高中数学最值问题

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最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。

回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。特别是2003年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。

由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。

可以预见：2005年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。 二、考点回顾:

分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种： 1、函数的最值；

2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等； 3、字母的取值范围；

4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如： f(x)≥0对x∈R恒成立 f(x)的最小值≥0成立， f(x)≤0对x∈R恒成立f(x)的最大值≤0成立； 5、实际应用问题：

实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。这类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。 三、知识概要

1、求函数最值的方法： “数”和“形”，数形结合： 配方法 直接法 均值不等式法 单调性 代数方法 导数法 判别式法 间接法 有界性 函数的图像 平面几何知识

几何方法 线性规划 解析几何 斜率 两点间距离 2、求几类重要函数的最值方法；

（1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）f(x)xa(a0,aR):均值不等式法和单调性加以选择； x（3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型： 能直接判断

线性规划

建立目标函数

曲函数的最值

四、典型例题分析 函数的最值 例1(2002·全国卷·理·21) 设a为实数，f(x)x2xa1(xR)，

（1）讨论f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的最小值。

【考查目的】

本题主要考查函数的概念，函数的概念，函数的奇偶性和分段函数的最值等基础知识，考查分类讨论的思路和逻辑思维能力。 【例题详解】

(1)解法一：常规思路：利用定义。

f(x)x2＋xa1，

若f(x)为奇函数，则f(x)f(x),即2x2＋xaxa20.此等式对xR 都不成立，故f(x)不是奇函数；

若f(x)为偶函数，则f(x)f(x)，即x2＋xa1x2xa1,此等式对xR恒成立，只能是a0.

故a0时，f(x)为偶数；解法二：从特殊考虑：

又xR，故f(x)不可能是奇函数。

若a0，则f(x)f(x)x2x1，f(x)为偶函数； 若

a0时，f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

a0，则f(a)a21,f(a)a22a1，知f(a)f(a)，故f(x)在

a0时，既不是奇函数又不是偶函数。

13（2）当xa时，f(x)x2xa1(x)2a，由二次函数图象及

24其性质知：

若a1，函数f(x)在(,a]上单调递减，从而函数f(x)在(,a]上的最2小值为f(a)a21；

1131，函数f(x)在(,a]上的最小值为f()，且f()f(a)。 224213当xa时，函数f(x)x2xa1(x)2a。

24113若a，函数f(x)在[a,)上的最小值为f()a，且

2241f()f(a)；

2若a1若a，函数f(x)在[a,)上单调递增，从而函数函数f(x)在[a,)上

2的最小值为f(a)a21。

1311综上所述，当a时，函数f(x)的最小值是a；当a时，函

242213数f(x)的最小值为a21；当a时，函数f(x)的最小值是a。

24【特别提示】

1．研究函数奇偶性的关键是考察函数的定义域是否关于原点对称以及 f(x)与f(x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证。

2．二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，考察图像的对称轴

与所给定义域区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论。

3．本题根据绝对值的定义去绝对值后，变形为分段函数，分段函数的最

值，有些同学概念不清，把每段函数的最小值都认为是整个函数的最小值，从而出现了一个函数有几个最小值的错误结论。

x22xa例2、已知函数f(x),x[1,).

x（1）当a1时，求函数f(x)的最小值； 2（2）若对任意x[1,),f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围。 【考察目的】

本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想。 【例题详解】

（1）当a111时，f(x)x2,f'(x)12。 22xzx x1，  f(x)0。

 f(x)在区间[1,)上为增函数。  f(x)在区间[1,)上的最小值为f(1)7。 2x22xa0在区间[1,)上恒成立； （2）f(x)x x22xa0在区间[1,)上恒成立；  x22xa在区间[1,)上恒成立；  函数yx22x在区间[1,)上的最小值为3

即 a3 【特别提示】

1．第（1）题中，f(x)x12,这类函数，若x0，则优先考虑用均2x值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，即用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。

2．不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。

例3、设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x4y100的距离的最小值为＿＿＿＿。 【考查目的】

本题考查直线和圆的基础知识，解几中的最值问题及多元函数的最值问题，考查数形结合这一重要数学思想方法。 【例题详解】

解法一：设点P(x0,y0)，则点P到直线3x4y100的距离为：

22又x0y01，令x0cos,y0sin(R)，则

＝

5cos()1054(tan)

