高中数学知识点总结五：概率统计

创想教育个性化辅导讲义

教师姓名： ； 授课日期： 年 月 日； 星期 ；上课时间： 教学计划编号 学生姓名 课程内容形式 课时数：□2h □3h 年级 班型：□1对1辅导 □精品小班 科目 □新授课 □习题课 □知识串讲课 □学习方法课 □阶段性考试 □讲评试卷 第一步：本讲知识要点及考点分析 本讲知识点标题 填写说明 难度分级 考纲要求 考频分级 常考题型及高考占分 难度分级：容易、较易、一般、较难、困难 考纲要求：了解、理解、掌握、灵活运用、综合运用 考频分级：必考、常考、高频、中频、低频 常考题型与高考占分：近五年高考试题分析得出 第二步：本讲专题知识梳理（教育理念：没有不好的学生，只有不会教的老师！） 概率 考试内容： 随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验． 考试要求： （1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义． （2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 （3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率． （4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率． 知识要点 1. 概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值. 2. 等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是1m，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率P(A). nn3. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推广：P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件. 例如：从1～52张扑克牌中任取一张抽到“红．．．．．．．．．．．．．．．桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不是对立事件.而抽到“红色牌”与抽到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生. 互斥注意：i.对立事件的概率和等于1：P(A)P(A)P(AA)1. 对立ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件. ③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. 如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A·B)=P(A)·P(B). 由此，当两个事件同时发生的概率P（AB）等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事件.例如：从一副扑克牌（52张）中任抽一张设A：“抽到老K”；B：“抽到红牌”则 A应与B互为独立事件[看中小学1对1个性化课外辅导专家（www.yiduiyifudao.cc）

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上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但P(A)41,P(B)261,P(A)P(B)1.又事件AB表示“既52135226226抽到老K对抽到红牌”即“抽到红桃老K或方块老K”有P(AB)21，因此有P(A)P(B)P(AB). 52推广：若事件A1,A2,,An相互独立，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An). 注意：i. 一般地，如果事件A与B相互独立，那么A 与B,A与B，A与B也都相互独立. ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的. iii. 独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件. ④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生kknk次的概率：Pn(k)Ck. nP(1P)4. 对任何两个事件都有P(AB)P(A)P(B)P(AB) 概率与统计 考试内容： 抽样方法.总体分布的估计．总体期望值和方差的估计考试要求（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样（2）会用样本频率分布估计总体分布（3）会用样本估计总体期望值和方差． ． ： ． ． 知识要点 一、随机变量. 1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 它就被称为一个随机试验. 2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则ab也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则f()也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量. 设离散型随机变量ξ可能取的值为：x1,x2,,xi, ξ取每一个值x1(i1,2,)的概率P(xi)pi，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.  x1 xi x2 … … p2 p1 pi P … … 有性质①p10,i1,2,； ②p1p2pi1. 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：[0,5]即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数. 3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生kknk次的概率是：P(ξk)Ck[其中k0,1,,n,q1p] npq于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作～B（n·p），其中n，knkp为参数，并记Ckb(k;np). npq⑵二项分布的判断与应用. ①二项分布，实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两中小学1对1个性化课外辅导专家（www.yiduiyifudao.cc） 教育是一项良心工程，教学质量是我们的生命！（www.yiduiyifudao.cc）

种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“k”表示在第k次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k次试验时事件A发生记为Ak，事A不发生记为Ak,P(Ak)q，那么P(ξk)P(A1A2Ak1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式：k1P(ξk)P(A1)P(A2)P(Ak1)P(Ak)qp(k1,2,3,)于是得到随机变量ξ的概率分布列.  1 q 2 qp 3 q2p … … k qk1p … … P 我们称ξ服从几何分布，并记g(k,p)qk1p，其中q1p.k1,2,3 5. ⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取n(1nN)件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为P(ξk)kkCMCNnMnCN(0kM,0nkNM).〔分子是从M件次品中r0，则k的范围可以写为k=0，1，…，取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定m＜r时Cmn.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a件次品、b件正品组成，今抽取n件（1≤n≤a+b），则次品数ξ的分布列为P(ξk)nkCkaCbCanbk0,1,,n.. ⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数的分布列可如下求得：把ab个产品编号，则抽取n次共有(ab)n个可能结果，等可能：knkaCkknkakankknabab(ηk)含Ck个结果，故，即～B(n).[我P(ηk)C()(1),k0,1,2,,nnnnababab(ab)们先为k个次品选定位置，共Ckn种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，P(ξk)P(ηk)，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样. 二、数学期望与方差. 1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为  x1 xi x2 … p2 p1 pi P … … … 则称Ex1p1x2p2xnpn为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2. ⑴随机变量ab的数学期望：EE(ab)aEb ①当a0时，E(b)b，即常数的数学期望就是这个常数本身. ②当a1时，E(b)Eb，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和. ③当b0时，E(a)aE，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积. ⑵单点分布：Ec1c其分布列为：P(1)c. ξ 0 1 ⑶两点分布：E0q1pp，其分布列为：（p + q = 1） P q p ⑷二项分布：Ekk!(nk)!pn!kqnknp 其分布列为～中小学1对1个性化课外辅导专家（www.yiduiyifudao.cc） 教育是一项良心工程，教学质量是我们的生命！（www.yiduiyifudao.cc）

