三角函数大题六大常考题型
【一】 知识要点详解 1.要点：
（1） 三角函数的化简、求值与证明；
（2）三角函数的图像与性质：图像的变换和作图；周期性、奇偶性，单调性；
（3）三角函数的最值问题；
（4）解三角形:在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理；
（5）解三角函数的实际应用. 2.方法：
（1）使用三角函数公式进行解题时应考虑使用诱导公式进行化简；使用两角和与差的三角函数公式合并三角函数；使用二倍角的三角函数公式降幂扩角、升幂缩角；使用同角三角函数关系式，结合已知条件，化弦为切或化切为弦，化到最简后，带入已知的三角函数值，求得结果. （2）三角函数最值的三个方面：
化成“三个一”：化成一个角的一种三角函数的一次方形式；如构；
“合二为一”：辅助角的使用；
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；
化成“两个一”：化成一个角的一种三角函数的二次方结
（3）解三角形方法：一法化边；二法化角；注意要考虑三角形内角的范围. 【二】 例题详解
题型一：结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值
【例1】（2007年高考安徽卷）已知的最小正周期，值．
【解答】因为为， 又由于
，所以
，为，求
的
的最小正周期，故．因为
，故．
．
【评析】 合理选用向量的数量积的运算法则构建相关等式，然后运用三角函数中的和、差、半、倍角公式进行恒等变形，以期达到与题设条件或待求结论的相关式，找准时机代入求值或化简。
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题型二：结合向量的夹角公式，考查三角函数中的求角问题
【例2】 （2006年高考浙江卷）如图，函数（其中1）。
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设是图像上的最高点，M、N是图像与轴的交点，求
与
的夹角。
，
【解答】（I）因为函数图像过点所以因为
即，所以
.
及其图像，得从而 ，故
.
）的图像与轴交于点（0，
（II）由函数所以
【评析】 此类问题的一般步骤是：先利用向量的夹角公式：
求出被求角的三角函数值，再限定所求角的范
围，最后根据反三角函数的基本运算，确定角的大小；或者利用同角三角函数关系构造正切的方程进行求解。
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题型三：结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算
【例3】（山东卷）在
．
（1）求（2）若
；
，且
，求． ，
， ． ，，，
．
， ，
,
中，角
的对边分别为
，
【解答】（1）又
，（2）又
，
，解得：是锐角，，
【评析】 根据题中所给条件，初步判断三角形的形状，再结合向量以及正弦定理、余弦定理实现边角转化，列出等式求解。向量运算
【例4】（2007年高考陕西卷）
，
题型四：结合三角函数的有界性，考查三角函数的最值与
，其中向量
．
，
，且函数的图象经过点
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（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求函数【解答】（Ⅰ）由已知
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∴当由
时，
的最小值及此时值的集合。
，得．
的最小值为，
．
，得值的集合为
【评析】 涉及三角函数的最值与向量运算问题时，可先根据向量的数量积的运算法则求出相应的函数基本关系式，然后利用三角函数的基本公式将所得出的代数式化为形如
，再借助三角函数的有界性使问题得以解决。
题型五：结合向量平移问题，考查三角函数解析式的求法 【例5】（2007年高考湖北卷）将
的图象按向量
平移，则平移后所得图象的解析式为（ ） Ａ．Ｃ．【解答】∵
Ｂ． Ｄ．
，∴平移后的解析式为
，选．
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【评析】理清函数按向量平移的一般方法是解
．
决此类问题之关键，平移后的函数解析式为问题
题型六：结合向量的坐标运算，考查与三角不等式相关的【例6】（2006年高考湖北卷）设向量
，函数
（Ⅰ）求函数
.
的最大值与最小正周期；
成立的的取值集.
∴
的最大值为
，最小正周期是
， ,
成立的的取值集合是
．
的三
的三角恒等关系，
（Ⅱ）求使不等式【解答】（Ⅰ）∵
（Ⅱ）要使即即
成立，当且仅当
【评析】 结合向量的坐标运算法则，求出函数角函数关系式，再根据三角公式对函数【跟踪训练】 1．设函数
然后借助基本三角函数的单调性，求简单三角不等式的解集。
，其中向量
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，
．
（Ⅰ）求函数 （Ⅱ）将函数
的最大值和最小正周期；
的图像按向量平移，使平移后得到的图
像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的． 2．已知向量（Ⅰ）若
，求；
（Ⅱ）求的最大值． 【参考答案】
1．解：(Ⅰ)由题意得，
，
所以，（Ⅱ）由于是
，
的最大值为得
，即
．
，此时
即为
，最小正周期是
，
.
．
因为为整数，要使最小，则只有所求．
2．解：（Ⅰ）若所以，
，则，由此得：，
．
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（Ⅱ）由当时，
为．
得：
取得最大值，即当
时，
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的最大值
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