3 ＝cos()2

当cos()1时，d有最小值1。

解法二：圆心O到直线3x4y100的距离为2，故圆上的点P到直线

3x4y100的距离的最小值为2－1＝1。

【特别提示】

1．本题是解析几何中的最值问题，可借助于形的直观性直接求解，如解法二；也可建立目标函数，转而求函数的最值，如解法一。

2．解法一涉及到求多元函数的最值，一般是通过消元转化为一元函数。3．函数dcos()2的最小值，有很多同学误以为：当cos()取 最小值－1时，函数有最小值，忽视了绝对值。

例4、设曲线yex(x0)在点M(t,et)处的切线l与x轴，y轴所围成的三角形面积为S(t)。

（1）求切线l的方程； （2）求S(t)的最大值。 【考查目的】

本题考查导数公式，导数的几何意义，以及导数的应用等导数的基础知识，考查综合应用能力。 【例题详解】

（1）y'ex

在点M（t,et）处的切线l的斜率为－et 切线l的方程为yetet(xt)

（2）令x0,得yet(1t);

令y0,得x1t, 令S'(t)0得t1

又0t1时，S'(t)0;t1时，S'(t)0,

【特别提示】

1.由导数的几何意义知，函数在点M处的导数值就是曲线在点M处的切线的全斜率，这是本题的突破口

2.建立目标函数，转而求目标函数的最值，这是通法。

3.导数法是求函数最值的通法，但不一定是最佳方法，注意选择。 最值的实际应用 例1（2004·江苏卷·19）制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损。

某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？

【考查目的】

本题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力。

【例题详解】

设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，

xy10,0.3x0.1y1.5,由题意知

x0,y0目标函数zx0.5y

上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）是可行域 作直线l0:x0.5y0,关作平行于直线l0的一组直线0.5yz,zR,与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，此时纵截距最大，这里点M是直线xy10和0.30.1y1.8的交点。

解方程组

得 x4,y6

此时z40.567(万元)。

当x4,y6时z取得最大值。

答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能在确保可能的亏损不超过1.8万元的前提下，使可能的盈利最大。

【特别提示】

1.有关用料最省、成本最低、利润最大等问题，可考虑建立目标函数，转化

为求函数的最值。

2.本题的条件是一组二元一次不等式组，所求目标函数是二元一次线性函数，所以考虑应用线性规划的知识来求解最值。

3.应用线性规划求解最值，关键是目标函数相应的直线的倾角的大小，角的大小不一样，直线经过可行域上的最大值点就不一样。

例2（2003·北京卷·理·19）有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点，且ABACa,BC2b,今计划俣建一个中心医院，为同时方便三镇居民就医，准备建在BC的垂直平分线上的P处（建立坐标系如图），

（1）若希望点P到三镇距离的平方和为最小，点P应位于何处？ （2）若希望点P到三镇的最远距离为最小，点P位于何处？ 【考查目的】

本题主要考查二次函数、分段函数的最值、不等式等基本知识，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查分数讨论、数形结合等数学思想方法。 【例题详解】

（1）由题设可知，ab0,记ha2b2，设点P的坐标为（0,y），则点P至三镇距离的平方和为

当yh时，函数f(y)取得最小值。 312点P的坐标是（0,。 ab2）

3（2）解法一：P至三镇的最远距离为

h2b2由by,hy解得y

2h22h2b2,则 记y2hh2b20,即hb时， 当y2hb2y2在[y,)上是增函数，

（，y]上是减函数。 而hy在

由此可知，

当yy*时，函数g(y)取得最小值b;

h2b20,即hb时， 当y*2h函数b2y2在[y*,)上先减后增，当y0时，取得最小值b，而

hyb.

可见，当y0时，函数g(y)取得最小值b.

