函数单调性之分类讨论

一、思维导图

含参函数单调性的讨论

一次函数形式二次函数形式1、求定义域2、求导数3、数轴标根4、判断导数正负5、函数单调性

分式函数形式含ex函数形式

bk0数轴标根(x)单调区间k (1):f、(x)kxbk0数轴标根(xb)单调区间k

(2):f、(x)ax2bxc因式分解f、(x)a(xx1)(xx2)a0一次函数讨论式 0数轴标根单调区间讨论参数a0或a0不能判断则0数轴标根单调区间0比较两根大小(x1x2或x1x2)

(3):f、(x)(含分式的式子)通分f、(x)一次式讨论 g(x)一般情况下分母讨论g(x)0，不用管axb二次式讨论

、xxf(x)(ea)(eb)形式根据参数分类讨论因式分解、xx(4):f(x)(含e的式子)(注:e0)、xxf(x)e(axb)形式根据参数分类讨论提取e

1

二、例题精析

例题1、讨论函数f(x)lnxax的单调性。 [解析]定义域：(0,)

1ax1a函数的导数：xx

1f、(x)0①当a0时，，故f(x)在(0,)上单调递增； xax1、f(x)0,②当a0时，故f(x)在(0,)上单调递增； x11x,、③当a0时，令f(x)0,得：a 故f(x)在(0,a)上单调递增；

f、(x)1(在,)上单调递减； a

12例题2、已知函数f(x)lnxax(a1)x,(a0)，

2（1）讨论f(x)的单调性； [解析]定义域：(0,)

1a(x1)(x)21ax(a1)x1、a函数的导数：f(x)axa1 xxx(a1)24(a)1(a1)2 ①0时，即a1时， 故f(x)在(0,)单调递增，

10时，x11,x2，比较两根大小情况，

a1(0,1),(,)单调递增， ②x1x2时，即1a0时， 故f(x)在

a1(1,)单调递减， 在

ax1x2时，即a1或a0，

11③当a1时， 故f(x)在(0,),(1,)单调递增，在(,1)单调递减，

aa④当a0时， 故f(x)在(0,1)单调递增，在(1,)单调递减，

2

例题3、（2017全国卷1理21）已知函数f(x)ae（1）讨论f(x)的单调性； [解析]：定义域：(,)，

函数的导数：f'x2ae2xa2ex1aex1ex1

x因为e10,所以只讨论ae1的符号，

x2x(a2)exx

①当a0时，f(x)0，故f(x)在(,)上单调递减。

、11、xln,x(,ln)时，f、(x)0， f(x)0②当a0时，令得 即：

aa111、x(ln,)时，f(x)0，故f(x)在(,ln)上单调递减，在(ln,)上单调递增，

aaa

三、练习巩固

1、（2017全国卷3文21）已知函数f(x)lnxax2(2a1)x （1）讨论f(x)的单调性 [解析]：定义域（0，+），

、函数的导数：f(x)、1(x1)(2ax1)2ax2a1 xx①当a0时，f(x)0，故f(x)在（0，+）上单调递增。 ②当a0时，分子=(x1)(2ax1)0x11,x2故f（x）在

3

1,且x1x2， 2a单调递增，在单调递减.

2、（2016四川高考理数21）f(x)axalnx,其中aR, （1）讨论f(x)的单调性 [解析]定义域：(0,)

212ax21函数的导数：f(x)2ax

xx、①当a0时，f(x)0，故f(x)在(0,)上单调递减。

、11,x2,且x1x2， ②当a0时，分子=2ax10x12a2a2即：x(0,111)时，f、(x)0，x(,)时，f、(x)0，故f(x)在(0,)上单2a2a2a1,)上单调递增， 2a2x. x＋2

调递减，在(

3、（2014湖南高考）已知常数a＞0，函数f(x)＝ln(1＋ax)－（1）讨论f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；

[解析]x(0,)

212(x2)2xax4(a1)

