一、比较法 1．求差比较法 知道a＞b⇔a－b＞0，a＜b⇔a－b＜0，因此要证明a＞b，只要证明a－b＞0即可，这种方法称为求差比较法． 2．求商比较法
aa由a＞b＞0⇔＞1且a＞0，b＞0，因此当a＞0，b＞0时要证明a＞b，只要证明1即可，这种方法称为
bb求商比较法．
二、分析法
从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． 三、综合法
从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法． 四、放缩法
在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法． 五、反证法的步骤
1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出 矛盾；3．否定假设，肯定结论． 六、柯西不等式的二维形式
1．柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2).(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，其中等号当且仅当a1b2＝a2b1时成立．
2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．
22222 3．二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y1＋x2＋y2≥(x1－x2)＋(y1－y2)
七、柯西不等式的一般形式
222
柯西不等式的一般形式：设a1，a2，…，an，b1，b2，…bn为实数，则(a1＋a2(b22＋…＋an)·1＋b2＋…＋
2
b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn).
a1+ a2+…an
八、基本不等式的一般形式≥n(a1+ a2+…an)
n
例1：设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．
证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)
＝(a－b)((a)5－(b)5)．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)((a)5－(b)5)≥0； 当a b2c2a2bca例2：已知a，b，c∈R＋，求证：＋＋≥c＋a＋b. abcabc b2c2b2c2bc2a2ca2b2a证明：∵a，b，c∈R＋，∴＋≥2·＝2c，同理，＋≥2a，＋≥2b， abababcbcac b2c2a2bca三式相加可得＋＋≥c＋a＋b. abcabc 1111 例3：设n是正整数，求证：≤＋＋…＋＜1. 2n＋1n＋22n 111111111 证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得≤＜.当k＝1时，≤＜；当k＝2时，≤＜； 2nn＋kn2nn＋1n2nn＋2n 1111n111n …当k＝n时，≤＜， ∴＝≤＋＋…＋＜＝1. 2nn＋nn22nn＋1n＋22nn 例4：设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M; (2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． 解：(1)由|2x－1|＜1，得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}． (2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1.所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0, 故ab＋1＞a＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab＋1)与logm(a＋b)(m＞0且m≠1)的大小． 解：∵0＜a＜1,0＜b＜1，∴(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.当m＞1时，y＝logmX在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab＋1)＞logm(a＋b)当0＜m＜1时logmX在(0，＋∞)上单调递减， ∴logm(ab＋1)＜logm(a＋b)． 