等差数列基础测试题题库doc

一、等差数列选择题

1．已知数列an中，a1311*，且满足anan1nn2,nN，若对于任意222nN*，都有

A．2

an成立，则实数的最小值是（ ） nB．4

C．8

D．16

2．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A．161

B．155

C．141

D．139

3．等差数列an中，已知a1a4a739，则a4（ ） A．13

B．14

C．15

D．16

4．已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若a4a54，则S8（ ） A．16 C．4

B．-16 D．-4

5．已知Sn为等差数列an的前n项和，a3S518，a6a33，则an（ ） A．n1

B．n

C．2n1

D．2n

6．等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn，若A．

anS212n，则的值为（ ）

T21bn3n1D．

13 15B．

23 35C．

11 174 927．已知数列an的前n项和Snn2n1，则a1a3a5a25（ ）

D．675

A．350 B．351 C．674

8．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律.其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”.现恰有30人，他们的年龄(都为正整数)之和恰好为一遂(即1520)，其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（ ） A．32

B．33

C．34

D．35

9．数列an是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是24，偶数项的和为30，若它的末项比首项大A．8

21，则该数列的项数是（ ） 2B．4

C．12

D．16

10．已知数列an是公差不为零的等差数列，且a1a10a9，则（ ）

a1a2a9a10A．

27 8B．

5 2C．3 D．4

33311．已知数列an中，a11，a22，对nN*都有2an1an2an，则a10等于

（ ） A．10

B．310 C．64

D．4

12．设Sn是等差数列an（nN*）的前n项和，且a11,S416，则a7（ ） A．7

B．10

C．13

D．16

13．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A．

1尺布 2B．

5尺布 18C．

16尺布 31D．

16尺布 2914．设等差数列an的前n项和为Sn，且2a7a114，则S5（ ） A．15

B．20

C．25

D．30

15．等差数列an的前n项和为Sn，已知a58，S36，则S10S7的值是（ ） A．48

B．60

1215C．72 D．24

16．已知数列{an}满足a2,a5a1,且

1210,nN*，则nN*时，使anan1an2得不等式n100ana恒成立的实数a的最大值是（ ） A．19

B．20

C．21

D．22

17．在等差数列an中，3a3a52a8a9a1324，则此数列前13项的和是（ ） A．13

B．26

C．52

D．56

18．在等差数列an中，a2a5a812，则an的前9项和S9（ ） A．36

B．48

2C．56

*D．72

n19．已知数列an的前n项和SnnA．an2n

nN，则a的通项公式为（ ）

C．an3n2

B．an2n1

1,n1D．an

2n,n2D． S7

20．已知等差数列an中，a50,a4a70，则an的前n项和Sn的最大值为（ ） A．S4

B．S5

C． S6

二、多选题21．题目文件丢失！

22．已知数列an满足an111nN*，且a12，则（ ） anA．a31 C．S3B．a20191 22019 23 2D．S2 019ann2an，则23．(多选题)已知数列an中，前n项和为Sn，且Sn的值不可能为

an13（ ） A．2

B．5

C．3

D．4

24．已知数列an：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，记Sn为数列an的前n项和，则下列结论正确的是（ ） A．S6a8 C．a1a3a5B．S733

a2021a2022 222D．a1a2a32a2020a2020a2021

25．已知数列0,2,0,2,0,2,nA．an1(1)

，则前六项适合的通项公式为（ ）

B．an2cosn 2C．an2sin(n1) 2D．an1cos(n1)(n1)(n2)

26．数列an满足an1an,a11，则下列说法正确的是（ ） 2an11A．数列是等差数列

anC．数列an的通项公式为an2n1

12B．数列的前n项和Snn

anD．数列an为递减数列

27．记Sn为等差数列an的前n项和.已知S535，a411，则（ ） A．an4n5

2C．Sn2n3n

B．an2n3

2D．Snn4n

28．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（ ） A．a6＞0 B．24d3 7C．Sn＜0时，n的最小值为13 D．数列Sn中最小项为第7项 an29．等差数列an的前n项和为Sn，a15a3S8，则下列结论一定正确的是（ ） A．a100

