（ ）

A.0

B.1

C.2

D.4

变式1 已知x,y为正实数，则（ ）

A.2lgxlgy2lgx2lgyB.2lg(xy)2lgx2lgy C.2lgxlgy2lgx2lgyD.2lg(xy)2lgx2lgy

变式2 (lg2)2lg4lg5(lg5)2 ________..

2变式3 lg52lg8lg5lg20(lg2)2 ________.. 3

例2.57log2781log48________. .

变式1 log2(642642) ________..

lg30lg0.5 ________.. 例2.58 5()13

二、对数方程

例2.59解下列方程：

11(1)(lgxlg3)lg5lg(x10);22 (2)logx21(2x23x1)1.

变式1 函数f(x)lo2gx(4 1)ax.（1）若函数f(x)是R上的偶函数，求实数a的值； （2）若a4，求函数f(x)的零点.

三、对数不等式

2xx例2.60设0a1，函数f(x)logaa2a2，则使f(x)0的x的取值范围是（）

A.(,0)B.(0,)

C.(,loga3)D.(loga3,)

变式1 已知函数f(x)为R上的偶函数，且在0,上为增函数，f0，则不等

1式flog1x0的解集为

. 3

例2.61设alog254,b(log53),clog45,则（ ）A.acbB.bca C.abcD.bac

变式1 设alge,b(lge2)c,lg，则（e ） A.abcC.cab B.acb

D.cba

log30.3变式2 设a5log23.4,b5log43.6,c15，则（ A.abc B.bac C.acb

D.cab

3）

变式4 已知xln,yloz,e，则（） 5g212A.xyz C.zyx

B.zxy D.yzx

题型27 对数函数的图像与性质

思路提示研究和讨论题中所涉及的函数图像与性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像与性质问题是数和形结合的护体解释.它为研究函数问题提供了思维方向. 一、对数函数的图像

例2.62如图2-15所示，曲线C1,C2,C3,C4是底数分别为a,b,c,d的对数函数的图像，则曲线C1,C2,C3,C4对应的底数a,b,c,d的取值依次为（）

11A.3,2,,32 11C.2,3,,23

11B.2,3,,

3211D.3,2,,

23

评注对数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系如图2-16所示，则

0cd1ab.ylogax(a0且a1)在第一象限的图像，a越大，图像越靠近x轴；a越小，图像越靠近y轴. 变式1 若函数f(x)xa(a且0a是1定义域为R的增函数，则函数

f(x)laogx(的图像大致是（ ）

11变式2 设a,b,c均为正数，且2log1a,log1b,log2c，则（）

2222abcA.abcB.cba

C.cabD.bac

例2.63函数yloga(x1)2的图像必过定点.

变式1 函数ylog. (2)x2的图像过定点1ax

二、对数函数的性质（单调性、最值（值域））

例2.64 设a1，函数f(x)logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为（ ）

变式1 若函数f(x)logax(0a1)在区间a,2a上的最大值是最小值的3倍，则a等于（ ）

1，则a2A.

24

B.22

C.

14

1D. 2例2.65设2(log1x)7log1x30,求f(x)log2222xlog22x的最大值和最小值. 4

变式1 已知f(x)2lo(3gxx小值.

g(x)，求函数9)1,f(x)22f(x的最大值与最)log2x(x0)例2.66若函数f(x)log(x)(x0)，且f(a)f(a)则实数a的取值范围是.

12

变式1 已知函数f(x)lgx，若0ab，且f(a)f(b，则)a2b的取值范围是（ ）

A.(22,)B.32,

C.(3,)D.3,

变式2 定义区间x1,x2(x1x2)的长度为x2x1，已知函数f(x)log1x的定义域为

2a,b，值域为0,2，则区间a,b的长度的最大值与最小值的差为 .

题型28 对数函数中的恒成立问题 思路提示

（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；

（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.

12xa4x例2.67 已知函数f(x)lg，若x,1时有意义，求a得取值范围.

3

评注为了求a的取值范围，把a进行了分离，若g(x)存在最大值，则g(x)a恒成立等价于g(x)maxa；若g(x)不存在最大值，设其值域为g(x)m,n，则g(x)a恒成立等价于an.

变式1 当x(1,2时，不等式)x1loagx恒成立，则a的取值范围是（）

21A.(0,1)B.(1,2)C.1,2D.0,

2

变式2 函数f(x)loagx(当点P(x,y)是函数yf(x)图像上的a3)a(且0a，

点时，点Q(x2a,y是函数)yg(x)图像上的点. （1）写出函数yg(x)的解析式；

（2）当aa2,a3时，恒有f(x)g(x)1，试确定a的取值范围.

最有效训练题9（限时45分钟）

11.设alog12,blog13,c，则（ ）

222A.abc

B.acb

C.bca

D.bac

0.2log2(x1)(x2)2.设函数f(x)1x，若f(x0)1，则x0的取值范围是（ ）

1(x2)2A.(,0)(2,)

B.(0,2)

C.(,1)(3,)

D.(1,3)

3.设定义在区间(b,b)上的函数f(x)lg范围是（ ）

1ax是奇函数(a,bR且a2)，则ab的取值12xA.1,2



B.0,2

C.(1,2)

D.(0,2)

4.已知yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(0,2)

xD.(2,)

5.已知lgalgb0，则函数f(x)a与函数g(x)logbx的图像可能是（ ）

6.已知函数f(x)是R上的偶函数，且f(1x)f(1x)，当x0,1时，f(x)x，则函数yf(x)log5x的零点个数是（ ）

2A.3

B.4

C.5

D.6

7.设函数f(x)ln(x1)，若1ab且f(a)f(b)，则ab的取值范围是________. 8.已知lgxlgy2lg(2x3y)，则log2y________. x39.若函数yloga(x2ax1)在1,2上为增函数，则实数a的取值范围是________.. 10.已知函数f(x)log2x，正实数m,n满足mn，且f(m)f(n)，若f(x)在区间

2m,n上的最大值为2，则mn________.



11.设f(x)log1（1）求a的值；

（2）证明：f(x)在区间(1,)内单调递增；

1ax为奇函数，a为常数.

2x11（3）若对于区间3,4上的每一个x值，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取

x2值范围.

12.已知集合P12,2，函数ylog22(ax2x2)的定义域为Q.

（1）若PQ，求实数a的取值范围；

（2）若方程log2(ax22x2)2在P内有解，求实数a的取值范围.