例5：设n∈N，n＞1，试比较logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小． logn1n22nlogn1n12logn1n2logn1nlogn＋1(n＋2) ＜解：＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n≤＝logn(n＋1)222＝1.因此，logn(n＋1)>logn＋1(n＋2) a2－b2a－b 例6：设a＞b＞0，求证：2＞. a＋b2a＋b (a－b)[(a＋b)2－(a2＋b2)]2ab(a－b) 证明：法一：∵a＞b＞0，∴左边－右边＝＝＞0，故原不等式成立． (a2＋b2)(a＋b)(a2＋b2)(a＋b) a2－b2 a2＋b2a2－b2a＋b(a＋b)2a－ba2－b2a－b2ab法二：＝×＝＝1＋22＞1，且由a＞b＞0，知＞0，∴2＞. a－ba2＋b2a－ba2＋b2a＋ba＋ba＋b2a＋ba＋b 例7：(1)设x≥1，y≥1，证明[y＋x＋(xy)2]>[xy(x＋y)＋1]； (2)设1＜a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac. 111 解：(1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋≤＋＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2. xyxy 将上式中的右式减左式，得[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]=[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝ (xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)． 既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立． 111 (2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝，logba＝，logcb＝，logac＝xy. xyxy 111 于是，所要证明的不等式即为x＋y＋≤＋＋xy，其中x＝loga b≥1，y＝logb c≥1.故由(1)可知所要证明的不 xyxy 等式成立． 2amba2＋mb2 例8：已知m＞0，a，b∈R，求证：≤1＋m. 1m222amba2＋mb2 证明：因为m＞0，所以1＋m＞0，所以要证即证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)，即证m(a2≤1＋m， 1mamb2a2＋mb2 显然成立，故≤1＋m. 1m例9：设x，y，z为正数，求证：2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)． 证明：因为x2＋y2≥2xy≥0，所以x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)≥xy(x＋y)，同理y3＋z3≥yz(y＋z)，z3＋x3≥zx(z＋x)，三式相加即可得2(x3＋y3＋z3)≥xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)，又因为xy(x＋y)＋yz(y＋z)＋zx(z＋x)＝x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)所以2(x3＋y3＋z3)≥x2(y＋z)＋y2(x＋z)＋z2(x＋y)． 1．利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有：(1)a2≥0；(2)|a|≥0；(3)a2＋b2≥2ab； 22＋b2 aa＋b1ab它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥等；(4)≥ab(a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a＋≥2 22a2baba (a＞0)，＋≥2(ab＞0)，＋≤－2(ab＜0)等. abab 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”. ab例10：设m是|a|，|b|和1中最大的一个，当|x|＞m时，求证：x＋x2＜2. －2ab＋b2)≥0，即证(a－b)2≥0.而(a－b)2≥0 22 abab|a||b||x||x| [证明]由已知m≥|a|，m≥|b|，m≥1.又|x|＞m，∴|x|＞|a|，|x|＞|b|，|x|＞1.∴x＋x2≤x＋x2＝|x|＋|x|2＜|x|＋|x|2 1|x|ab ＝1＋＜1＋＝2.