B．当n9或10时，Sn取最大值

C．a9a11 D．S6S13

30．已知an为等差数列，其前n项和为Sn，且2a13a3S6，则以下结论正确的是（ ）. A．a100

B．S10最小

C．S7S12

D．S190

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题 1．A 【分析】 将an11n2an1n变形为2nan2n1an11，由等差数列的定义得出ann，从而得

222nn2nn2出，求出的最值，即可得出答案. n22nmax【详解】 因为n2时，an11an1n，所以2nan2n1an11，而21a13 22n2. n2n所以数列2an是首项为3公差为1的等差数列，故2ann2，从而annnn2nn2又因为an恒成立，即恒成立，所以. nn2n2maxnn2n1n32n2n1nN*,n2得n2 由nn2n1n12n12n222nn22，所以2，即实数的最小值是2 所以n222max故选：A 2．B 【分析】

画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】

所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了

一个等差数列，如图：

y3612x155 ，解得由图可得：.

x107yy48故选：B. 3．A 【分析】

利用等差数列的性质可得a1a72a4，代入已知式子即可求解. 【详解】

由等差数列的性质可得a1a72a4， 所以a1a4a73a439，解得：a413， 故选：A 4．A 【详解】 由S85．B 【分析】

根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列an的通项公式可求. 【详解】

因为a3S518，a6a33，所以a1a88a4a584816.故选A.

2226a112d18，

a5da2d311a11所以，所以an1n11n，

d1故选：B. 6．C 【分析】

利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】

S2121(a1a21)21(b1b21)a1a21a1111211＝＝＝＝＝.

b1b21T21b1131111722故选C 7．A

【分析】

S1,n1先利用公式an求出数列an的通项公式，再利用通项公式求出

SS,n2n1na1a3a5【详解】

2当n1时，a1S112112；

a25的值.

当n2时，anSnSn1n2n1n12n112n1.

22a12不适合上式，

2,n1an.

2n1,n2因此，a1a3a5故选：A. 【点睛】

a25212a3a25127512350；

22S1,n1n易错点睛：利用前项和Sn求通项an，一般利用公式an，但需要验证

SS,n2n1na1是否满足ann2.

8．D 【分析】

设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m,由他们年龄依次相差一岁得出

n(n1)(n2)(n28)m1520，结合等差数列的求和公式得出

m111429n，再由m90,100求出n的值.

【详解】

根据题意可知，这30个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m90,100，则有n(n1)(n2)(n28)m29n406m1520

则有29nm1114，则m111429n，所以90111429m100 解得34.966n35.31，因为年龄为整数，所以n35. 故选：D 9．A 【分析】

设项数为2n，由题意可得2n1d【详解】

设等差数列an的项数为2n，

21，及S偶S奇6nd可求解． 2末项比首项大

21， 221①; 2a2na12n1dS奇24，S偶30，

S偶S奇30246nd②．

由①②，可得d即项数是8， 故选：A. 10．A 【分析】

根据数列an是等差数列，且a1a10a9，求出首项和公差的关系，代入式子求解. 【详解】

因为a1a10a9， 所以2a19da18d， 即a1d， 所以

3，n4， 2a1a2a99a59a14d27d27.

a10a10a19d8d8故选：A 11．D 【分析】

33利用等差中项法可知，数列an为等差数列，根据a11，a22可求得数列an的公

差，可求得a10的值，进而可求得a10的值. 【详解】

对nN*都有2an1an2an，由等差中项法可知，数列an为等差数列，

333由于a11，a22，则数列an的公差为da2a17，

33333所以，a10a19d19764，因此，a10故选：D. 12．C 【分析】

由题建立关系求出公差，即可求解. 【详解】

设等差数列an的公差为d，

334.

a11,S416，

S44a16d46d16，d2， a7a16d13.