函数的导数：f、(x)1ax(x2)2(1ax)(x2)2①当a1时，f、(x)0,故f(x)在(0,)上单调递增。 ②当0a1时，令f、(x)0,得x21a,x21a,

12aa1a1a1a时，、、时，f(x)0,f(x)0, x(,2),(2,)x(0,2)aaa故f(x)在x(0,21a)上单调递减，x(21a,)上单调递增。

aa

4

4、（2016北京模拟理数）已知函数f(x)lnxax（1）当a

[解析]定义域：(0,)

1a1,(aR) x1时，讨论f(x)的单调性。 21a1ax2xa1(x1)(axa1)函数的导数：f(x)a2 2xxxx2、124(a)(a1)(2a1)2

x1①当a0时，f(x)2， 故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调增。

x、②0时，a1、， ，f(x)0，故f(x)在(0,)上单调递减。 21a0时，x11,x2，比较两根大小：

a③x1x20a、1a11a、x(0,1)或(,)x(1,)时，f(x)0， 时，，

2aa1a1a,)上单调递减，在(1,)上单调递增。 f(x)0，故f(x)在(0,1),(aa1xxa0,或a(舍)， x(0,1)时，f、(x)0，x(1,)时， ④122f、(x)0，故f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增。

综上所述：当a0时，f(x)在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；

1a当时，f(x)在(0,)单调递减；

2111当0a时，f(x)在(0,1)递减,(1,1)递增,(1,)递减.

2aa

5

5、（2014全国卷）已知函数f(x)ln(x1)(1)讨论f(x)的单调性； [解析]定义域：(1,)

ax,(a1) xax[x(a22a)]函数的导数：f(x)

(x1)(xa)2、(a22a)2410(a22a)2 ①0时，即a2或a0(舍)时， f(x)0，故f(x)在(1,)单调递增。

、0时，x10,x2a22a,比较两根大小情况：

②x1x2时，即1a2时， x(1,a2a)，(0,)时，f(x)0

2、x(a22a,0)时，f、(x)0。

故f(x)在(1,a2a)，(0,)上单调递增；在(a2a,0)上单调递减。

③x1x2时，即a2时， x(1,0)，(a2a,)时，f(x)0

222、x(0,a22a)时，f、(x)0。

故f(x)在(1,0)，(a2a,)上单调递增；在(0,a2a)上单调递减。

22 6

12f(x)xaxln(x1),aR， 6、已知函数

2（1）讨论f(x)单调区间； [解析]定义域：(1,)

ax2axxx[ax(a1)]函数的导数：f(x)

x1x1、x①当a0时，f(x)，故f(x)在(1,0)单调递减，在(0,)单调递减，

x1、(a)24(a)1a24，x10,x21a，比较两根大小情况： a1a,)单调递减， ②x1x2时，即0a1时， 故f(x)在(1,0),(a在(0,1a)单调递增。 ax1x2时，即a1或a0时，

③当a1时， 故f(x)在(1,1a1a),(0,)单调递减，在(,0)单调递增。 aa④当a0时， 故f(x)在(0,)单调递增，在(1,0)单调递减。

x20，故f(x)在(1,)单调递减。 ⑤当a1时，f(x)x1、

7

7、（2016北京理数）已知函数f(x)ln(x1)x（1）讨论f(x)的单调性； [解析]定义域：(1,)

k2x,(k0) 2kx2(k1)xx(kxk1)函数的导数：f(x)

x1x1、、①当k0时，f(x)x，故f(x)在(1,0)上单调递增，在(0,)上单调递减。 x1(k1)24k0(k1)2

②0时，即k1时， f(x)0，故f(x)(1,)上单调递增。

、0时，即0k223或k223时， x10,x21k，比较两根大小情况 k1k(1,0),(,)上单调递增， xxf(x)0k1③当1时， ，故在2时，即

k在(0,1k)上单调递减。 k1k),(0,)上单调递增， k④当x1x2时，即k1时， ，故f(x)在(1,1k,0)上单调递减。 在(k

8

8、已知函数f(x)ln(ax1)xax,(a0)， （1）讨论f(x)的单调性；

21(,) [解析]定义域：aa222ax(x)222ax(2a)x、2a函数的导数：f(x)