∴|＋2|＜2成立． |x||x|xx abc 例11：已知a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＞c.求证：＋＞. 1＋a1＋b1＋c a＋baabbab 证明：∵a＞0，b＞0，∴＞，＞.∴＋＞. 1＋a1＋a＋b1＋b1＋a＋b1＋a1＋b1＋a＋b a＋bx1c 而函数f(x)＝＝1－在(0，＋∞)上递增，且a＋b＞c，∴f(a＋b)＞f(c)，则>， 1＋x1＋x1＋a＋b1＋cabc所以＋>，则原不等式成立． 1＋a1＋b1＋c 311111 例12：求证：－＜1＋2＋2＋…＋2＜2－(n≥2，n∈N＋)． 2n＋123nn 11111111 证明：∵k(k＋1)＞k2＞k(k－1)，k≥2，∴＜2＜，即－＜2＜－，分别令k＝2,3，…， kk＋1kk－1kk(k＋1)kk(k－1) 11111111111111n得－＜2＜1－；－＜2＜－；…－＜2＜－； 232234323nn＋1nn－1n 11111111111111 将上述不等式相加得：－＋－＋…＋－＜2＋2＋…＋2＜1－＋－＋…＋－， 2334nn＋123n223n－1n 111111311111即－＜2＋2＋…＋2＜1－，∴－＜1＋2＋2＋…＋2＜2－. 2n＋123nn2n＋123nn (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目 1111121 分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如2＜，2＞，＜， kk(k－1)kk(k＋1)kkk＋k－1 2aa＋m ＞.上面不等式中k∈N＋，k＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a＜b，m＞0，则＜”， bb＋mk＋k＋1添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度． 1 例13：已知x，y均为正数，且x＞y,2x＋2≥2y＋3. x－2xy＋y2 11 解：因为x＞0，y＞0，x－y＞0，2x＋2－2y＝2(x－y)＋＝(x－y)＋(x－y)＋2 x－2xy＋yx－y21 ≥2y＋3. x2－2xy＋y2111 例14：设a，b，c为正实数，求证：3＋3＋3＋abc≥23. abc≥3 x－y 2 2＝3，所以2x＋ 1x－y 2 3 1x－y 11131111113 证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得3＋3＋3≥3·3·3，即3＋3＋3≥. 3abcabcabcabc 111333111所以3＋3＋3＋abc≥＋abc.而＋abc≥2 ·abc＝23.所以3＋3＋3＋abc≥23. abcabcabcabcabcn111例15：若n为大于1的自然数，求证：nn＋1＜n＋1＋＋＋…＋. 23n nn＋1n＋111134534 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋＋1＋＋…＋1＋＝2＋＋＋＋…＋≥n·2···…· 23n234n23nnn34111 ＝n·n＋1＝左边．∵2≠≠，故不取等号．∴不等式nn＋1＜n＋1＋＋＋…＋成立． 2323n 1 例16：已知f(x)＝x2＋px＋q，求证|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于. 2 1 证明：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2.而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)|＝|(1 2 ＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)|＝2，与|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|＜2矛盾，∴|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个 1不小于. 2 111111 例17：设a、b、c均为正数，求证：＋＋≥＋＋. 2a2b2cb＋cc＋aa＋b1111111111≥证明：∵a、b、c均为正数，∴≥，当a＝b时等号成立；(＋)≥≥，当22a2b2aba＋b22b2c2bcb＋c 1111111111 b＝c时等号成立；(＋)≥≥，当a＝c时等号成立．三个不等式相加即得＋＋≥＋ 22c2a2cac＋a2a2b2cb＋cc＋a 1＋，当且仅当a＝b＝c时等号成立． a＋b nn＋1nn＋2 例18：已知：an＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋nn＋1(n∈N＋)，求证：＜an＜. 