故选：C 13．D 【分析】

设该女子第nnN尺布，前nnN天工织布Sn尺，则数列an为等差数列，设其公

差为d，根据a15，S30390可求得d的值. 【详解】

设该女子第nnN尺布，前nnN天工织布Sn尺，则数列an为等差数列，设其公

差为d，

由题意可得S3030a1故选：D. 14．B 【分析】

设出数列an的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到a12d4，然后代入求和公式即可求解 【详解】

设等差数列an的公差为d，则由已知可得2a16da110da12d4， 所以S55a1故选：B 15．A 【分析】

根据条件列方程组，求首项和公差，再根据S10S7a8a9a103a9，代入求值. 【详解】

302916d1501529d390，解得d.

29254d5a12d5420 2a14d8a10由条件可知，解得：， 323a1d6d22S10S7a8a9a103a93a18d48.

故选：A 16．B 【分析】

由等差数列的性质可得数列而可得an【详解】

11为等差数列，再由等差数列的通项公式可得anann，进

1，再结合基本不等式即可得解. n211121*0,nN因为，所以， anan1an2an1anan21所以数列为等差数列，设其公差为d，

an111112,5， 由a2,a5a1可得a2a5a12511ad211所以，解得a1，

114d5d1a1a1所以

111n1dn，所以an，

ana1n所以不等式n100ana即n又n100a对任意的nN*恒成立， n1001002n20，当且仅当n10时，等号成立， nn所以a20即实数a的最大值是20. 故选：B. 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是构造新数列求数列通项及基本不等式的应用. 17．B 【分析】

利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果. 【详解】

由等差数列的性质，可得a3a52a4，a8a9a13a7a10a133a10， 因为3a3a52a8a9a1324， 可得32a423a1024，即a4a104， 故数列的前13项之和S13故选：B. 18．A 【分析】

13a1a1313a4a1013426. 222根据等差数列的性质，由题中条件，得出a54，再由等差数列前n项和公式，即可得出结果. 【详解】

因为an为等差数列，a2a5a812， 所以3a512，即a54， 所以S9故选：A. 【点睛】

熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n项和的基本量运算是解题关键. 19．B 【分析】

利用anSnSn1求出n2时an的表达式，然后验证a1的值是否适合，最后写出an的式子即可. 【详解】

9a1a99836. 22Snn2，当n2时，anSnSn1n2(n1)22n1，

当n1时，a1S11，上式也成立，

an2n1nN*，

故选：B. 【点睛】

易错点睛：本题考查数列通项公式的求解，涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即

S,n1an1，算出之后一定要判断n1时对应的式子是否成立，最后求得结

SS,n2n1n果，考查学生的分类思想与运算求解能力，属于基础题. 20．B 【分析】

根据已知条件判断an0时对应的n的范围，由此求得Sn的最大值. 【详解】

a50a50a60，所以an01n5， 依题意a4a7a5a60d0所以an的前n项和Sn的最大值为S5.

二、多选题 21．无

22．ACD 【分析】

先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD． 【详解】

111a311131由题意a21，，A正确，S321，C正确；

22222a4112，∴数列{an}是周期数列，周期为3． 1a2019a3673a31，B错；

32019S2019673，D正确．

22故选：ACD． 【点睛】

本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解． 23．BD 【分析】

an21利用递推关系可得，再利用数列的单调性即可得出答案． an1n1【详解】 解：∵Snn2an， 3n2n1anan1， 33∴n2时，anSnSn1ann121化为：， an1n1n1由于数列2单调递减， n12取得最大值2． n1可得：n2时，

an∴的最大值为3． an1故选：BD． 【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 24．BCD

【分析】

根据题意写出a8，S6，S7，从而判断A，B的正误；写出递推关系，对递推关系进行适当的变形，利用累加法即可判断C，D的正误． 【详解】

对A，a821，S620，故A不正确； 对B，S7S61333，故B正确；

对C，由a1a2，a3a4a2，a5a6a4，…，a2021a2022a2020，可得

a1a3a5a2021a2022，故C正确；

22对D，该数列总有an2an1an，a1a2a1，则a2a2a3a1a2a3a2a1， 22a3a3a4a2a3a4a2a3，…，a2018a2018a2019a2017a2018a2019a2017a2018， 22a2019a2019a2020a2019a2018，a2020a2020a2021a2020a2019， 2222故a1a2a3a2020a2020a2021，故D正确．