ax1ax1(2a2)242a0(2a2)2

①0时，即a2时， 故f(x)在(2,)单调递增， 2a220时，x10,x2，比较两根大小情况，

2a1a22,)单调递增， ②x1x2时，即a2时， 故f(x)在(,0),(a2aa22)单调递减， f(x)在(0,2a1a22),(0,)单调递增， ③x1x2时，即0a2时， 故f(x)在(,a2aa22,0)单调递减， f(x)在(2a

9

ex(ax2a1),aR 9、已知函数f(x)2（1）讨论f(x)的单调性； [解析]定义域：R

1x21x1x、f(x)e(axa1)e2axe(ax22axa1) 函数的导数：

2221x2因为e0,所以只讨论ax2axa1的符号即可，

21x、f(x)e0,故f(x)在R 上单调递减； ①当a0时，

2(2a)24(a)(a1)4a

②当0时，即a0，同上；

③当0时，即a0， 故f(x)在R 上单调递减；

④当0时，即a0，x11故f(x)在(,1

11,x11，又知x1x2， aa1111),(1,),上单调递增，在(1,1)上单调递减。 aaaa 10

10、（2018全国卷1理21）已知函数f(x)1xalnx

x（1）讨论f(x)的单调性

[解析]：定义域为(0,)，

函数的导数为f、(x)11axax1

222xxx讨论参数符号情况：

2x1①当a0时，f(x)，f(x)在(0,)单调递减。 0x22②当a0时，f、(x)xax10，f(x)在(0,)单调递减。

x2当a0时，无法判断f、(x)符号

、

讨论根的判别式情况(a)2411a24

③当0a2时，0， f(x)0，f(x)在(0,)单调递减。

、aa24aa24④当a2时，0,x1，x2

22

aa4a讨论两根大小情况：xx f(x)在

12(0,),(2调递减，在aa4aa4单调递增。

222a24,),单

222综上所述：当a2时，f(x)在(0,)上单调递减。 aa4a当a2时，f(x)在(0,),(2在aa4aa4单调递增。

22(,)2a24,),单调递减，

2(2,2)

11

11、（2017全国卷1文21）已知函数f(x)ex(exa)a2x （1）讨论f(x)的单调性

[解析] 函数f(x)的定义域：(,)，

函数的导数：f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa)， ①当a0时，f(x)e2x，在(,)单调递增．

x②当a0时，2ea0,讨论ea的符号，则由f(x)0得xlna．

x当x(,lna)时，f(x)0；当x(lna,)时，f(x)0， 故f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增．

axx③当a0时，ea0,讨论2ea的符号，则由f(x)0得xln()．

2aa当x(,ln())时，f(x)0；当x(ln(),)时，f(x)0，

22aa故f(x)在(,ln())单调递减，在(ln(),)单调递增．

22综上所述：当a0时，f(x)在(,)单调递增．

当a0时，f(x)在(,lna)单调递减，在(lna,)单调递增．

aa当a0时，f(x)在(,ln())单调递减，在(ln(),)单调递增．

22

ex2

12、（2014山东高考）设函数f(x)＝x2－kx＋ln x(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底

数)．

（1）当k≤0时，求函数f(x)的单调区间； [解析]定义域：(0,)

x2ex2xex21(x2)(exkx)k(2)函数的导数：f(x) 43xxxx、k0,exkx0,故只讨论x2的符号； 故x(0,2)时，f(x)0,x(2,)时，f(x)0, 故f(x)在(0,2)单调递减，在(2,)单调递增。

12

、、13、（2014重庆高考）已知函数f(x)e（1）讨论f(x)单调性； [解析]定义域：R 函数的导数：f(x)2e、2x2xe2x3x，

2e2x3

f、(x)2e2x2e2x32e2x12x2x322e2e310 2x故f(x)在R上单调递增。

2e13