22 证明：∵nn＋1＝n2＋n，∴nn＋1＞n，∴an＝1×2＋2×3＋…＋nn＋1＞1＋2＋3＋… nn＋1n＋n＋11＋22＋33＋4n＋n＋1＋n＝.∵nn＋1＜，∴an＜＋＋＋…＋ 222222 n＋1nn＋2nn＋1nn＋21 ＝＋(2＋3＋…＋n)＋＝.综上得：＜an＜. 22222 111100例19：设a，b，c为正数且a＋b＋c＝1，求证：a+b+c≥. 3abc1111111证明：a+b+c＝(12＋12＋12)[a+b+c] abc3abc1111111111111 ≥1a1b1c＝1＝1abc≥(1＋9)233abcabc3abc3100＝. 3 1－x2a2b2x2 例20：已知a，b为正实数．(1)求证：＋≥a＋b；(2)利用(1)的结论求函数y＝＋(0＜x＜1) bax1－x 的最小值． a2b2a3b322 22 解：(1)证明：法一：∵a＞0，b＞0，∴(a＋b)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2ab＝(a＋b)2. baaba2b2 ∴＋≥a＋b，当且仅当a＝b时等号成立。 ba a3＋b3－a2b－ab2a3－a2b－ab2－b3a2a－b－b2a－ba2b2 法二：∵＋－(a＋b)＝＝＝＝ baababab a－b2a＋ba－b2a＋ba2b2 .又∵a＞0，b＞0，∴≥0，当且仅当a＝b时等号成立∴＋≥a＋b. ababba 2 1－xx2 (2)：∵0＜x＜1，∴1－x＞0，由(1)的结论，函数y＝＋≥(1－x)＋x＝1. x1－x1－x21x2 当且仅当1－x＝x即x＝时等号成立．∴函数y＝＋(0＜x＜1)的最小值为1. 2x1－x 222222222222柯西不等式训练题 一．选择题（共15小题） 1．已知x，y，z，a∈R，且x2+4y2+z2=6，则使不等式x+2y+3z≤a恒成立的a的最小值为（ ） A．6 B． C．8 D． 2．已知实数x、y、z满足2x﹣y﹣2z﹣6=0，x2+y2+z2≤4，则2x+y+z=（ ） A． B． C． D．2 3．若实数a，b，c满足a2+b2+c2=1，则3ab﹣3bc+2c2的最大值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知x，y，z均为正数，且x+y+z=2，则++的最大值是（ ） A．2 B．2 C．2 D．3 5．设x、y、z是正数，且x2+4y2+9z2=4，2x+4y+3z=6，则x+y+z等于（ ） A． B． C． D． 6．若a，b，c＞0且a（a+b+c）+bc=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（ ） A．﹣1 B．+1 C．2﹣2 D．2+2 7．用柯西不等式求函数y=的最大值为（ ） A． B．3 C．4 D．5 8．已知a2+b2+c2=1，若|对任意实数a，b，c，x恒成立，则实数m的取值范围是（ ） A．[8，+∞） B．（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞） C．（﹣∞，﹣1]∪[8，+∞） D．[2，+∞） + 9．设a，b∈R，a+b=1，则+的最小值为（ ） A．2+ B．2 C．3 D． 10．若2x+3y+5z=29，则函数μ=++的最大值为（ ） A． B．2 C．2 D． 222 11．已知a，b，c∈R，则2a+3b+6c=1是a+b+c∈[﹣1，1]的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（2012•湖北）设a，b，c，x，y，z是正数，且a2+b2+c2=10，x2+y2+z2=40，ax+by+cz=20，则（ ） A． B． C． D． = 13．已知x2+4y2+kz2=36，且x+y+z的最大值为7，则正数k等于（ ） A．1 B．4 C．8 D．9 14．已知实数ai，bi∈R，（i=1，2，…n），且满足a12+a22+…an2=1，b12+b22+…bn2=1，则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为（ ） A．1 B．2 C．n D．2 15．已知正数a、b、c满足b2+ab+bc+ac=15，则5a+8b+3c的最小值为（ ） A．25 B．30 C．8 D．32 二．解答题（共15小题） 2 16．（1）证明柯西不等式：（a2+b2（）c2+d2）≥（ac+bd）（2）；若a，b∈R+且a+b=1，用柯西不等式求+的最大值． 17．