高中数列经典题型_大全

1

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析

类型1 an1anf(n)

解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

11an1an22，nn，求an。

例:已知数列an满足

a1类型2 an1f(n)an

an1f(n)解法：把原递推公式转化为an，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列an满足

a12nan1an3，n1，求an。

例:已知a13，

an13n1an3n2 (n1)，求an。

类型3 an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。 例:已知数列an中，a11，an12an3，求an.

变式:递推式：an1panfn。解法：只需构造数列bn，消去fn带来的差异．

1

2

类型4

an1panqnan1panrqn(pq(p1)(q1)0)（其中p，q均为常数，）。 （,其中p，

q, r均为常数） 。

511an1an()n16,32，求an。

例:已知数列an中，

a1类型5 递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列an：3an25an12an0(n0,nN)， a1a,a2b，求数列an的通项公式。

解法二（特征根法）：数列an：3an25an12an0(n0,nN)， a1a,a2b的特征方程是：

3x25x20。

x11,x222n1n1n1AB()3,anAx1Bx23。又由a1a,a2b，于是

aABA3b2a22n1B3(ab)bABa3b2a3(ab)()n33故

21aaann2n1ana1a23312例:已知数列中，,,，求an。

类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an))

2

3

S1(n1)anSnSn1(n2)与 解法：这种类型一般利用

例：已知数列an前n项和

Sn4an12n2.（1）求an1与an的关系；（2）求通项公

式an.

、0，a0) 类型7 an1pananb(p1解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的

an1x(n1)yp(anxny)等比数列。

例:设数列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.

【例】、已知数列{an}满足a11，an3n1an1(n2)，则通项公式an

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析

类型1 an1anf(n)

解法：把原递推公式转化为an1anf(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

3

4

例:已知数列an满足

a111an1an22，nn，求an。

类型2 an1f(n)an

an1f(n)解法：把原递推公式转化为an，利用累乘法(逐商相乘法)求解。

例:已知数列an满足

a12nan1an3，n1，求an。

例:已知a13，

an13n1an3n2 (n1)，求an。

类型3 an1panq（其中p，q均为常数，(pq(p1)0)）。 例:已知数列an中，a11，an12an3，求an.

变式:递推式：an1panfn。解法：只需构造数列bn，消去fn带来的差异．

类型4

an1panqnan1panrqn(pq(p1)(q1)0)（其中p，q均为常数，）。 （,其中p，

q, r均为常数） 。

511an1an()n16,32，求an。

4

例:已知数列an中，

a1

5

类型5 递推公式为an2pan1qan（其中p，q均为常数）。

解法一（待定系数——迭加法）:数列an：3an25an12an0(n0,nN)， a1a,a2b，求数列an的通项公式。

解法二（特征根法）：数列an：3an25an12an0(n0,nN)， a1a,a2b的特征方程是：

3x25x20。

x11,x222n1n1n1AB()3,anAx1Bx23。又由a1a,a2b，于是

aABA3b2a22n1B3(ab)bABa3b2a3(ab)()n33故

21aaann2n1ana1a23312例:已知数列中，,,，求an。

类型6 递推公式为Sn与an的关系式。(或Snf(an))

S1(n1)anSnSn1(n2)与 解法：这种类型一般利用

例：已知数列an前n项和

Sn4an12n2.（1）求an1与an的关系；（2）求通项公

5

6

式an.

、0，a0) 类型7 an1pananb(p1解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

，与已知递推式比较，解出x,y,从而转化为anxny是公比为p的

an1x(n1)yp(anxny)等比数列。

例:设数列an：a14,an3an12n1,(n2)，求an.

【例】、已知数列{an}满足a11，an3n1an1(n2)，则通项公式an

6