2018年高考文科数学全国卷3(含答案与解析)

绝密★启用前

2018年普通高等学校招生全国统一考试课标全国卷III

数学(文科)

本试卷满分150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的.

1.已知集合Ax|x1≥0,B0,1,2,则AB ( ) A.0

B.1 C.1,2 D.0,1,2 2.(1i)(2i)

( )

A.3i B.3i C.3i D.3i 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是

( )

A

B C

D

4.若sin13,则cos2

( )

A.8

B.799

C.79

D.89

5.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为 ( ) A.0.3

B.0.4

C.0.6

D.0.7

数学试卷 第1页（共16页） 6.函数f(x)tanx1tan2x的最小正周期为

( )

A.

π4 B.π2 C.π

D.2π

7.下列函数中,其图象与函数ylnx的图象关于直线x1对称的是 ( )

A.yln(1x)

B.yln(2x)

C.yln(1x)

D.yln(2x)

8.直线xy20分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x2)2y22上,则

△ABP面积的取值范围是

( )

A.2,6

B.4,8

C.2,32

D.22,32

9.函数yx4x22的图象大致为

( )

A

B

C

D

2210.已知双曲线C：xya2b21(a0，b0)的离心率为2,则点(4,0)到C的渐近线

的距离为

( )

A.2

B.2

C.322

D.22 a211.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC的面积为b2c24,则

C

( )

A.

π

B.

π2

C.

π

D.

π34 6 数学试卷 第2页（共16页）

12.设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为93,则三棱锥DABC体积的最大值为

( )

A.123

B.183

C.243

D.543 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.已知向量a(1,2),b(2,2),c(1,).若c∥(2ab),则 . 14.某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样,则最合适的抽样方法是 .

2xy3≥0，15.若变量x,y满足约束条件x2y4≥0，则zx1y的最大值 .

x2≤0.316.已知函数f(x)ln(1x2x)1,f(a)4,则f(a) .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考

题,每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17.(12分)等比数列an中,a11,a54a3.

(1)求an的通项公式；

(2)记Sn 为an的前n项和.若Sm63,求m.

18.(12分)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人,第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位：min)绘制了如下茎叶图：

数学试卷 第3页（共16页） (1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由；

(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超 过m和不超过m的工人数填入下面的列联表； 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 (3)根据(2)中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

2n(adbc)2K(ab)(cd)(ac)(bd)，

附：

P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828

19.(12分)如图,矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直,M是CD上异于

C,D的点.

(1)证明：平面AMD⊥平面BMC;

(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC∥平面PBD？说明理由.

数学试卷 第4页（共16页）

---------------- -------------在 -------------------- _此______________--------------------_号卷 生__考__ _ _ _ _ _________--------------------_ _上 _ _ ________________名__姓_--------------------_ _答 _ _ _ __________--------------------__题_校学业毕--------------------无--------------------效

.(12分)已知斜率为k的直线l与椭圆C：x24y22031交于A,B两点.线段AB的中点

为M(1,m)(m＞0). (1)证明：k＜12; (2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FPFAFB0. 证明：2FPFAFB.

21.(12分)已知函数f(x)ax2x1ex.

(1)求由线yf(x)在点0,1处的切线方程； (2)证明：当a≥1时,f(x)e≥0.

数学试卷 第5页（共16页） (二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第

一题计分.

22.[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系xOy中,⊙O的参数方程为xcos,ysin(为参数),过点(0,2)且倾斜角为的直线l与⊙O交于A,B两点. (1)求的取值范围；

(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.

23.[选修4—5：不等式选讲](10分) 设函数f(x)x12x1. (1)画出yf(x)的图像;

(2)当x∈0,)时,f(x)≤axb,求ab的最小值.

数学试卷 第6页（共16页）

2018年普通高等学校招生全国统一考试课标全国卷III

文科数学答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题 1.【答案】C

【解析】∵Ax|x10=x|x1，B0,1,2，∴AB1,2，故选C.

【考点】集合的运算 2.【答案】D

【解析】(1i)(2i)=2i2ii23i，故选D. 【考点】复数的运算 3.【答案】A

【解析】两木构件咬合成长方体时，榫头完全进入卯眼，易知咬合时带卯眼的木构件的俯视图为A，故选A. 【考点】空间几何体的三视图 4.【答案】B

【解析】因为sin1，cos212sin21273，所以cos212(3)2199.

故选B.