（1）解不等式|2x﹣1|＜|x|+1（2）设x，y，z∈R，x2+y2+z2=4，试求x﹣2y+2z的最小值及相应x，y，z的值． 18．已知a b c∈R+，a+b+c=2，记a2+b2+c2的最小值为m．（Ⅰ）求实数rn；（Ⅱ）若关于x的不 2 等式|x﹣3|≥m和x+px+q≥0的解集相同，求p的值． 19．已知关于x的不等式：|x﹣|≤（m∈Z），2是其解集中唯一的整数解． （1）求m的值；（2）已知正实数a，b，c满足a2+4b2+16c2=m，求a+2b+4c的最大值． 20．已知实数x，y，z满足x2+y2+z2=1．（Ⅰ）求x+2y+2z的取值范围；（Ⅱ）若不等式|a﹣3|+≥x+2y+2z对一切实数x，y，z恒成立，求实数a的取值范围． 21．（1）设函数 时，求a2+b2+c2的最小值． 22．已知x，y∈R+，且x+y=2（Ⅰ）要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，求实数a的取值范围 （Ⅱ）求证：x2+2y2 ． ，求f（x）的最小值，（2）当a+2b+3c=m（a，b，c∈R） 23．（1）已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|，求x的取值范围，使f（x）为常函数；（2）若x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，求m=x+y+z的最大值． 24．已知实数a，b，c，d满足a＞b＞c＞d，求证： ． 25．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x+3|﹣m（m∈R），不等式f（x）＜5的解集为（﹣4，2）． （Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）实数a，b，c满足a2+ + =m，求证：a+b+c≤ ． 26．柯西不等式是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的．具体表述如下：对任意实数a1，a2，…，an和b1，b2，…bn（n∈N+，n≥2），都有（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…bn2）≥（a1b1+a2b2+…+anbn）2．（1）证明n=2时柯西不等式成立，并指出等号成立的条件；（2）若对任意x∈[2，6]，不等式3+2≤m恒成立，求实数m的取值范围 27．已知不等式|x﹣2|＞3的解集与关于x的不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集相同．（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）=a+b的最大值． 28．（2014•福建）已知定义域在R上的函数f（x）=|x+1|+|x﹣2|的最小值为a． （1）求a的值；（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r=a，求证：p2+q2+r2≥3． 29．已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值． 30．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围． 一．选择题（共15小题） 1．B； 2．B； 3．C； 4．C； 5．A； 6．C； 7．C； 8．B； 9．D； 10．C； 11．A； 12．C； 13．D； 14．A； 15．B； 二．解答题（共15小题） 16.解：（1）证明：（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（ad﹣bc）2≥0 ∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2． （2）由柯西不等式可得（12+12）[（）2+（）2]≥（+）2 ． ∵a+b=1，∴（+）2 ≤10，∴+的最大值为． 17．解：（1）当x＜0时，原不等式可化为﹣2x+1＜﹣x+1，解得x＞0，又x＜0，故x不存在； 当0≤x＜时，原不等式可化为﹣2x+1＜x+1，解得x＞0，∴0＜x＜；当x≥时，x＜2，∴≤x＜2； 综上所述，原不等式的解集为：{x|0＜x＜2}； （2）（x﹣2y+2z）2≤（x2+y2+z2）[12+（﹣2）2+22]=4×9=36，∴x﹣2y+2z的最小值为﹣6， 此时= == =﹣，∴x=﹣，y=，z=﹣． ）2+（ ）2]≥（a+ b+ c）2=12，故a2+b2+c2≥2， 18．