B(n,p).（P为发生的概率） ⑸几何分布：E1 其分布列为～q(k,p).（P为发生的概率） p3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为P(xk)pk(k1,2,)时，则称D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn为ξ的方差. 显然D0，故D.为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.D越小，稳定性越．．．．．．．高，波动越小. ．．．．．．．4.方差的性质. ⑴随机变量ab的方差D()D(ab)a2D.（a、b均为常数） ⑵单点分布：D0 其分布列为P(1)p ⑶两点分布：Dpq 其分布列为：（p + q = 1） ⑷二项分布：Dnpq ⑸几何分布：Dqp2ξ P 0 q 1 p 5. 期望与方差的关系. ⑴如果E和E都存在，则E()EE ⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则E()EE,D()DD ⑶期望与方差的转化：DE2(E)2 ⑷E(E)E()E(E)（因为E为一常数）EE0. 三、正态分布.（基本不列入考试范围） 1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x轴上方，ξ落在任一区间[a,b)内的概率等于它与x轴.直线xa与直线xb所围成的曲边梯形的面积 （如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为 图像的函数f(x)叫做ξ的密度函数，由于“x(,)” 是必然事件，故密度曲线与x轴所夹部分面积等于1. ab▲yy=f(x)x(x)2222. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：f(x)12e. （xR,,为常数，且，称ξ服从参数为,的正态分布，用～N(,2)表示.f(x)的表达式可简记为N(,2)，它的密度0）曲线简称为正态曲线. ⑵正态分布的期望与方差：若～N(,2)，则ξ的期望与方差分别为：E,D2. ⑶正态曲线的性质. ①曲线在x轴上方，与x轴不相交. ②曲线关于直线x对称. ③当x时曲线处于最高点，当x向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线. ④当x＜时，曲线上升；当x＞时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向x轴无限的靠近. ⑤当一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中. 3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为(x)12ex22(x)，则称ξ服从标准正态分布. 中小学1对1个性化课外辅导专家（www.yiduiyifudao.cc） 教育是一项良心工程，教学质量是我们的生命！（www.yiduiyifudao.cc）

即～N(0,1)有(x)P(x)，(x)1(x)求出，而P（a＜ξ≤b）的计算则是P(ab)(b)(a). 注意：当标准正态分布的(x)的X取0时，有(x)0.5当(x)的X取大于0的数时，有(x)0.5.比如(0.5 )0.07930.5则0.5必然小于0，如图. ▲yS⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若～N(,2)则ξ的分布函数通 xμ常用F(x)表示，且有P(ξx)F(x)(). σxa标准正态分布曲线 S阴=0.5Sa=0.5+S4.⑴“3”原则. 假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布N(,2).②确定一次试验中的取值a是否落入范围(3,3).③做出判断：如果a(3,3)，接受统计假设. 如果a(3,3)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设. ⑵“3”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布N(,2)则 ξ落在(3,3)内的概率为99.7％ 亦即落在(3,3)之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）. 第三步：例题精讲（必考题型、常考题型、典型题型） (全国卷）19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） ．．．．．．．．．乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。 （Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。 (新课标卷）18.（本小题满分12分） 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干只玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，乳沟当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。 （Ｉ）看花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝， （ＩＩ）花点记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： ）的函数解析式。 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 （i） 若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列，数学期望及方差； （ii） 若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？ （天津卷）16（本小题满分13分） 中小学1对1个性化课外辅导专家（www.yiduiyifudao.cc）

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现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. （Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； （Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； （Ⅲ）用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记XY，求随机变量的分布列与数学期望. （四川卷）17（本小题满分12分） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。 （Ⅰ）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率； （Ⅱ）求中奖人数ξ的分布列及数学期望Eξ. （重庆卷）17（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分） 在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6），求： （I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率； （II）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与期望。 （山东卷）20（本小题满分12分） 某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有A,B,C,D四个问题，规则如下： ① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A,B,C,D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分； ② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； ③ 每位参加者按问题A,B,C,D顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题A,B,C,D回答正确的概率依次为(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率； （Ⅱ）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的E. （陕西）19 （本小题满分12分） 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：163111,,,，且各题回答正确与否相互之间没有影响. 4234 中小学1对1个性化课外辅导专家（www.yiduiyifudao.cc）

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（（（）估计该小男生的人数； ）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率； ）从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间的概率。 设A表示事件“从样本中身高在165~180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170~180cm之间（浙江）19(本题满分l4分)如图．一个小球从M处投入，通过管道自 上而下落A或B或C已知小球从每个叉口落入左右两个 管道的可能性是相等的． 某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，c．则分别设为l，2，3等奖． (I)已知获得l，2，3等奖的折扣率分别为50％．70％．90％．记 随变量为获得(k=I,2,3)等奖的折扣率．求随变量的分布列及期望E； (II)若有3人次(投入l球为l人次)参加促销活动．记随机变量为获 得1等奖或2等奖的人次。求P(2)． 答案： 中小学1对1个性化课外辅导专家（www.yiduiyifudao.cc）

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