当hb时，点P的坐标为(0,a22b22ab22)；

当hb时，点P的坐标为（0，0）。其中ha2b2。 解法二：点P至三镇的最远距离为

h2bh2b2hy解得y,记y, 由by，2h2h22于是

当y0,即hb时，zg(y)的图象如图（1）所示。

当yy时，函数g(y)取得最小值。

当y0,即gb时，zg(y)的图象如图（2）所示

当y0时，函数g(y)取得最小值。

a22b2当hb时，点P的坐标为0,222ab; 当hb时，点P的坐标为（0，0），其中ha2b2

【特别提示】

1.有关涉及用料最省，成本最低，利润最大，距离和最大（小）等应用问题，可考虑建立目标函数，转化为求函数最值问题来解决。

2.解决第（2）问首先要理解“点P到三镇的最远距离”的含义，才能分

a2y2hy和b2y2hy两种情形列式。

3.函数的单调性在求最值中有着重要作用，运用函数的单调性求函数的最值，是函数中常用的技巧之一。

4.第（2）问的解法二，借助图象比较大小，直观有效，新颖别致，望加以体会。

【例3】如图，四边形ABCD是一块边长为4km的正方形地域，地域内有一条河流MD，其经过的路线是以AB中点M为顶点且开口向右的抛物线（河流宽度忽略不计）.新长城公司准备投资建一个大型炬形游乐园PQCN（如图所示）问如何施工才能使游乐园面积最大？并求出最大面积. 【考查目的】

本题考查解析几何，函数最值以及导数应用等基本知识，考查建模解模的能力，考查数形结合的数学思想方法。 【例题详解】

以M为原点，AB所在直线为y轴建立直角坐标系，依题意可设抛物线方程

y22px。

 四边形ABCD是边长为4的正方形，M为AB中点， 点D坐标为（4, 2）

由此得4＝2p·4

 抛物线方程为y2x(0x4)

设P(y2,y)(0y2)是曲线MD上任一点，则 矩形游乐园面积

S＝PQ PN(2y)(4y2)8y32y24y 对S求导，得 令S'0，得 解之得 y2,或y2 32当y(0,)时，S'0，函数为增函数；

32当y(,2)时，s'0 ，函数为减函数；

32时，S有最大值。 328此时，PQ2y2,

33832256游乐园最大面积为Smax(km2)

3927所以当y【特别提示】

1.通过建系，可把形的问题转化为数的问题来解决。 2.商次整式函数的最值通常应用导数来求解。

五、能力训练 (一)、选择题

1x1515 A.-2 B.2 C.- D.

44 1、已知0x，则yx的最小值是( )

14 2、下列的函数中，最小值为4的是( )

A.yx B.ysinx4x4(0x) sinxC.y2ex2ex D.ylog3x4logx3(0x1)

3、函数f(x)x33x1在闭区间[3,0]上的最大值、最小值分别是( )

A.1，-1 B.1，-17 C.23，-17 D.9，-19 函数f(x)x24(x2)21的最小值是( ) . A.13 B.32 C.25 D.3 5.在区间[,2]上，已知函数f(x)x2pxq与g(x)2x12121在同一点x2取得相同的最小值，那么f(x)在[,2]上的最大值( ) A.

135 B.4 C.8 D. 44 6、某汽车运输公司为增强市场竞争力，购买了一批豪华客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x为

二次函数关系(如图) .若使每辆客车营运的年平均利润最大，则每辆客车营运的年数为( ) .

A.3 B.4 C.5 D.6 (二)、填空题

7、已知xy10，则(x1)2(y1)2的最小值是__________. 8、若函数ya2x2ax1(a0且a1)在1,1上的最大值为14，则实数a的值为________. (三)、解答题

9、设二次函数f(x)ax2bxc(a0).

（1）已知f(0)f(1)f(1)1,b0求f(x)的最小值; （2）对一切实数x,f(x)的值恒为非负实数，求M最小值.

10、在直角坐标平面上给定一曲线y22x.

（1）设点A的坐标为(,0)，求曲线上距点A最近的点P的坐标及相应的距离PA；

（2）设点A的坐标为(a,0)，aR，求曲线上的点到A的距离的最小值df(a).

11、已知f(x)ax22bx4c(a,b,cR).

（1）若f(x)同时满足下列条件：①a0;②当x2时，有f(x)2;③当x1时，f(x)最大值为2.求f(x)的解析式；

（2）当b4,c时，对于给定的负数a,有一个最大的正数l(a)，使得x[0,l(a)]，时，都有f(x)5，问a为何值时，l(a)最大，并求出

3423abc(ab)的ba这个最大值.