解：（Ⅰ）由柯西不等式（a2+b2+c2）[12+（当且仅当 时取等号，∴a2+b2+c2的最小值m为2； （Ⅱ）不等式|x﹣3|≥m即不等式|x﹣3|≥2，解得x≥5或x≤1，∴x2+px+q≥0的解集为{x|x≥5或x≤1}， ∴p=﹣（1+5）=﹣6． 19．解：（1）由|x﹣|≤可得 ，∵m∈Z，2是其解集中唯一的整数解，∴m=4； （2）∵a2+4b2+16c2=4，由柯西不等式得：（a2+4b2+16c2）（1+1+1）≥（a+2b+4c）2， 故有4≥（a+2b+4c）2．再根据a、b、c为正实数，∴a+2b+4c≤2，即a+2b+4c的最大值为2． 20．解：（Ⅰ）由柯西不等式9=（12+22+22）•（x2+y2+z2）≥（1•x+2•y+2•z）2，即﹣3≤x+2y+2z≤3， 当且仅当 ， 即 ， 时，x+2y+2z取得最大值3．当且仅当 即 时，x+2y+2z取得最小值﹣3，所以x+2y+2z的取值范围是[﹣3，3]． 对一切实数x，y，z恒成立， （Ⅱ）由（Ⅰ）得，不等式 当且仅当成立，即或解得a≤0，或a≥4， 21．解：（1）f（x）=，当x∈（﹣∞，0]时，f（x）单调递减，当x∈[0，+∞）时， f（x）单调递增，所以当x=0时，f（x）的最小值m=1． （2）由柯西不等式（a2+b2+c2）（12+22+32）≥（a+2b+c）2=1，故a2+b2+c2≥﹣ 时取等号∴a2+b2+c2的最小值为 ． =1+ + ≥2，当且仅当x=y=1时，取等号． ，当且仅当a= ，b=，c 22．解：（Ⅰ）∵x，y∈R+，且x+y=2，∴+=（+）• 要使不等式+≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立，只要2≥|a+2|﹣|a﹣1|．而|a+2|﹣|a﹣1|表示数轴上的a对应点到﹣2的距离减去它到1对应点的距离，而对应点到﹣2的距离减去它到1对应点的距离正好等于2， 故不等式2≥|a+2|﹣|a﹣1|的解集为（﹣∞，）． （Ⅱ）证明：由柯西不等式得（x2+2y2）•（1+）≥（x+y）2=4，∴x2+2y2≥． 23．解：（1）f（x）=|x﹣1|+|x+3|=（2）由柯西不等式可得，（x2+y2+z2）（ + + ，故当x∈[﹣3，1]时，f（x）为常数函数； ）≥（ x+y+ y+ z）2； 即（x+y+z）2≤9；故x+y+z≤3；故m=x+24．证明：因a＞b＞c＞d，故a﹣b＞0，b﹣c＞0，c﹣d＞0． 故所以， ．…10分． z的最大值为3． ，…6分 25．（Ⅰ）解：∵f（x）=|x﹣1|+|x+3|﹣m，∴当x＜﹣3时，由不等式﹣2x﹣2﹣m＜5，得x＞﹣当﹣3≤x≤1时，4﹣m＜5．当＞1时，由不等式2x+2﹣m＜5，得x＜∵不等式f（x）＜5的解集为（﹣4，2），∴{x|﹣（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，a2+ + ＜x＜ ． ． }={x|﹣4＜x＜2}，∴m=1． + ） =1，∴（a+b+c）2=（1×a+2×+3×）2≤（12+22+32）（a2+ =14∴a+b+c≤． 26．（1）证明：构造函数f（x）=（a1x+b1）2+（a2x+b2）2=（a12+a22）x2+2（a1b1+a2b2）x+（b12+b22）． 注意到f（x）≥0，所以△=[2（a1b1+a2b2）]2﹣4（a12+a22）（b12+b22）≤0， 即（a1b1+a2b2）2≤（a12+a22）（b12+b22）．（其中等号成立当且仅当a1x+b1=a2x+b2=0，即a1b2=a2b1．） 22222 （2）解：由（1）可得（3+2）≤（3+2）[（）+（）]=52， ∴（3 +2 ）max=2 ，∵对任意x∈[2，6]，不等式3 +2 ≤m恒成立，∴m≥ ． 27．解：（1）不等式|x﹣2|＞3的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以不等式x2﹣ax﹣b＞0的解集为{x|x＜﹣1或x＞5}，所以﹣1，5是方程x2﹣ax﹣b=0的两根，所以（2）函数f（x）=a 2 ，解得a=4，b=5． +5 ） 时等号成 +b 的定义域为[3，44]，由柯西不等式得：[f（x）]2=（4 =4 ≤[（16+25）（x﹣3+44﹣x）]2，．又因为f（x）≥0，所以f（x）≤4，当且仅当5 时，f（x）=41．所以函数f（x）的最大值为41． 立，即x= 28．（1）解：∵|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，当且仅当﹣1≤x≤2时，等号成立，∴f（x）的最小值为3，即a=3；（2）由（1）知，p+q+r=3，又p，q，r为正实数，∴由柯西不等式得，（p2+q2+r2）（12+12+12）≥（p×1+q×1+r×1）2=（p+q+r）2=32=9，即p2+q2+r2≥3． 29．