【考点】三角恒等变换 5.【答案】B

【解析】设事件A为“不用现金支付”，事件B为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C为“只用现金支付”，则P(A)1P(B)P(C)10.150.450.4.故选B. 【考点】互斥事件，对立事件的概率 6.【答案】C

【解析】解法

1：

f(x)定义域为

x|x≠kπ+π2,kZ，

数学试卷 第7页（共16页） sinxf(x)cosxsinx cosx1sin2x，∴f(x)的最小正周期2π1(sinxTπ.

cosx)222解法二：f(xπ)tan(xπ)1tan2(xπ)tanx1tan2xf(x)，∴π是f(x)的周期，f(xπtan(xπ2)π2)，sin(x2)cosx11tan2(xπ而tan(x)，)2cos(x+π)sinxtanx22∴f(x+πtanx2)1tan2x≠f(x)，

∴π2不是f(x)的周期，∴π4也不是f(x)的周期，故选C. 【考点】三角函数的周期 7.【答案】B

【解析】解法一：ylnx图象上的点P(1,0)关于直线x1的对称点是它本身，则点P在ylnx关于直线x1对称的图像上，结合选项可知，B正确.故选B.

解法二：设Q(x,y)是所求函数图象上任一点，则关于直线x1的对称点P(2x,y)，在函数ylnx图象上，∴yln(2x).故选B. 【考点】函数图象的对称性 8.【答案】A

【解析】圆心(2,0)到直线xy20的距离为|2+2|2=22，圆的半径为2，设点

P到直线的距离为d，

则dmin2222，dmax22232， 又易知A(2,0)，B(0,2)，∴|AB|22， ∴(S1△ABP)min2 |AB| d1min22222， (S△ABP)max12 |AB| d1max222326. ∴△ABP面积的取值范围是2,6.故选A.

9.【答案】D

数学试卷 第8页（共16页）

【解析】令yf(x)x4x22，则f(x)4x32x，

当x-22或0x22时，f(x)0，f(x)递增； 当-22x0或22x时，f(x)0，f(x)递减.由此可得f(x)的图像大致为D中的图像.故选D.

【考点】函数图象的识辨 10.【答案】D 【解析】∵ecbba1(a)22，且a0，b0，∴a1， ∴C的渐近线方程为yx， ∴点(4,0)到C的渐近线的距离为|4|2=22.

【考点】双曲线的几何性质及点到直线的距离公式 11.【答案】C

【解析】因为a2b2c22abcosC，且S△ABCa2b2c24， 所以S2abcosC△ABC412absinC， 所以tanC1，又C(0,π)， 所以Cπ4.故选C. 12.【答案】B

【解析】设等边△ABC的边长为a，则有S1△ABC2a a sin60°=93，解得a6.设△ABC外接圆的半径为r，则2r6sin60°，解得r23，则球心到平面ABC的

距离为42(23)22，所以点D到平面ABC的最大距离为246，所以三棱

锥DABC体积最大值为13936183，故选B.

【考点】空间几何体的体积及与球有关的切接问题

第Ⅱ卷

二、填空题

数学试卷 第9页（共16页） 13.【答案】

12 【解析】由题意得2ab(4,2)，因为c(1,)，c∥(2ab)，所以420，解得12. 14.【答案】分层抽样

【解析】因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以根据三种抽样方法的特点可知最合适的抽样方法是分层抽样.

【考点】抽样方法 15.【答案】3

【解析】解法一：根据约束条件作出可行域，如图所示.

zx13y可化为y3x3z.

求z的最大值可转化为求直线y3x3z纵截距的最大值，显然当直线

y3x3z过A(2,3)时，纵截距最大，故z1max2333.

解法二：画出可行域(如上图)，由图可知可行域为三角形区域，易求得顶点坐标分别为(2,3)，(2,7)，(2,1)，将三点坐标代入，可知z1max2333. 【考点】简单的线性规划 16.【答案】2

【解析】易知f(x)的定义域为R，令g(x)ln(12x2x)，

数学试卷 第10页（共16页）

则g(x)g(x)0，∴g(x)为奇函数，

∴f(a)f(a)2，又f(a)4，∴f(a)2. 【考点】函数的奇偶性 三、解答题

17.【答案】(1)an1n(2)或an1n2 (2)m6

【解析】(1)设{an}的公比为q，由题设得an1nq. 由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2. 故a1n(2)n或an1n2.

(2)若a(2)n11(2)nn，则Sn3.

由Sm63得(2)m188，此方程没有正整数解. 若ann2n1，则Sn21.由Smm63得264，解得m6.

综上，m6.