故选：BCD 【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是对CD的判断，即要善于利用an2an1an对所给式子进行变形. 25．AC 【分析】

对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案． 【详解】

n对于选项A，an1(1)取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；

对于选项B，an2cos对于选项C，an2sinn取前六项得：0,2,0,2,0,2，不满足条件； 2(n1)取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 2对于选项D，an1cos(n1)(n1)(n2)取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC 26．ABD 【分析】 首项根据an1an1112，从而得到是以首项为1，公差为,a11得到

an1an2an1an2的等差数列，再依次判断选项即可.

【详解】

对选项A，因为an1an，a11， 2an12an1111122 所以，即an1ananan1an1所以是以首项为1，公差为2的等差数列，故A正确.

an1对选项B，由A知：

an12n12n1

1n12n1数列的前n项和Snn2，故B正确.

2an12n1，所以an1，故C错误. 对选项C，因为an2n1对选项D，因为an故选：ABD 【点睛】

本题主要考查等差数列的通项公式和前n项和前n项和，同时考查了递推公式，属于中档题. 27．AC 【分析】

由S535求出a37，再由a411可得公差为da4a34，从而可求得其通项公式和前n项和公式 【详解】

由题可知，S55a335，即a37，所以等差数列an的公差da4a34， 所以ana4n4d4n5，Sn故选：AC. 【点睛】

本题考查等差数列，考查运算求解能力. 28．ABCD 【分析】

S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得1，所以数列an为递减数列，故D正确. 2n14n51n2n23n.

224＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得Sn＜0时，n的最小值7SnSnSnSn为13．数列中，n≤6时，＞0.7≤n≤12时，＜0．n≥13时，＞0．进而判断

aaaannnn出D是否正确．

【详解】

∵S12＞0，a7＜0，∴

12a6a72＞0，a1+6d＜0．

∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0， 又∵a3＝a1+2d＝12，∴S13＝

24＜d＜﹣3．a1＞0． 713a1a132＝13a7＜0．

∴Sn＜0时，n的最小值为13．

SnSnSnSn数列中，n≤6时，＞0，7≤n≤12时，＜0，n≥13时，＞0．

aaaannnnSn对于：7≤n≤12时，＜0．Sn＞0，但是随着n的增大而减小；an＜0，

anSn但是随着n的增大而减小，可得：＜0，但是随着n的增大而增大．

anSn∴n＝7时，取得最小值．

an综上可得：ABCD都正确． 故选：ABCD． 【点评】

本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 29．AD 【分析】

由a15a3S8求出a100，即a19d，由此表示出a9、a11、S6、S13，可判断C、D两选项；当d0时，a10，Sn有最小值，故B错误. 【详解】

解：a15a3S8，a15a110d8a187d,a19d0,a100，故正确A. 2由a19d0，当d0时，a10，Sn有最小值，故B错误.

a9a10dd,a11a10dd，所以a9a11，故C错误.

S66a1+65d54d15d39d， 2S1313a1+故选：AD 【点睛】

1312d117d78d39d，故D正确. 2考查等差数列的有关量的计算以及性质，基础题. 30．ACD 【分析】

由2a13a3S6得a100，故A正确；当d0时，根据二次函数知识可知Sn无最小值，故B错误；根据等差数列的性质计算可知S12S7，故C正确；根据等差数列前n项和公式以及等差数列的性质可得S190，故D正确. 【详解】

因为2a13a3S6，所以2a13a16d6a115d，所以a19d0，即a100，故

A正确；

当d0时，Snna1误；

因为S12S7a8a9a10a11a125a100，所以S12S7，故C正确； 因为S19n(n1)n(n1)dd9dnd(n219n)无最小值，故B错222a1a191919a2100，故D正确.

故选：ACD. 【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.