解：（Ⅰ）∵|t+3|﹣|t﹣2|≤|（t+3）﹣（t﹣2）|=5，不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立， 可得6m﹣m2≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}． （Ⅱ）由题意可得 λ=5，3x+4y+5z=5．∵（x2+y2+z2）（32+42+52）≥（3x+4y+5z）2=25，当期仅当==时，等号成立，即x=值为， 230．解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤； 22222222 （Ⅱ）同理，（a﹣b+c）≤[1+（﹣1）+1]（a+b+c）=3 若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）对一切实 ，y=，z= 时，取等号．∴50（x2+y2+z2）≥25，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小 数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞） 柯西不等式与平均值不等式训练题 一．选择题（共20小题） 1．（2015•湖南）若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（ ） A． B．2 C．2 D．4 2．（2015•福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．若实数x、y满足 =1，则x2+2y2有（ ） A．最大值3+2 B．最小值3+2 C．最大值6 D．最小值6 4．（2015•上海）已知a＞0，b＞0，若a+b=4，则（ ） A．a2+b2有最小值 B． 有最小值C． 有最大值 D． 有最大值 5．（2015•浙江）设正实数a，b满足a+λb=2（其中λ为正常数）．若ab的最大值为3，则λ=（ ） A．3 B． C． D． 6．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（ ） A．2 B．2 C．4 D．2 7．已知正项等比数列{an}满足a7=a6+2a5，若存在两项am，an使得，则的最小值为（ A． B． C． D．不存在 8．若a＞0，b＞0，且a+2b﹣2=0，则ab的最大值为（ ） A． B．1 C．2 D．4 9．已知正项等比数列{an}满足：a7=a6+2a5，若存在两项am，an，使得aman=16a12，则+的最小值为（ A． B． C． D．不存在 ） ） 10．若正数x，y满足3x+y=5xy，则4x+3y的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 11．已知正实数m，n满足m+n=1，且使A．﹣1 B． C．2 D．3 的最小值为（ ） 取得最小值．若曲线y=xa过点P（，），则a的值为（ ） 12．设a＞b＞0，则a++ A．2 B．3 C．4 D．3+2 13．若x＞0，y＞0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ） A． B．3 C． D．4 14．若4x+4y=1，则x+y的取值范围是（ ） A．[0，1] B．[﹣1，0] C．[﹣1，+∞） D．（﹣∞，﹣1] 222 15．已知a＞0，b＞0，c＞0，且ab=1，a+b+c=4，则ab+bc+ac的最大值为（ ） A． B． C．3 D．4 16．若正数x，y满足x2+6xy﹣1=0，则x+2y的最小值是（ ） A． B． C． D． 的最小值为（ ） 17．已知a＞0，b＞0且a≠1，若函数y=logax过点（a+2b，0），则A． B． C． D．2 的最小值为（ ） 18．已知a＞0，b＞1且2a+b=4，则+A．8 B．4 C．2 D． + 19．若正数a，b满足+=1，则A．16 B．25 C．36 D．49 的最小值为（ ） 20．已知x，y∈（﹣∞，0），且x+y=﹣1，则xy+A．最大值 B．最小值 C．最小值﹣ 有（ ） D．最大值﹣ 二．解答题（共10小题） 21．已知正实数a、b满足：a2+b2=2 ．（1）求 的最小值m；（2）设函数f（x）=|x﹣t|+|x+|（t≠0）， 对于（1）中求得的m，是否存在实数x，使得f（x）= m成立，说明理由． 2 22．已知不等式x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}（1）求实数a，b的值；（2）若0＜x＜1，f（x）= ，求f（x）的最小值． 23．