【考点】等比数列的通项公式、前n项和公式

18.【答案】(1) 第二种生产方式的效率更高. 理由如下：

(i)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时

间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(ii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(iii)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分

钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟.因此第二种生产方式的效率更高.

(iv)由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的

最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需

数学试卷 第11页（共16页） 时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布.又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少.因此第二种生产方式的效率更高. (2) 由茎叶图知m7981280. 列联表如下： 超过m 不超过m 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 由于K240(151555)2(3)20202020106.635，

所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.

【解析】(1)根据茎叶图中的数据大致集中在哪个茎，作出判断； (2)通过茎叶图确定数据的中位数，按要求完成22列联表；

(3)根据（2）中22列联表，将有关数据代入公式计算得K2的值，借助临界值表作出统计推断.

【考点】统计图表的含义及应用，独立性检验的基本思想及其应用

19.【答案】(1)由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.

因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故

BCDM.

因为M为CD上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM. 又BCCMC，所以DM平面BMC.

而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC. (2)当P为AM的中点时，MC∥平面PBD.

证明如下：连结AC交BD于O.因为ABCD为矩形，所以O为AC中点.

数学试卷 第12页（共16页）

连结OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP.

MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD.

【解析】（1）通过观察确定点或直线的位置（如中点、中线），再进行证明. （2）把要得的平行当作已知条件，用平行的性质去求点、线.

【考点】本题考查平面与平面垂直的判定与性质，直线与平面平行的判定与性质.

20.【答案】(1)设A(xB(xx2y22211x2y21，y1)，2，y2)，则431，431.

两式相减，并由y1y2x=k得 1x2x1x24y1y23k0. 由题设知x1x2yy2321，12m，于是k4m. 由题设得0m312，故k2.

(2)由题意得F(1,0).设P(x3，y3)，则(x31,y3)(x11,y1)(x21,y2)(0,0).由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0. 又点P在C上，所以m34， 从而P(1,3)，|FP|=322.

2于是FA(x22(x2x1x11)y111)3(14)212.

同理FB=2x22.

所以FAFB412(x1x2)3.故2FP=FA+FB.

【解析】本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系.

21.【答案】(1)f(x)ax2(2a1)x2ex，f(0)2.

因此曲线yf(x)在点(0,1)处的切线方程是2xy10. (2)当a1时，f(x)e(x2x1ex1)ex. 令g(x)x2x1ex1，则g(x)2x1ex1. 当x1时，g(x)0，g(x)单调递减；

数学试卷 第13页（共16页） 当x1时，g(x)0，g(x)单调递增； 所以g(x)g(1)=0.因此f(x)e0. 【解析】构造函数证明不等式的策略：

（1）转化为fxC（C为常数）型，证明fxmin或临界值大于或等于C. （2）转化为fxgx型，利用导数判断fx，gx的单调性，是而求出函数fx，gx的最值或临界值，用原不等式成立的充分条件证明.

（3）转化为fagafbgb型，构造函数hxfxgx，利用

hx单调性及a,b的大小证明.

【考点】导数的几何意义，导数的综合应用 22.【答案】(1)O的直角坐标方程为x2y21.

当2时，l与O交于两点. 当2时，记tank，则l的方程为ykx2. l与O交于两点当且仅当|21k2|1，解得 k1或k1，即(4,2)或(2,4).

综上，的取值范围是(4,4).

(2)l的参数方程为xtcos,y2tsin(t为参数，44). 设A，B，P对应的参数分别为tttA，tB，tP，则tBPA2，且tA，tB满足

t222tsin10.

于是tAtB22sin，tP2sin.

又点P的坐标(x,y)满足xtPcos,y2t Psin,2所以点P的轨迹的参数方程是xsin2,2(为参数，44). y2222cos2 数学试卷 第14页（共16页）

【解析】以角为参数的参数方程，一般利用三角函数的平方关系sin2cos21化为普通方程；而弦的中点问题常用根与系数的关系或“点差法”进行整体运算求解.

【考点】参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系

3x,x1,223.【答案】(1)f(x)x2,1x1,yf2(x)的图象如图所示.

3x,x1.

(2)由(1)知，yf(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最

大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在[0,)成立，因此ab的最小值为5.

3x,x12,【解析】(1)f(x)x2,1x1,yf(x)2的图象如图所示. 3x,x1.

数学试卷 第15页（共16页）

(2)由(1)知，yf(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最

大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在[0,)成立，因此ab的最小值为5.

【考点】含绝对值不等式的解法，函数图象

数学试卷 第16页（共16页）