已知函数f（x）=值为n，当正数a、b满足 + 的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的取值范围．（Ⅱ）若m的最大=n时，求7a+4b的最小值． 24．已知a，b都是正实数，且a+b=1（Ⅰ）求证： ≥4；（Ⅱ）求的最小值． 25．已知实数a，b，c满足a2+b2+c2=3．（Ⅰ）求证a+b+c≤3；（Ⅱ）求证 ． 26．已知关于x的不等式：|2x﹣m|≤1的整数解有且仅有一个值1．（1）求整数m的值；（2）已知a，b，c均为正数，若2a+2b+2c=m，求 + + 的最小值． 27．已知正数x，y，z满足2x+2y+z=1，求3xy+yz+zx的最大值． 28．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（1）若a+b+c=0，求a的最大值．（2）若ab+bc+ca的最大值为M，解不等式|x+1|+|x﹣1|≥3M． 29．已知正实数a，b，c满足a+b+c=3，求证： 30．已知a＞0，b＞0，且a+b=2．（1）求+的最小值及其取得最小值时a，b的值；（2）求证：a2+b2≥2． + + ≥3． 一．选择题（共20小题） 1．C； 2．C； 3．B； 4．A； 5．D； 6．C； 7．A； 8．A； 9．A； 10．D； 11．B； 12．C； 13．D； 14．D； 15．A； 16．A； 17．A； 18．D； 19．A； 20．B； 二．解答题（共10小题） 21.解：（1）∵2 =a2+b2≥2ab，即 ，∴ ≥2 ．又∴ ≥2，当且仅当a=b时取等 号．∴m=2．（2）函数f（x）=|x﹣t|+|x+|≥22．解：（1）由题意可得（2）由（1）知f（x）=+[x+（1﹣x）]=5+ + ，解得 =1，∴满足条件的实数x不存在． ，∴实数a，b的值分别为1，4； ＞0，∴f（x）=+ =（+ ） ∵0＜x＜1，∴0＜1﹣x＜1，∴＞0，≥5+2 =9当且仅当 = 即x=时，等号成立．∴f（x）的 最小值为9． 23．解：（1）∵函数定义域为R，∴|x+1|+|x﹣3|﹣m≥0恒成立，设函数g（x）=|x+1|+|x﹣3|，则m不大于函数g（x）的最小值，又|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|=4，即g（x）的最小值为4，∴m≤4． （2）由（1）知n=4，∴7a+4b= = =，当且仅当a+2b=3a+b，即b=2a= 24．证明： ． 时取等号．∴7a+4b的最小值为． （Ⅱ）解：又∵当且仅当 得 ，即 ≥ ，∴ ，即．∴ ， 上式等号成立． 25．证明：（I）∵（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≤a2+b2+c2+（a2+b2）+（b2+c2）+（a2+c2）=3（a2+b2+c2） =9．∴a+b+c≤3；（II）∵（a2+b2+c2） =3++2 +2 + + + + =3+ + + ≥3 ≤x≤ ．由于整数解有且仅 ≥ =9．当且仅当a2=b2=c2=1时取等号．∴ 26．解：（1）由关于x的不等式：|2x﹣m|≤1 可得﹣1≤2x﹣m≤1，解得 有一个值为1，∴，∴1＜m＜3．故整数m的值为 2． （2）由2a+2b+2c=m得a+b+c=1．∵，，， ∴时取等号故 的最小值为1． ，即∴，当且仅当a=b=c 27．解：∵正数x，y，z满足2x+2y+z=1，可得z=1﹣2（x+y）＞0，解得﹣2（x+y）（]x+y）≤ 2 ﹣2（x+y）+（x+y）= ．∴3xy+yz+zx=3xy+[1= +， 当x+y=，x=y=时，取等号．∴3xy+yz+zx的最大值为． 28．解：（1）∵a2=（﹣b﹣c）2=b2+c2+2bc≤2（b2+c2）∴a2≤2（1﹣a2），∴3a2≤2，即的最大值为（2）∵ ． ，∴M=1．若不等式|x+1|+|x﹣1|≥3M对一切实数a，b，c ，满足x≥1，∴ ； ，∴a 恒成立，则|x+1|+|x﹣1|≥3，当x≥1时，化为2x≥3，解得 当﹣1≤x＜1时，化为x+1﹣x+1≥3，即2≥3，此时x∈∅；当x＜﹣1时，化为﹣2x≥3，解得x≤﹣，满足x≤﹣1，∴x≤﹣．综上可得：不等式|x+1|+|x﹣1|≥3的解集为29．证明：∵正实数a，b，c满足a+b+c=3，∴∴ 30．解：（1）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴+=当且仅当 = =5++ ≥ =9， ． ∪ ，∴abc≤1， ． ，b=时等号成立．∴+的最小值为9． （2）∵a＞0，b＞0，且a+b=2．∴2（a2+b2）≥（a+b）2=4，∴a2+b2≥2，当且仅当a=b=1时取等号． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容